賈文哲 王劍平

(昆明理工大學(xué)信息工程與自動(dòng)化學(xué)院，昆明 650504)

兩類改進(jìn)非線性濾波器UKF算法綜述

賈文哲 王劍平

(昆明理工大學(xué)信息工程與自動(dòng)化學(xué)院，昆明 650504)

通過對(duì)卡爾曼濾波的發(fā)展進(jìn)行簡(jiǎn)述，引出標(biāo)準(zhǔn)無跡卡爾曼濾波和標(biāo)準(zhǔn)無跡變換的采樣策略。通過對(duì)標(biāo)準(zhǔn)無跡卡爾曼濾波的分析，從兩個(gè)切入點(diǎn)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)無跡卡爾曼濾波進(jìn)行改進(jìn),即超球體采樣平方根無跡卡爾曼濾波和強(qiáng)跟蹤無跡卡爾曼濾波，給出了對(duì)應(yīng)的詳細(xì)算法，并對(duì)無跡卡爾曼濾波算法進(jìn)行總結(jié)與評(píng)述。

無跡卡爾曼濾波 采樣策略 超球體平方根無跡卡爾曼濾波 強(qiáng)跟蹤無跡卡爾曼濾波

1960年，美國(guó)數(shù)學(xué)家卡爾曼提出一種濾波方法，將其命名為卡爾曼濾波[1]?？柭鼮V波的基本思想是將噪聲融入系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型之中，對(duì)前一時(shí)刻采用估計(jì)的辦法獲得其估計(jì)值，對(duì)現(xiàn)在時(shí)刻采用其測(cè)量值，利用相關(guān)公式去預(yù)估計(jì)下一個(gè)狀態(tài)的估計(jì)值?？柭鼮V波是在維納濾波的基礎(chǔ)之上，利用線性最小二乘法求出系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的最優(yōu)值[2]。因?yàn)槭且跃€性最小二乘法為契機(jī)，當(dāng)處理非線性系統(tǒng)時(shí)不能應(yīng)用，但現(xiàn)實(shí)中幾乎沒有線性系統(tǒng)，很多非線性因素也不能忽略[3,4]。為了解決卡爾曼濾波在非線性系統(tǒng)中的使用障礙[5]，經(jīng)過研究，Bucy等學(xué)者利用泰勒公式將非線性系統(tǒng)展開成泰勒的一階形式，使它得到近似的線性化，這樣再按照線性卡爾曼濾波的方法處理問題。該方法被命名為擴(kuò)展卡爾曼濾波[6](Extended Kalman Filtering,EKF)。但該方法在非線性較大時(shí)精度不夠，易失去穩(wěn)定性。此后，Julier S J等提出了無跡Kalman濾波(Unscented Kalman Filter,UKF)，它是以無跡變換為基礎(chǔ)，摒棄了擴(kuò)展卡爾曼濾波將非線性系統(tǒng)線性化的做法，更好地處理了非線性化問題，同時(shí)提高了精度[7]。

1 標(biāo)準(zhǔn)UKF濾波①

標(biāo)準(zhǔn)UKF以標(biāo)準(zhǔn)無跡變換為基礎(chǔ)，無跡變換的規(guī)則是在原有的狀態(tài)分布的點(diǎn)集之中，采用一種規(guī)則選取一些采樣點(diǎn)，保證所選點(diǎn)的均值和協(xié)方差與原狀態(tài)點(diǎn)集均值和協(xié)方差相等，將采樣點(diǎn)代入非線性系統(tǒng)之中，通過這些點(diǎn)集的變換，再求均值和協(xié)方差[8]。

給定一非線性離散系統(tǒng)：

(1)

定義Xk、Zk為系統(tǒng)的狀態(tài)向量和量測(cè)向量矩陣；wk、vk為噪聲觀測(cè)值和量測(cè)值，wk～(0,Qk)，vk～(0,Rk)，將所述噪聲規(guī)定為高斯白噪聲，Q、R分別為其方差。

初始化估計(jì)值和狀態(tài)協(xié)方差矩陣：

(2)

Sigma點(diǎn)計(jì)算：

(3)

一步預(yù)測(cè)及其協(xié)方差矩陣時(shí)間更新：

ξi,k|k-1=f(ξi,k-1),i=0,1,…,2n

(4)

(5)

(6)

(7)

量測(cè)更新：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

2 超球體采樣平方根UKF(SR-UKF)

SR-UKF是在UKF算法的基礎(chǔ)上采用一個(gè)狀態(tài)協(xié)方差矩陣的方根矩陣形式[9～11]，根據(jù)QR分解、Cholesky一階更新和最小二乘法，在濾波過程中求出狀態(tài)協(xié)方差矩陣的平方根，將所得值不斷進(jìn)行迭代，不再每一個(gè)時(shí)刻都對(duì)矩陣進(jìn)行再分解，有效防止協(xié)方差矩陣非正定的發(fā)生[12]。在進(jìn)行Sigma點(diǎn)選取時(shí)，采用超球體采樣策略代替標(biāo)準(zhǔn)無跡變換可以有效地減少計(jì)算量。

選擇0≤W0≤1。確定Sigma權(quán)值：

(13)

(14)

其中，α(0≤α≤1)為縮放因子，通過α可以控制采樣點(diǎn)與均值的距離。

初始化向量序列：

(15)

當(dāng)輸入維數(shù)為j(j=2,…,n)時(shí)，迭代公式為：

(16)

其中，i是采樣點(diǎn)順序。

定義如下：

(17)

(18)

其中，β(β≥0)是非負(fù)加權(quán)項(xiàng)。

(19)

SR-UKF的算法如下：

a. 初始化；

b. 計(jì)算Sigma點(diǎn)；

c. 時(shí)間更新；

d. 量測(cè)更新方程。

步驟a采用的公式為：

(20)

其中規(guī)定矩陣下三

角Cholesky分解運(yùn)算簡(jiǎn)寫成chol()。

步驟b采用的公式為：

(21)

步驟c采用的公式為：

(22)

步驟d的公式為：

(23)

采用協(xié)方差陣的平方根形式Sx代替協(xié)方差矩陣Px參加遞推運(yùn)算，可以有效提高濾波算法的數(shù)值穩(wěn)定性[14]。

3 強(qiáng)跟蹤UKF

由于標(biāo)準(zhǔn)UKF算法缺乏對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)異常的自適應(yīng)調(diào)整能力，導(dǎo)致濾波精度降低[15]。文獻(xiàn)[15]提出一種改進(jìn)的強(qiáng)跟蹤UKF算法，該算法采用假設(shè)檢驗(yàn)的方法對(duì)異常狀態(tài)進(jìn)行檢測(cè)，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生異常時(shí)，對(duì)預(yù)測(cè)協(xié)方差陣引入次優(yōu)漸消因子[16,17]自適應(yīng)地調(diào)整濾波增益，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)真實(shí)狀態(tài)的強(qiáng)跟蹤。該算法中次優(yōu)漸消因子的確定無需計(jì)算系統(tǒng)模型的雅克比矩陣。

強(qiáng)跟蹤濾波器(Strong Tracking Filter，STF)的概念是根據(jù)新息向量的正交性原理提出的。這種濾波器與通常采用的濾波器相比，主要表現(xiàn)在它具有較強(qiáng)的關(guān)于模型參數(shù)失配的魯棒性，同時(shí)對(duì)于噪聲和初值統(tǒng)計(jì)特性的敏感性較低，當(dāng)有突變狀態(tài)產(chǎn)生時(shí)，STF具有極強(qiáng)的跟蹤能力，同時(shí)在達(dá)到濾波定后，這種跟蹤能力依然能夠繼續(xù)保持下去，與標(biāo)準(zhǔn)的UKF相比，STF的計(jì)算復(fù)雜性很低[18～20]。基于以上結(jié)論，可以將STF與標(biāo)準(zhǔn)的UKF結(jié)合起來，彌補(bǔ)標(biāo)準(zhǔn)UKF魯棒性不足和對(duì)突變抵抗性差的問題。

將次優(yōu)漸消因子λk引入預(yù)測(cè)協(xié)方差陣Pk|k-1以提高自適應(yīng)能力：

(24)

計(jì)算新息序列：

(25)

(26)

(27)

令Vi=0，最終可得：

(28)

將式(28)代入式(24)可得：

(29)

其中V0為STF實(shí)際輸出的基于新息的協(xié)方差矩陣，可根據(jù)下式計(jì)算：

(30)

其中，ρ為遺忘因子，0<ρ≤1，通常取為0.95。

強(qiáng)跟蹤濾波UKF算法流程如下[21]：

a. 按式(2)對(duì)式(1)進(jìn)行初始化；

b. 按式(3)進(jìn)行Sigma點(diǎn)采集；

c. 按式(4)、(5)進(jìn)行一步預(yù)測(cè)；

d. 如果有異常協(xié)方差矩陣采用式(24)，如果沒有則采用式(6)；

e. 按式(8)～(12)進(jìn)行其余的計(jì)算。

4 結(jié)束語(yǔ)

目前對(duì)UKF的改進(jìn)方法有很多種，除了筆者提到的兩種外，還有將小波變換與UKF算法進(jìn)行融合、UKF算法的自適應(yīng)采樣平方根策略及雙UKF算法等。在不同的系統(tǒng)、不同的條件、不同的場(chǎng)合下,應(yīng)選擇不同的改進(jìn)方法，完全適用于任何系統(tǒng)的算法是不存在的,很多算法都是在彼此的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn),相輔相成,互相配合，具體選擇哪種算法,還應(yīng)根據(jù)實(shí)際的系統(tǒng)來決定。

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OverviewofEstimationAlgorithmforTwoUKFFilters

JIA Wen-zhe, WANG Jian-ping

(FacultyofInformationEngineeringandAutomation,KunmingUniversityofScienceandTechnology,Kunming650504,China)

Through reviewing Kalman filter’s development, the sampling strategies for standard UKF and unscented transform were proposed.Through analyzing standard UKF, the square root UKF and the strong tracking UKF were improved and their corresponding algorithm was presented and UKF algorithm was summarized and reviewed.

UKF, sampling strategy, square root UKF, strong tracking UKF

TP14

A

1000-3932(2016)10-1011-04

2015-12-17(修改稿)

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61364008)；云南省應(yīng)用基礎(chǔ)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(2014FA029)；云南省教育廳重點(diǎn)基金項(xiàng)目(2013Z127)；昆明理工大學(xué)復(fù)雜工業(yè)控制學(xué)科方向團(tuán)隊(duì)建設(shè)計(jì)劃項(xiàng)目