汪雄良 王春玲

摘 要 結(jié)合大學(xué)公共基礎(chǔ)課高等數(shù)學(xué)，建構(gòu)若干具有實(shí)際背景的、適合于教師實(shí)施課堂教學(xué)或?qū)W生自主實(shí)驗(yàn)的研究型教學(xué)案例，讓學(xué)生在知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過程中抓住其本質(zhì)，加深對(duì)概念的理解和掌握，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生研究問題的興趣和能力。

關(guān)鍵詞 研究式教學(xué)；高等數(shù)學(xué)；自主實(shí)驗(yàn)

中圖分類號(hào)：G642.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2016）04-0107-03

Construction and Practice of Research-oriented Teaching Cases in Advanced Mathematics Course//WANG Xiongliang， WANG Chunling

Abstract Aimed at the public college course advanced mathematics， a few cases which derived from the practical application background can be applied in research-oriented teaching. It helps the student grasp the essence and understand the profound idea with efficiency. It can help the student improve the interest and ability of research at the same time.

Key words research-oriented teaching； advanced mathematics； in-dependent experiment

1 前言

傳統(tǒng)教學(xué)模式是把學(xué)生對(duì)課程學(xué)習(xí)看作一個(gè)被動(dòng)的接受過程，在課堂上只是將一大堆的知識(shí)教條式地灌給學(xué)生，忽視了學(xué)生對(duì)課程學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和創(chuàng)造性，忽視了教學(xué)對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)作用，直接損害了學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)與能力的形成。因此，好的教學(xué)模式應(yīng)當(dāng)能夠啟迪學(xué)生的興趣和智慧，開發(fā)悟性，挖掘潛能，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力。研究型教學(xué)模式正是為了實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)而興起的一種新的教學(xué)模式[1-3]。

然而，研究型教學(xué)應(yīng)用于高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)實(shí)際中，教師經(jīng)常會(huì)受一些問題困擾。

1）典型的案例不好找，經(jīng)典的微積分理論非常完善，典型的概念都有其物理或幾何起源，很難再從中挖掘出有啟發(fā)意義的問題或案例。

2）高等數(shù)學(xué)課程具有內(nèi)容多、課時(shí)緊的特點(diǎn)，正常的教學(xué)計(jì)劃都難以充裕地完成，怎么還有時(shí)間開展研究型教學(xué)？如果開展的話，會(huì)不會(huì)對(duì)正常教學(xué)產(chǎn)生負(fù)面影響？

3）高等數(shù)學(xué)是大一新生必學(xué)的重要基礎(chǔ)課，他們剛進(jìn)大學(xué)，仍帶著中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的烙印，完全放任學(xué)生自己去探索而不引導(dǎo)，可能會(huì)適得其反。

4）高等數(shù)學(xué)課程大都是大班上課，學(xué)生人數(shù)多，接受知識(shí)的程度也參差不齊，怎樣更好地組織起研究型教學(xué)，使之不流于形式？

針對(duì)問題2，筆者認(rèn)為，研究型教學(xué)是一種手段、一種理念，倡導(dǎo)研究型教學(xué)并不是意味著高等數(shù)學(xué)中的每一個(gè)概念都要用研究型教學(xué)來實(shí)施。以美國高校為例，雖然大多數(shù)的教師在課堂教學(xué)中主要還是采用講授法進(jìn)行教學(xué)，但在整個(gè)教學(xué)過程中經(jīng)常滲透著研究型教學(xué)的方法，如積極引導(dǎo)學(xué)生參與知識(shí)發(fā)現(xiàn)過程，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地參與相關(guān)的科研活動(dòng)等。因此，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的某些部分引進(jìn)研究型教學(xué)，非但不會(huì)影響正常教學(xué)進(jìn)度，相反還會(huì)對(duì)概念的理解帶來幫助，大有裨益。以上問題3和4涉及研究型教學(xué)的組織和實(shí)施，不做探討。本文重點(diǎn)討論研究型教學(xué)案例的建構(gòu)問題。

針對(duì)工科數(shù)學(xué)類課程在學(xué)科體系中的基礎(chǔ)性地位以及其理論概念抽象、數(shù)學(xué)公式繁難的特點(diǎn)，從提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)興趣、增強(qiáng)創(chuàng)新思維的需求出發(fā)，文獻(xiàn)[4]提出主線貫穿式、溫故知新式和懸念導(dǎo)入式三種研究型教學(xué)模式。借鑒這三種模式，本文給出幾個(gè)具有實(shí)際背景的、適合于教師實(shí)施課堂教學(xué)或?qū)W生自主實(shí)驗(yàn)的研究型教學(xué)案例，讓學(xué)生在分析過程中抓住共性，不斷升華對(duì)自然規(guī)律的本質(zhì)領(lǐng)悟，學(xué)到解決問題的智慧。

2 三個(gè)案例

案例1：定積分的概念（采用主線貫穿式研究型教學(xué)） 目前的大多數(shù)高等數(shù)學(xué)教材都是通過定積分的幾何意義即由如何計(jì)算曲邊梯形面積來引出定積分的概念。求其面積有分割、近似、求和與取極限四個(gè)步驟，其中包含了兩個(gè)任意性，即對(duì)區(qū)間的分割和區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)ξk的選取都是任意的。對(duì)這兩個(gè)任意性，初學(xué)者一般較難理解，從數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的角度來分析驗(yàn)證這兩個(gè)任意性，幫助學(xué)生加深理解。

【例1】S是由曲線y=x2，直線x=0，x=1和y=0所圍成的曲邊梯形，試估算S的面積。

【解】從等分不任意取、任意分不任意取和任意分任意取三種方式來估算。

1）等分不任意取。對(duì)[0，1]區(qū)間進(jìn)行n等分。在每個(gè)子區(qū)間上，分別用左端點(diǎn)和右端點(diǎn)的函數(shù)值作為對(duì)應(yīng)的小矩形的高，計(jì)算左和與右和。

2）任意分不任意取。對(duì)[0，1]區(qū)間進(jìn)行任意劃分。利用MATLAB中的rand函數(shù)可得到0—1之間的n-1個(gè)隨機(jī)數(shù)。對(duì)此n-1個(gè)隨機(jī)數(shù)進(jìn)行排序，即得到[0，1]區(qū)間的n-1隨機(jī)分點(diǎn)。在每個(gè)子區(qū)間上，與1）類似，同樣分別用左端點(diǎn)和右端點(diǎn)的函數(shù)值作為對(duì)應(yīng)的小矩形的高，計(jì)算左和與右和。

（3） 任意分任意取。在[0，1]區(qū)間的任意分點(diǎn)已經(jīng)確定下來的條件下，利用MATLAB中的rand函數(shù)得到0—1之間的一個(gè)隨機(jī)數(shù)ξ，再將此隨機(jī)數(shù)ξ通過線性變換，轉(zhuǎn)化成小區(qū)間[xk-1，xk]上的一個(gè)隨機(jī)數(shù)，它就是所要取的ξk，即取ξk=（xk-xk-1）ξ+xk-1）。以f（ξk）為高，底邊長為Δxk的小矩形的面積是f（ξk）Δxk。每一個(gè)小區(qū)間都這樣處理，最后把n個(gè)小矩形的面積相加，即可得到曲邊梯形面積的近似值。

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可見，三種方式下隨著n的增大，面積的近似值都越來越接近面積的真實(shí)值的。它驗(yàn)證了曲邊梯形的面積與區(qū)間的分割無關(guān)（可任意分），與小區(qū)間的點(diǎn)ξk的選取也無關(guān)（可任意取）。從而從數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的角度驗(yàn)證了定積分概念的正確性，加深了學(xué)生對(duì)積分思想和定積分概念的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

案例2：重積分的概念（采用溫故知新式研究型教學(xué)） 引導(dǎo)學(xué)生回顧已學(xué)過的定積分的概念，其本質(zhì)核心即為微元法。將其思想推廣到計(jì)算非均勻的平面薄片的質(zhì)量。它是分布在平面區(qū)域上滿足可加性的量。對(duì)平面的區(qū)域進(jìn)行劃分，分成小的平面區(qū)域，再對(duì)小的平面薄片的質(zhì)量進(jìn)行近似，即取其中任意點(diǎn)的密度作為小的平面薄片的密度，乘以小的平面薄片面積即得平面薄片微元的質(zhì)量，最后“求和取極限”即得總的平面薄片的質(zhì)量。由此，即導(dǎo)出了二重積分的定義。

類似地把平面區(qū)域推廣到空間區(qū)域，用微元法計(jì)算非均勻空間物體的質(zhì)量，即可導(dǎo)出三重積分的定義。因此，在多元積分學(xué)概念教學(xué)中，可實(shí)施溫故知新式教學(xué)模式，充分利用前面已學(xué)知識(shí)作為基礎(chǔ)，通過回顧和總結(jié)，啟發(fā)學(xué)生思考，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)兩者研究思路的相似性，使學(xué)生迅速抓住主要矛盾，水到渠成地掌握新知識(shí)。溫故知新式教學(xué)模式還在一定程度上訓(xùn)練了學(xué)生普遍聯(lián)系和重點(diǎn)突出的思維方式。

在學(xué)習(xí)了重積分的概念后，可布置以下思考題，讓學(xué)生組成學(xué)習(xí)小組，在課堂上組織對(duì)問題進(jìn)行討論。

【例2】針對(duì)流行病的傳播問題進(jìn)行研究。假設(shè)患病者將疾病傳染給健康者的概率是兩者之間距離的函數(shù)?，F(xiàn)考慮一個(gè)半徑為10 km的圓形城市（所占平面區(qū)域用D表示），假設(shè)城中的人口和患病者都是均勻分布的（每1 km2有k個(gè)患者），又設(shè)城中某點(diǎn)M處的健康者被位于點(diǎn)P處的患者傳染的概率為：

其中，d（P，M）表示點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離。假設(shè)位于點(diǎn)M處的健康者傳染上該病的概率（稱為被感染率，記作E（M））等于城市中所有患者將疾病傳染給他的概率之和。試用二重積分表示E（M）的計(jì)算公式。

【分析】任取面積元素dσ，則其中共有kdσ個(gè)患者，這kdσ個(gè)患者對(duì)一個(gè)位于M點(diǎn)處的居民的傳染概率為f（P）kdσ，故：

案例3：曲率公式（采用懸念導(dǎo)入式研究型教學(xué)） 在課堂教學(xué)中首先拋出問題：火車在實(shí)際運(yùn)行中通常要過彎道，那么為確保火車在彎道上行駛安全，彎道應(yīng)該怎么設(shè)計(jì)呢？火車在彎道上要安全行駛，其所受到的離心力必須平穩(wěn)變化，因此要求從直道進(jìn)入彎道時(shí)曲率必須是連續(xù)變化的。為此需要設(shè)計(jì)一段曲線軌道，將直線軌道與圓弧軌道連接起來，稱此連接軌道曲線為緩和曲線，工程上通常選用三次多項(xiàng)式曲線作為緩和曲線。

【例3】如圖1所示，CO為直線軌道，AB為圓弧軌道，OA為緩和曲線。已知圓弧軌道半徑為R（km），A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為l（km）。設(shè)緩和曲線方程為y=ax3+bx2+cx+d，試給出系數(shù)a，b，c，d所滿足的關(guān)系式。

拋出以上問題后，學(xué)生的興趣被調(diào)動(dòng)起來了，接下來引發(fā)學(xué)生思考如何刻畫一條曲線的彎曲程度與哪些因素相關(guān)？進(jìn)一步就可以介紹弧微分，給出平均曲率的定義，最后通過對(duì)平均曲率求極限，從而得到曲率的定義以及曲率的計(jì)算公式。在完成以上教學(xué)以后再回到上述引例，通過實(shí)例來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣并鞏固所學(xué)知識(shí)。

【分析】由于y=ax3+bx2+cx+d，y′=3ax2+2bx+c，y″=6ax+2b，依題意，緩和曲線y=y（x）在原點(diǎn)O處應(yīng)滿足y（0）=0，y′（0）=0，y″（0）=0，從而可得系數(shù)b=c=d=0。

又緩和曲線在點(diǎn)A（l，al3）處的曲率，而y′（l）=3al2，

y″（l）=6al，從而在A（l，al3）處：

因此，系數(shù)a滿足關(guān)系式：

在做完以上例題后，還可以啟發(fā)學(xué)生思考：以上緩和曲線能否選用二次多項(xiàng)式？是否需要選用四次以上的多項(xiàng)式？由此說明了緩和曲線選用以上三次多項(xiàng)式的合理性（既簡潔，又符合條件）。

3 結(jié)語

國內(nèi)外高水平研究型大學(xué)都在探索研究型教學(xué)的理論、方式方法以及探索實(shí)踐，而且各具特色。構(gòu)建更多更具實(shí)際背景的教學(xué)案例，還有待于更進(jìn)一步的探索和實(shí)踐。

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