郭家明 ,薛 迅

（1.新疆大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,烏魯木齊 830046;2.新疆大學(xué) 理論物理中心,烏魯木齊 830046;3.華東師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院,上海 200241;4.華東師范大學(xué)重慶研究院,重慶 401120）

0 引言

中微子振蕩現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)確立了中微子具有質(zhì)量這一物理學(xué)界共識(shí).費(fèi)米子的質(zhì)量從運(yùn)動(dòng)學(xué)上可以分為兩種: Dirac 型質(zhì)量和Majorana 型質(zhì)量.它們分別對(duì)應(yīng)兩種費(fèi)米子的類型: Dirac 費(fèi)米子和Majorana 費(fèi)米子.Majorana[1]在1937 年指出,電中性的自旋 1/2 粒子可用實(shí)值波函數(shù)描述,其反粒子就是其自身.中微子發(fā)現(xiàn)后不久,其就被認(rèn)為有可能是Majorana 粒子[2].由于無(wú)中微子的雙β衰變是中微子為Majorana 粒子的特征,尋找無(wú)中微子雙β衰變的事例就成了甄別中微子費(fèi)米子類型的首選手段.然而至今為止尚未發(fā)現(xiàn)這樣的事例,也無(wú)法否定其存在[3].中微子質(zhì)量屬于哪一種,即中微子是哪一種費(fèi)米子,目前從實(shí)驗(yàn)和理論這兩方面都無(wú)法回答.而確定中微子的費(fèi)米子類型對(duì)于解決中微子質(zhì)量等級(jí)問(wèn)題和確定中微子的質(zhì)量等級(jí)至關(guān)重要,也是對(duì)中微子質(zhì)量的“蹺蹺板”(see-saw) 機(jī)制的檢驗(yàn).

20 世紀(jì)90 年代開(kāi)始,出現(xiàn)了用費(fèi)米子對(duì)引力場(chǎng)的響應(yīng)來(lái)分辨Dirac 費(fèi)米子和Majorana 費(fèi)米子的研究[4-8].2006 年Singh 等[6]提出設(shè)想: 旋轉(zhuǎn)引力源的Lense-Thirring 效應(yīng)會(huì)拖曳參考系標(biāo)架場(chǎng)旋轉(zhuǎn),其Dirac 費(fèi)米子和Majorana 費(fèi)米子的自旋翻轉(zhuǎn)矩陣元的空間依賴不同,能夠區(qū)分中微子類型[6].此研究發(fā)布之后,很快就有學(xué)者指出: 基于一次量子化波函數(shù)來(lái)處理Majorana 粒子是有問(wèn)題的,滿足電荷共軛變換不變的波函數(shù)不可能是自由粒子波函數(shù);Singh 等人討論的波包[9]在天文尺度下的傳播由于波包彌散其意義是不明確的.由于電荷共軛不變的波函數(shù)不是確定能動(dòng)量本征態(tài)的自由粒子態(tài),Majorana 粒子在一次量子化框架內(nèi)無(wú)法自洽描述,處理Majorana 粒子必須考慮到電荷共軛不變性,只有在二次量子化框架內(nèi)才能得到自洽的處理.

文獻(xiàn)[10]分別計(jì)算了自由Dirac 費(fèi)米子和Majorana 費(fèi)米子在漸近平直的Schwarzschild時(shí)空中的量子散射.其結(jié)果顯示,Schwarzschild 時(shí)空下Dirac 費(fèi)米子和Majorana 費(fèi)米子的散射振幅和散射截面都相同,證明了Schwarzschild 時(shí)空中的散射無(wú)法區(qū)分兩種費(fèi)米子.除此之外,該文在最后還給出了撓率對(duì)兩種費(fèi)米子散射矩陣元的影響,其中,Majorana 費(fèi)米子由于其電荷共軛不變性,撓率的矢量部分不會(huì)對(duì)Majorana 費(fèi)米子散射產(chǎn)生影響,只有軸矢撓率會(huì)影響Majorana 費(fèi)米子的散射,而Dirac 費(fèi)米子會(huì)同時(shí)受到矢量撓率和軸矢撓率的影響.

廣義相對(duì)論是無(wú)撓的引力理論,時(shí)空為確定度規(guī)的黎曼流形(Riemann manifold),引力表現(xiàn)為時(shí)空的彎曲,時(shí)空聯(lián)絡(luò)為完全由度規(guī)確定的Levi-Civita 聯(lián)絡(luò).但是關(guān)于有撓引力的探討自廣義相對(duì)論提出后從來(lái)沒(méi)有停止過(guò),理論上關(guān)于撓率在引力理論中的角色有兩種觀點(diǎn): 一種是將Riemann 時(shí)空推廣為帶撓率的時(shí)空,撓率和度規(guī)是相互獨(dú)立的自由度,即黎曼-嘉當(dāng)(Riemann-Cartan) 時(shí)空來(lái)描述引力;另一種觀點(diǎn)認(rèn)為撓率提供了引力區(qū)別于時(shí)空曲率的另一種等價(jià)描述[11-12],比如絕對(duì)平行引力中,時(shí)空曲率為0,引力用撓率描述.而文獻(xiàn)[10]中關(guān)于撓率對(duì)Majorana 費(fèi)米子和Dirac 費(fèi)米子的散射矩陣和散射截面的影響對(duì)于以上兩種觀點(diǎn)同樣成立,但是對(duì)于將撓率認(rèn)為是引力等效描述的第二種觀點(diǎn),上述結(jié)果意味著矢量撓率對(duì)應(yīng)的引力場(chǎng)對(duì)費(fèi)米子的散射可以區(qū)分Dirac 費(fèi)米子和Majorana 費(fèi)米子,這就為用中微子的引力量子散射效應(yīng)來(lái)區(qū)分中微子的費(fèi)米子類型提供了理論基礎(chǔ).

本文在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上,將無(wú)撓的自旋聯(lián)絡(luò)分解為兩部分,分別計(jì)算了Dirac 費(fèi)米子和Majorana 費(fèi)米子對(duì)這兩個(gè)部分的散射振幅,發(fā)現(xiàn)由于Majorana 費(fèi)米子的電荷共軛對(duì)稱性,自旋聯(lián)絡(luò)的其中一部分對(duì)Majorana 費(fèi)米子的散射振幅沒(méi)有貢獻(xiàn),而對(duì)Dirac 費(fèi)米子的散射振幅有貢獻(xiàn).之后,本文在旋轉(zhuǎn)引力源的Kerr 時(shí)空中實(shí)際計(jì)算了Dirac 費(fèi)米子和Majorana 費(fèi)米子的散射振幅,最終發(fā)現(xiàn)度規(guī)下Majorana 費(fèi)米子和Dirac 費(fèi)米子的散射振幅并不相同,而不同的散射振幅可能預(yù)示了不同的散射截面,從而預(yù)示了Majorana 費(fèi)米子和Dirac 費(fèi)米子可能存在的軌跡的區(qū)別;并且當(dāng)引力源的角動(dòng)量為0 時(shí),Kerr 時(shí)空退化為Schwarzschild 時(shí)空,同時(shí)散射振幅也會(huì)回到Schwarzschild 時(shí)空時(shí)的情況,這與前人的結(jié)果一致.

1 Schwarzschild 度規(guī)時(shí)空對(duì)費(fèi)米子的散射

這里簡(jiǎn)要介紹Lai 等[10]用二次量子化的框架研究的自由Dirac 費(fèi)米子和Majorana 費(fèi)米子在漸近平直Schwarzschild 時(shí)空中的量子散射.在彎曲時(shí)空背景中,費(fèi)米子拉格朗日密度(L) 為

其中,Γμab為洛倫茲(Lorentz)聯(lián)絡(luò),Sab為L(zhǎng)orentz 生成元的旋量表示,即

本文中,希臘字母上/下標(biāo)代表時(shí)空坐標(biāo)的指標(biāo),拉丁字母上/下標(biāo)代表局域平直坐標(biāo)系指標(biāo),都取0,1,2,3.

在Riemann-Cartan 空間中是彎曲時(shí)空背景對(duì)費(fèi)米子作用導(dǎo)致的相互作用量.記初態(tài)|i〉的粒子動(dòng)量為自旋為r;末態(tài)|f〉的粒子動(dòng)量為自旋為s.則|i〉→|f〉的躍遷振幅為

其中S為散射矩陣.

對(duì)于無(wú)撓率的Riemann 時(shí)空,使用Dirac 場(chǎng)算符的二次量子化形式

和Majorana 費(fèi)米子

可以分別得到在引力場(chǎng)中的散射振幅最低階

其中q=k＇-k為轉(zhuǎn)移四動(dòng)量,以及

對(duì)Schwarzschild 引力場(chǎng),取各向同性廣義坐標(biāo),度規(guī)形式為

取弱場(chǎng)一階近似

其中φ(r)=-GM/r.對(duì)Dirac 粒子和Majorana 粒子皆有

對(duì)具有Schwarzschild 度規(guī)的Riemann-Cartan 時(shí)空,該時(shí)空對(duì)Dirac 費(fèi)米子的散射振幅為

撓率的矢量部分會(huì)貢獻(xiàn)一個(gè)矢量流耦合,而軸矢量部分會(huì)貢獻(xiàn)一個(gè)軸矢量流耦合.同樣地,可以寫出Majorana 費(fèi)米子的散射振幅

矢量撓率部分不會(huì)出現(xiàn)在Majorana 費(fèi)米子的散射振幅中,只有軸矢撓率部分會(huì)對(duì)Majorana 費(fèi)米子散射振幅有貢獻(xiàn)[10].

2 Kerr 引力場(chǎng)對(duì)費(fèi)米子的散射

2.1 一般引力場(chǎng)中的費(fèi)米子散射

文獻(xiàn)[10]對(duì)撓率的分析采用了撓率對(duì)Lorentz 群不可約表示的分解,將撓率分解為矢量部分和軸矢部分;又由于Majorana 旋量的電荷共軛性質(zhì),導(dǎo)致?lián)下实氖噶坎糠衷谏⑸湔穹袥](méi)有貢獻(xiàn).本文發(fā)現(xiàn)如對(duì)無(wú)撓的自旋聯(lián)絡(luò)進(jìn)行類似的分解,則Majorana 費(fèi)米子和Dirac 費(fèi)米子在無(wú)撓引力中的散射振幅的形式也會(huì)有區(qū)別.

采用四標(biāo)架場(chǎng),在弱引力背景中,費(fèi)米子作用量為

式(21)中:Sbc是旋量表示下的Lorentz 生成元,即

將其代回Majorana 費(fèi)米子的散射矩陣(式(33)),可得

顯然,一般度規(guī)場(chǎng)對(duì)Dirac 粒子和Majorana 粒子的散射振幅是有差別的,這個(gè)差別在某些特殊的度規(guī)時(shí)會(huì)給出0 的結(jié)果,如文獻(xiàn)[10]中的Schwarzschild 度規(guī)場(chǎng)情形.但一般而言,可以期望對(duì)稱性較低的度規(guī)場(chǎng)對(duì)于Dirac 粒子和Majorana 粒子的散射不同,并且由式(36),這種散射行為的差別是自旋極化依賴的,尤其是Dirac 粒子和Majorana 粒子自旋翻轉(zhuǎn)散射矩陣元的一般形式完全不同,可以據(jù)此計(jì)算其在具體度規(guī)場(chǎng)中的空間依賴形式的差別,作為引力場(chǎng)散射鑒別費(fèi)米子類型的依據(jù).

2.2 Kerr 時(shí)空對(duì)兩種費(fèi)米子的散射振幅

Kerr 度規(guī)是由帶角動(dòng)量的旋轉(zhuǎn)引力源產(chǎn)生的引力場(chǎng)度規(guī),在宇宙空間較具普適性,小到天體,大至星系,且星系團(tuán)等其遠(yuǎn)離源處的時(shí)空都可以近似用Kerr 度規(guī)描述.具體討論Kerr 度規(guī)時(shí)空對(duì)Majorana 費(fèi)米子和Dirac 費(fèi)米子的散射振幅,對(duì)于用引力散射分辨費(fèi)米子類型的研究具有特別的意義.

取具有軸對(duì)稱的廣義坐標(biāo),Kerr 度規(guī)可以寫成

式(38)—(44)中:G為引力常量,M為引力源質(zhì)量,a為單位質(zhì)量的角動(dòng)量.相應(yīng)的Kerr 漸近Minkowski 四標(biāo)架場(chǎng)為

將此四標(biāo)架場(chǎng)遠(yuǎn)場(chǎng)近似形式代入Dirac 費(fèi)米子的散射振幅(式(32)) 和Majorana 費(fèi)米子的散射振幅(式(35)) 中,第一項(xiàng)為

對(duì)式(53)的第一項(xiàng)分部積分,由散射前后能量守恒,k0=0,得到

這里利用了平面波旋量波函數(shù)滿足的方程

因此,積分的結(jié)果為(具體的過(guò)程參見(jiàn)附錄A)

對(duì)式(57)積分,積分過(guò)程參見(jiàn)附錄A,結(jié)果為

進(jìn)而得到Kerr 度規(guī)的引力場(chǎng)對(duì)Dirac 費(fèi)米子與對(duì)Majorana 費(fèi)米子的散射振幅的差別

顯然Kerr 引力源的角動(dòng)量a=0 時(shí),Kerr 度規(guī)退化為Schwarzschild 度規(guī),對(duì)費(fèi)米子的散射振幅也會(huì)退化到Schwarzschild 度規(guī)對(duì)費(fèi)米子的散射振幅,MD-MM退化為0.

本文得到的兩種旋量的散射振幅的差別,預(yù)示了兩種粒子在引力場(chǎng)中的散射截面的差別,從而預(yù)示了在引力背景中傳播的Majorana 費(fèi)米子和Dirac 費(fèi)米子可能存在的軌跡的差別.同時(shí),注意到兩種費(fèi)米子散射振幅的差別正比于(GMa)2,因此質(zhì)量和角動(dòng)量很大的天體作為場(chǎng)源產(chǎn)生的引力場(chǎng)對(duì)兩種費(fèi)米子的散射有可能可以用來(lái)區(qū)分費(fèi)米子類型.

3 結(jié)論和展望

本文在前人工作的基礎(chǔ)上,得到了Majorana 費(fèi)米子和Dirac 費(fèi)米子在引力場(chǎng)中的散射振幅的形式上的區(qū)別.之后應(yīng)用Kerr 度規(guī)進(jìn)行的計(jì)算驗(yàn)證了這種形式上的區(qū)別會(huì)在特定的引力場(chǎng)中對(duì)Dirac 費(fèi)米子和Majorana 費(fèi)米子的散射振幅中體現(xiàn)出來(lái),并且如果取引力源的角動(dòng)量為0,則結(jié)果會(huì)回到Schwarzschild 時(shí)空的結(jié)果中.

在本文基礎(chǔ)上,還有一些問(wèn)題可以進(jìn)一步討論.本文討論了引力源不帶電只有角動(dòng)量的Kerr 度規(guī)的散射振幅,還可以進(jìn)一步討論引力源帶電情況會(huì)對(duì)散射振幅和散射截面的影響,還可以更進(jìn)一步討論其他度規(guī)下的散射振幅和截面.同時(shí),本文證明了Kerr 度規(guī)背景下Dirac 費(fèi)米子和Majorana 費(fèi)米子的散射振幅會(huì)有不同,而粒子在引力中的傳播可以看作粒子在傳播過(guò)程中不斷被引力場(chǎng)散射的過(guò)程,散射振幅的不同就有機(jī)會(huì)體現(xiàn)在粒子在引力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡上,從而為通過(guò)引力場(chǎng)區(qū)分中微子的費(fèi)米子類型提供了一種可能的方法.

附錄A

式(54)為

式(A1) 的第一項(xiàng)可以寫為

式(A2)第一項(xiàng)的積分為

式(A2)第二項(xiàng)積分為

將式(A3)、式(A4)代入式(A2),可得

同理可得式(A1)的其他幾項(xiàng)積分,最終可得散射振幅為

同理可得式(58)的第二項(xiàng)為

式(58)的第三項(xiàng)、第四項(xiàng)的積分為

于是,式(58)積分的結(jié)果是