程曉亮 ,王 博 ,郝毅紅

（1.吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院,吉林 四平 136000;2.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,西安 710127）

0 引言

近年來,從K?hler 流形到復(fù)空間形式的全純等距嵌入問題引起了許多數(shù)學(xué)家的關(guān)注.文獻(xiàn)[1]給出了不同類型的Hermite 對稱空間具有不可嵌入的結(jié)果.與全純等距嵌入的存在性密切相關(guān)的研究課題是K?hler 流形的公共K?hler 子流形的存在性問題.文獻(xiàn)[2]將兩個復(fù)流形在各自的誘導(dǎo)度量下具有公共的K?hler 子流形的情形稱為相關(guān)的,否則稱為不相關(guān)的,并證明了具有Bergman 度量的有界域與具有Fubini-Study 度量的射影流形是不相關(guān)的.Mossa[3]證明了具有K?hler 度量的有界齊性域與具有Fubini-Study 度量的射影流形是不相關(guān)的.文獻(xiàn)[4]通過不同的方法證明了非緊型的Hermite對稱空間與具有平坦度量的復(fù)歐氏空間是不相關(guān)的.Loi 等[5]證明了具有K?hler 度量的有界齊性域與任何射影K?hler 流形都是不相關(guān)的.隨后,Cheng 等[6]給出了有限維Fubini-Study 空間與不同曲率空間相關(guān)的充要條件,這是Umehara 結(jié)論的非平凡推廣.Cheng 等[7]證明了具有Bergman 度量的Cartan-Hartogs 域與具有平坦度量的復(fù)歐氏空間是不相關(guān)的.Su 等[8]證明了具有正則度量的對稱多圓盤與具有平坦度量的復(fù)歐氏空間是不相關(guān)的.Cheng 等[9]給出了實解析K?hler 流形與具有標(biāo)準(zhǔn)度量的復(fù)空間形式不具有相關(guān)性的充分條件.作為直接應(yīng)用,可以得出具有Bergman 度量的最小球、有界齊性域與復(fù)歐氏空間均為不相關(guān)的.

本文主要研究具有Bergman 度量的Cartan-Egg 域與具有平坦度量的復(fù)歐氏空間的相關(guān)性.Cartan-Egg 域是一類非常好的有界非齊性域,其Bergman 核函數(shù)具有顯表達(dá)式.如果一個域的Bergman 核函數(shù)是Nash 函數(shù),容易分析在其誘導(dǎo)的Bergman 度量下與復(fù)歐氏空間的相關(guān)性,而Cartan-Egg 域的Bergman 核函數(shù)不是Nash 函數(shù),故已有方法不能直接使用.在定理1 的證明過程中,通過分析Cartan-Egg 域的Bergman 核函數(shù)的偏導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)克服了這一困難.

1 Nash 函數(shù)和相關(guān)性

定義1[2]如果存在兩個K?hler 嵌入h1:S →M1,h2:S →M2,使得K?hler 流形M1和M2具有公共的子流形S,則稱M1和M2是相關(guān)的.否則稱M1和M2是不相關(guān)的.

定義2[4]設(shè)D是n維復(fù)歐氏空間 Cn上的連通開集,f是D上 的全純函數(shù),對于任意的x0∈D,存在x0的開鄰域U和多項式函數(shù)P:Cn×C→C ,其中P≠0 .使得對于任意的x∈U有P(x,f(x))=0,其中

s為自然數(shù),σ0,σ1,···,σs是 Cn上的多項式且σ0≠0 .則稱f是在x0處的Nash 函數(shù).

引理1[4]在D的開子集上,全純多項式和全純有理函數(shù)都是Nash 函數(shù).

引理2[4]D上的Nash 函數(shù)族記作N(D) ,設(shè)f,g ∈N(D) .則有以下性質(zhì):

那么H(ξ1,ξ2,···,ξκ) 是V上的常值函數(shù).

2 Cartan-Egg 域的Bergman 核函數(shù)

n維復(fù)歐氏空間中的有界域都存在唯一的Bergman 核函數(shù),但是可以顯式求出Bergman 核函數(shù)的域只有有界齊性域和蛋型域.殷慰萍[10]引進(jìn)如下Cartan-Hartogs 域:

上式中:N是正整數(shù);ρ是正實數(shù);Ω是4 類典型域;NΩ(Z,W) 表示典型域上的一般模.4 類Cartan-Hartogs 域的Bergman 核函數(shù)都具有顯表達(dá)式[11].

在此基礎(chǔ)上,殷慰萍[10]將上述Cartan-Hartogs 域推廣為Cartan-Egg 域:

上式中:M,N是正整數(shù);μ是正實數(shù);Ω是4 類 典型域.用EⅠ,EⅡ,EⅢ,EⅣ分別表示第1 類,第2 類,第3 類,第4 類Cartan-Egg 域:

上式中:m,n,p,q是正整數(shù);μ是正實數(shù);Z分別表示m×n矩陣,p×p對稱方陣,q×q斜對稱方陣和1×n矩陣;Zˉ 表示Z的共軛;ZT表示Z的轉(zhuǎn)置;RⅠ,RⅡ,RⅢ,RⅣ分別表示第1 類典型域,第2 類典型域,第3 類典型域,第4 類典型域.要算出上述Cartan-Egg 域的Bergman 核函數(shù),只需算出當(dāng)M=N=1 時相應(yīng)Cartan-Egg 域的Bergman 核函數(shù).再對W1和W2連續(xù)兩次應(yīng)用膨脹原理就可以得到M,N為一般情況時的Bergman 核函數(shù).下面給出4 類Cartan-Egg 域的Bergman 核函數(shù)的顯表達(dá)式[11].

第1 類Cartan-Egg 域的Bergman 核函數(shù):

3 主要結(jié)論

定理 1設(shè)D是 C 的連通開集,F:D →Cn,L=(G,H,S)=(g1,g2,···,sN):D→MΩ(μ) 都是全純映射,滿足L(0)=0 .如果在D上有

其中F?,L?均為拉回映射,那么F一定是常值映射.

推論1Cartan-Egg 域與復(fù)歐氏空間不存在包含零點的公共K?hler 子流形,即Cartan-Egg 域與復(fù)歐氏空間不相關(guān).

成立,其中b1,b2,···,bs為正常數(shù),那么F一定是常值映射.

4 定理1 的證明

本章將采用文獻(xiàn)[4]中的證明方法證明定理1.

在4 類Cartan-Egg 域的任意點p的鄰域U上固定局部坐標(biāo)系z,在U上存在實解析的K?hler 勢φ:U →R .它可以解析延拓到對角的開鄰域W?U ×c(U) 上,其中c(U)={z ∈Cn|zˉ∈U}.用φ(z,w)表示φ(z) 的延拓,稱為φ的極化.通過極化式(2)等價于

下面分成3 步證明定理1.

步驟1 對于任意的 1 ≤i≤n,可證fi(z)是L(z)=(G(z),H(z),S(z)) 的全純多項式,也就是證明存在全純多項式Pi(z,X),i=1,2,···,n,使得fi(z)=Pi(z,L(z)) ,必要時將D向原點收縮.

式(3)兩側(cè)同時對w微分,當(dāng)w充分接近0 時,可得

設(shè)vj(j=1,2,···,n-τ) 是L的歐氏正交補的一組基,則有

當(dāng)w=0,δ=(δ1,δ2,···,δτ) 時,將式(6)—(7)整理成矩陣的形式,應(yīng)用克萊姆法則,可得

當(dāng)w=0 時,對F(z) 而言,式(8)左側(cè)的系數(shù)矩陣是非奇異矩陣.式(8)右側(cè)的矩陣的每一行元素是L=(G(z),H(z),S(z)) 的全純多項式.由克萊姆法則可知,fi(z) 是(g1(z),g2(z),···,gmn(z),h1(z),h2(z),···,hM(z),s1(z),s2(z),···,sN(z))的全純多項式.自然也是Nash 函數(shù).

步驟2 假設(shè)g1(z),g2(z),···,gmn(z),h1(z),h2(z),···,hM(z),s1(z),s2(z),···,sN(z) 都是全純的Nash 函數(shù).通過第1 步證明過程,fi(z) 可以寫成

等價于式(3).通過引理3 可知,F=(f1,f2,···,fn) 是常值映射.

步驟3 假設(shè)(g1(z),g2(z),···,gmn(z),h1(z),h2(z),···,hM(z),s1(z),s2(z),···,sN(z)) 中存在一些元素不是Nash 函數(shù).設(shè)Q是由z形成的有理函數(shù)域,其中z ∈D.

考慮域的擴(kuò)張

即D上有理函數(shù)域的最小子域包含Nash 函數(shù)和g1(z),g2(z),···,gmn(z),h1(z),h2(z),···,hM(z),s1(z),s2(z),···,sN(z) .簡記L=(G(z),H(z),S(z))=(g1(z),g2(z),···,gmn+M+N(z)) .設(shè)O={g1(z),g2(z),···,gl(z)}(l≤mn+N+M) 是Y的極大代數(shù)無關(guān)子集.因此,Y/Q(O) 是由Nash 函數(shù)生成的集合,Nash函數(shù)是多項式的根,由Nash 函數(shù)構(gòu)成的域超越次數(shù)為0,故Y/Q(O) 的超越次數(shù)為0.

故{g1(z),g2(z),···,gl(z)}在Q上是代數(shù)相關(guān)的,與假設(shè)O={g1(z),g2(z),···,gl(z)}是Y的極大代數(shù)無關(guān)子集矛盾.則Φ(z,X,w) 關(guān)于w的泰勒展開式中,系數(shù)Φk(z,X,0) 恒為零.令Φ(z,X,0)=0,故Φ(z,X,w)≡0.于是可得方程