何玉東， 王軍政， 汪首坤， 柯賢鋒

(北京理工大學(xué) 自動化學(xué)院， 復(fù)雜系統(tǒng)智能決策與控制國家重點實驗室， 北京 100081)

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液壓足式機器人單腿等效模型的柔順性彈跳研究

何玉東， 王軍政， 汪首坤， 柯賢鋒

(北京理工大學(xué) 自動化學(xué)院， 復(fù)雜系統(tǒng)智能決策與控制國家重點實驗室， 北京 100081)

基于彈簧負(fù)載倒立擺的足式機器人單腿等效模型是移動機器人領(lǐng)域重要的步態(tài)分析模型. 液壓足式機器人由于其超強的負(fù)載能力以及高動態(tài)性能而越來越受到重視. 液壓驅(qū)動的彈簧負(fù)載倒立擺模型作為液壓足式機器人關(guān)節(jié)型機械腿的單腿等效模型，對于液壓足式機器人的步態(tài)研究具有重要的意義. 本文考慮液壓驅(qū)動的彈簧負(fù)載倒立擺單腿等效模型的單自由度彈跳問題，提出了一種基于主動柔順的彈跳控制方法，依次對單腿等效模型著地相下降階段和著地相上升階段進行獨立控制，仿真分析了相關(guān)系統(tǒng)參數(shù)對彈跳性能的影響，實際彈跳實驗表明本文提出的方法能夠減小著地沖擊力，同時能夠?qū)椞叨冗M行有效控制.

液壓足式機器人；單腿等效模型；彈簧負(fù)載倒立擺；主動柔順

基于彈簧負(fù)載倒立擺(spring loaded inverted pendulum， SLIP)的足式機器人單腿等效模型在機器人領(lǐng)域已經(jīng)被認(rèn)為是一種非常簡單且有效的奔跑及跳躍步態(tài)分析模型. 為研究機器人的高動態(tài)行走，學(xué)者對SLIP單腿等效模型進行了深入的理論分析，如解析化研究[1-2]，步態(tài)分析[3]等. 也有學(xué)者通過本質(zhì)上具備柔性的氣動機構(gòu)搭建了SLIP模型實物，進行了彈跳實驗[3-4]. 由于液壓足式機器人超強的負(fù)載能力以及高動態(tài)性能[5-6]，液壓驅(qū)動的機器人得到了研究人員的廣泛關(guān)注. 然而，與氣動驅(qū)動不同，傳統(tǒng)液壓驅(qū)動是典型的剛性驅(qū)動，如何使其具備一定的柔性、減小環(huán)境交互力成為機器人控制領(lǐng)域的一個難點.

主動柔順控制是通過設(shè)計控制器使得原本剛性的驅(qū)動具備一定柔順性，以減小環(huán)境接觸力的一種控制方法，目前已在移動機器人領(lǐng)域[5-7]得到應(yīng)用. 為減小液壓驅(qū)動的足式機器人單腿觸地沖擊力并減少震蕩，本文針對只具有垂直方向自由度的SLIP單腿等效模型，提出了主動柔順控制方法. 同時，通過分析該等效模型的動力學(xué)方程，提出了彈跳高度控制方法，實現(xiàn)了液壓驅(qū)動的單腿等效模型在垂直自由度上的柔順性著地和彈跳高度控制. 數(shù)值仿真分析了主要參數(shù)對彈跳性能的影響，給出了參數(shù)選擇依據(jù)和方法，實際彈跳實驗驗證了本方法的可行性及有效性.

1 液壓單腿等效模型

圖1為液壓單腿等效模型示意圖，圖中mL為負(fù)載質(zhì)量，La為液壓缸長度，Lk為彈簧長度，Lf為足端長度，L為單腿等效模型的總長度，h為模型總的離地高度，k為彈簧剛度.

(1)

式中Lk，0為彈簧的初始長度.

針對單腿等效模型著地相動力學(xué)模型(1)，本文主要完成了兩方面的工作：① 在單腿等效模型的著地相下降過程中，設(shè)計液壓缸的主動柔順控制器以減小觸地沖擊力和震蕩；② 在單腿等效模型著地相上升過程中，設(shè)計液壓缸位置控制器為系統(tǒng)補充能量，使系統(tǒng)達(dá)到指定的彈跳高度. 下面首先進行液壓缸的主動柔順控制器設(shè)計.

2 液壓缸的主動柔順控制

傳統(tǒng)液壓缸位置閉環(huán)控制使得液壓缸位置環(huán)剛度大，不具備柔性. 由于行程限制，單腿等效模型的末端彈簧剛度一般較大，從而位置控制剛度較大的液壓缸與較大剛度的彈簧進行串聯(lián)時，單腿等效模型將產(chǎn)生較大的觸地沖擊力. 另外，液壓缸進行純位置控制時，液壓缸的阻尼作用主要由液壓缸內(nèi)部摩擦產(chǎn)生，而這部分摩擦阻尼相對于液壓位置控制剛度而言較小，即液壓缸的阻尼作用較弱. 因此，單腿等效模型在觸地過程中由于低阻尼和彈簧的作用將出現(xiàn)持續(xù)震蕩，使單腿等效模型穩(wěn)定時間長.

為減小觸地沖擊力，防止單腿等效模型觸地時的低阻尼震蕩，可通過液壓缸的控制為系統(tǒng)加入阻尼并減小總的系統(tǒng)剛度，方法之一是將液壓缸等效為彈簧阻尼器. 為實現(xiàn)該目的，本文提出了基于位置和力的液壓缸力/位置雙閉環(huán)系統(tǒng)，即液壓缸的主動柔順控制. 其控制框圖如圖2所示.

圖中x0，x和xr分別為液壓缸的實際位移給定，實際位移反饋和外環(huán)誤差值，xe為環(huán)境位移，Gs(s)為被控對象系統(tǒng)模型，Ge(s)為接觸環(huán)境模型，Gr(s)為位置控制器，Gf(s)為目標(biāo)導(dǎo)納模型. Δxf為目標(biāo)導(dǎo)納輸出，由力Fl對應(yīng)的外環(huán)位置誤差給定.

根據(jù)框圖可以得到液壓缸位置與負(fù)載力的關(guān)系模型為

(2)

式中Gp(s)與Ep(s)為內(nèi)環(huán)位置控制的閉環(huán)模型以及誤差模型，定義如下

(3)

(4)

定義位置誤差e=x0-x，結(jié)合式(2)～(4)可得力Fl與系統(tǒng)跟蹤誤差之間的關(guān)系為

e=Ep(s)x0+Ep(s)Gs(s)Fl+Gp(s)Gf(s)Fl.(5)

從而，位置系統(tǒng)的跟蹤誤差受導(dǎo)納模型Gf(s)的影響，改變了系統(tǒng)對力Fl的靈敏度. 對于純位置閉環(huán)系統(tǒng)，其閉環(huán)一般為高剛度，即Ep(s)Gs(s)≈0，主動柔順控制引入的Gp(s)Gf(s)Fl使得系統(tǒng)的跟蹤誤差增大，因此，柔順性控制的實質(zhì)是犧牲一定的位置控制精度來達(dá)到減小沖擊力的柔順性控制效果.

另外，從式(5)也可以看出，當(dāng)內(nèi)環(huán)控制為具有較高帶寬的理想跟蹤環(huán)節(jié)(Gp(s)≈1，Ep(s)≈0)時，有e=Gf(s)Fl. 從而，系統(tǒng)對力Fl的響應(yīng)即為Fl對目標(biāo)阻抗模型Gf(s)的響應(yīng). 雖然實際的控制系統(tǒng)位置內(nèi)環(huán)帶寬有限，必然影響系統(tǒng)對目標(biāo)阻抗模型的跟蹤，但本文的目的是減小沖擊，得到系統(tǒng)對沖擊的平穩(wěn)響應(yīng)，而非得到準(zhǔn)確的阻抗特性，因此，本方法能夠很好的符合需求. 同時，從圖2可見，該方法是在傳統(tǒng)位置閉環(huán)上加入一個外環(huán)阻抗模型，不影響原有的位置閉環(huán)結(jié)構(gòu)，因此結(jié)構(gòu)簡單，容易實現(xiàn)，易于在原有位置閉環(huán)基礎(chǔ)上進行改造.

通過改變目標(biāo)阻抗Gf(s)，可以調(diào)節(jié)液壓缸輸出位置與負(fù)載力之間的關(guān)系，取阻抗模型Gf(s)為

(6)

式中：B和K為設(shè)計參數(shù)，且有Fl=(Bs+K)Δxf，即負(fù)載力Fl與目標(biāo)導(dǎo)納輸出Δxf呈現(xiàn)慣性系統(tǒng)特性，其物理意義即為彈簧阻尼系統(tǒng).

圖2中，以誤差xr為實際的液壓缸位置環(huán)給定，當(dāng)液壓系統(tǒng)具有較高的位置控制精度時，有x≈xr，即x≈x0-Δxf. 從而，液壓缸的實際位移誤差ΔLa=e=x0-x≈Δxf，考慮液壓缸實際的位置控制帶寬不可能無窮大，上述設(shè)計參數(shù)用實際值表示為

(7)

式中：keq為實際的等效剛度；beq為實際的等效阻尼；ΔLa為液壓缸位置誤差. 從而液壓缸在圖2所示的控制下表現(xiàn)為彈簧阻尼系統(tǒng). 經(jīng)過等效后的液壓驅(qū)動單腿等效模型如圖3所示.

3 單腿等效模型的柔順性彈跳

將液壓缸等效為彈簧阻尼系統(tǒng)后，可利用圖3所示的等效模型分析液壓驅(qū)動單腿等效模型彈跳的著地相動力學(xué)方程解. 單腿等效模型的著地相可分為著地相下降階段和上升階段，下面分別就這兩個階段介紹單腿等效模型的著地相動力學(xué)解及控制策略.

3.1 著地相下降

著地相下降過程中，在給定系統(tǒng)的初始能量前提下，為減小觸地沖擊力，采用第二節(jié)所示方法，可將液壓缸等價為彈簧阻尼系統(tǒng). 同樣采用拉格朗日法建立動力學(xué)模型，可得得其動力學(xué)模型仍然具有方程(1)的形式. 且根據(jù)牛頓定律，有力平衡等式

(8)

式中：keq為等效剛度；La，0為液壓缸初始長度.

式(1)與式(8)組成等效模型動力學(xué)模型的二元微分方程組，利用拉普拉斯變換等方法在給定方程組中各參數(shù)的前提下可以一一求出解析解，但是當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)調(diào)整以后需要重新求取，不利于設(shè)計統(tǒng)一的控制器. 由于本文不需要知道彈簧壓縮過程的顯示表達(dá)式，因此可以通過數(shù)值方法計算L的值，該方法在系統(tǒng)參數(shù)調(diào)整以后不需要重新修改控制器參數(shù)，利于編程實現(xiàn).

這里考慮式(1)與式(8)組成的動力學(xué)模型的一種特殊情況. 當(dāng)beq為0，即無阻尼時，可解得

對比式(1)和式(9)可得：若定義系統(tǒng)總剛度為kl，則無阻尼時系統(tǒng)的總剛度為等效彈簧與實際彈簧串聯(lián)后的剛度，即keqk/(keq+k). 根據(jù)彈簧串聯(lián)特性可知，等效以后的系統(tǒng)相對于原系統(tǒng)而言，總彈簧剛度減小，彈簧與地面的作用力減小，實現(xiàn)了減小沖擊力的柔順著地目的. 而等效阻尼beq的加入可以使得系統(tǒng)衰減震蕩，減小單腿等效模型的過渡過程時間.

3.2 著地相上升

在單腿等效模型到達(dá)著地相最低點以后，彈簧壓縮到最大，為使系統(tǒng)能夠快速地補充能量實現(xiàn)彈跳，液壓缸采用高剛度的純位置閉環(huán)控制. 同樣考慮式(1)所示的動力學(xué)方程，設(shè)計式(10)所示的液壓缸長度La控制方法

(10)

式中：La=La，bottom+vat為壓縮到最低時液壓缸的長度；va為設(shè)計變量，表示液壓缸桿的伸出速度.

將式(10)帶入式(1)，并求解，可得

(11)

式中：C2=[ω2(Lk，0+Lf)+La，bottom-g]/ω2；與通過L及的初值求得.

以支撐相上升起始時刻為時間t0，此時彈簧存儲的能量為Ebottom，上升過程液壓缸補充的能量由ELa表示，則上升過程有總能量

(12)

從而，將式(11)及其微分帶入式(12)，可得到系統(tǒng)的總能量. 以tto表示從支撐相進入騰空相的時刻，則根據(jù)騰空相的能量守恒，有

(13)

因此，通過調(diào)整液壓缸速度va的值能夠達(dá)到調(diào)整彈跳高度h的目的.

由于實際系統(tǒng)中存在摩擦、阻尼等現(xiàn)象，直接采用式(13)進行開環(huán)的能量補充將會存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差. 利用實際系統(tǒng)中的激光位移傳感器，可以采用閉環(huán)的方式進行高度控制，并利用式(13)得到的液壓缸速度作為前饋，以提高彈跳高度的控制精度.

4 參數(shù)分析與實驗

為驗證提出方法的有效性，將本文方法在自行研制的一維液壓驅(qū)動彈跳裝置上進行了驗證實驗.

如圖4所示，一維彈跳系統(tǒng)由控制器、泵站和平臺組成，平臺包括砝碼盤、液壓缸、伺服閥、力傳感器、內(nèi)置彈簧以及激光測距傳感器等. 實驗系統(tǒng)的一些基本系統(tǒng)參數(shù)如表1所示.

表1 實驗參數(shù)

4.1 柔順參數(shù)分析與實驗4.1.1 主動柔順參數(shù)選擇

首先考慮被動彈簧剛度范圍確定的情況下，如何選擇主動柔順的等效彈簧剛度以及阻尼系數(shù). 當(dāng)被動彈簧剛度范圍確定以后，系統(tǒng)的總彈簧剛度為主被動彈簧串聯(lián)時的等效剛度，由于彈簧的壓縮量都是有限制的，因此首先應(yīng)當(dāng)根據(jù)負(fù)載質(zhì)量以及壓縮量限制確定主動彈簧的最小剛度，從而選擇合適的keq.

在該剛度下，圖5給出了在幾種不同的被動彈簧剛度下，等效阻尼與單腿等效模型重心高度到達(dá)穩(wěn)態(tài)的過渡過程時間關(guān)系圖. 仿真中用到的參數(shù)為：初始重心高度h=0.2 m，keq=16 N/mm，mL=20 kg，Lk，0=100 mm，Lf=120 mm，La0=130 mm，彈簧剛度k的變化范圍取20～60 N/mm. 如圖5所示，在keq確定、被動彈簧剛度k不同的情況下，beq在1 000 N·s/m附近時單腿等效模型均具有最小的過渡過程時間.

另外，從圖5可以看出，當(dāng)beq小于極值點時，系統(tǒng)的過渡過程時間對阻尼的變化非常敏感，而當(dāng)beq大于極值時，隨著beq的增加過渡過程時間變化緩慢. 對于彈跳系統(tǒng)而言，較大的阻尼吸收了系統(tǒng)較多的能量，不利于彈跳機構(gòu)起跳，同時，較大的阻尼也會帶來觸地沖擊力的增大. 因此，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化時應(yīng)當(dāng)選擇極值點附近偏小的阻尼值，即犧牲過渡過程時間以達(dá)到減小沖擊力和利于起跳的目的.

4.1.2 被動彈簧剛度選擇

由于被動彈簧的剛度對單腿等效模型的響應(yīng)至關(guān)重要，如何選擇合適的被動彈簧成為實際控制中不可忽視的問題. 如4.1.1節(jié)所述，根據(jù)彈簧的壓縮量以及負(fù)載的質(zhì)量可以得到基本的彈簧剛度范圍. 彈簧在剛度k∈[20,80] N/mm內(nèi)變化時，單腿等效模型的調(diào)節(jié)時間以及與地面的接觸力曲線如圖6所示.

由圖6可見，隨著彈簧剛度k的增大，調(diào)節(jié)時間ts逐漸減小，接觸力隨之增大. 綜合考慮調(diào)節(jié)過程的時間以及與地面的沖擊力，可在接觸力小于一定值的前提下選擇調(diào)節(jié)時間較短的k值. 考慮實際彈簧的剛度不可能任意選取，本文后續(xù)實驗選擇k=40 N/mm.

依照上述參數(shù)的選擇過程，可得參數(shù)選擇方法：① 根據(jù)負(fù)載質(zhì)量及彈簧壓縮量限制選擇等效后的總彈簧剛度；② 根據(jù)被動彈簧剛度范圍與總的等效彈簧剛度確定主動彈簧剛度keq；③ 根據(jù)圖5選擇阻尼beq；④ 根據(jù)圖6在被動彈簧剛度范圍內(nèi)確定合適的k.

4.1.3 柔順性實驗

為驗證本文提出的主動柔順控制的實際性能，利用前文所示的參數(shù)選擇方法，將得到的beq，keq以及被動彈簧剛度k運用于單自由度彈跳裝置，在相同高度、不同負(fù)載情況下進行了自由落體實驗. 在剛度為40 N/mm的彈簧下，分別以12 kg和18 kg的重物作為負(fù)載時，柔順性控制的力響應(yīng)曲線如圖7與圖8所示. 由圖可見，相對于未加入主動柔順的控制，本文提出的方法在一次震蕩后就使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)，并且過程中最大沖擊力減小了10%以上，二次沖擊力減小了74%以上，柔順性以及減震效果明顯. 同時，當(dāng)負(fù)載質(zhì)量發(fā)生變化時，本文提出的方法在不改變控制參數(shù)的情況下均具有相同的控制效果.

4.2 彈跳參數(shù)分析與實驗

4.2.1 初始能量的作用

在著地相上升過程中，根據(jù)前文分析可知，系統(tǒng)能夠彈跳的高度是由起跳時彈簧壓縮的能量以及起跳過程中液壓缸補充的能量來決定的. 因此，分析系統(tǒng)的彈跳高度與二者的關(guān)系，得到圖9所示的三維曲面. 圖中，va表示液壓缸伸出速度，ΔLk0表示彈簧的初始壓縮量，h為彈跳高度.

由圖9可見，若以單腿等效模型著地相壓縮量最大時刻為初始時刻，則當(dāng)初始時刻彈簧的壓縮量ΔLk0增大時，最大彈跳高度增加. 為便于觀察，取初始彈簧壓縮量為10 mm的曲線如圖10所示，可見系統(tǒng)可達(dá)的最大彈跳高度并非隨著液壓缸伸出速度va的增加而增加，而是存在一個極值點，這是由于當(dāng)va增加后，系統(tǒng)的能量雖然增加很快，但是快速的能量增加使得系統(tǒng)迅速的脫離著地相進入騰空相，反而使得作用時間減小. 因此，為最大限度地增加彈跳高度，不能盲目地提高液壓缸的伸出速度. 從圖9可見，隨著初始能量的增加，最大彈跳高度點對應(yīng)的液壓缸速度是不斷增加的，即著地相壓縮階段結(jié)束時，彈簧的壓縮量越大，則越可以通過提高液壓缸伸出速度va以增加彈跳高度.

需要說明的是，對于實際彈跳系統(tǒng)，彈簧的初始壓縮量是由初始給定的能量決定的，其給定方式可以是單腿等效模型的下落速度，也可以是自由落體的高度，因此，這里彈跳高度與初始壓縮量的關(guān)系也是彈跳高度與單腿等效模型的初始給定能量之間的關(guān)系.

4.2.2 預(yù)緊力對彈跳高度的影響

前文分析了彈簧初始壓縮量對彈跳高度的影響. 初始壓縮量是起跳時系統(tǒng)能量的一種表示，這里考慮另一種能量的表示，即彈簧的預(yù)緊力.

在上述分析中，沒有考慮在整個彈跳過程中彈簧是否會超出其可壓縮范圍，但由于本文考慮的彈簧具有較大的剛度，彈跳過程中彈簧的壓縮量不大，因此上面得到的結(jié)論是成立的. 但對于一些剛度較軟的彈簧，則應(yīng)當(dāng)考慮彈簧壓縮量的約束. 加入預(yù)緊力可以防止彈簧超過其可壓縮范圍[8]，實現(xiàn)能量存儲，同時還能防止安裝松動導(dǎo)致的機械磨損降低彈簧的使用壽命.

圖11給出了相同初始能量下預(yù)緊力的大小對彈跳高度的影響. 由圖11可見，當(dāng)預(yù)緊力增大時，最大彈跳高度呈現(xiàn)減小趨勢，其原因是預(yù)緊力的加入使得初始壓縮的能量被存儲而得不到釋放，因此彈跳高度減小. 另外，從圖11還可以得出，隨著預(yù)緊力的增加，最大彈跳高度對應(yīng)的液壓缸速度va也在逐漸減小，一定程度以后，該速度將趨向于0，這意味著增加液壓缸的伸出速度已無法增加彈跳高度. 因此，在設(shè)計彈跳實驗時不能過度加大預(yù)緊力，如果出現(xiàn)彈跳高度可控范圍降低或者不可控時，應(yīng)當(dāng)重新選取合適剛度的彈簧.

4.2.3 彈跳實驗

利用本文提出的彈跳方法，在實際系統(tǒng)上進行了彈跳高度的控制實驗. 系統(tǒng)彈跳開始時具有的初始高度610 mm，首先給定彈跳高度為650 mm，在一定的彈跳次數(shù)以后，將彈跳高度增加為680 mm，得到圖12所示的曲線. 實驗中通過測量得到實驗的基本參數(shù)為：k=40 N/mm，keq≈16 N/mm，beq≈890 N·s/m，預(yù)緊力為40 N. 需要指出的是，如前文所述，等效彈簧的剛度keq和阻尼beq與液壓缸的位置閉環(huán)控制精度有關(guān)，因此其實際值只能通過測量的方法獲得，因此上述keq和beq值是通過實際的力、位置誤差以及速度誤差計算得到.

由圖12可見，無論是在650 mm還是680 mm高度處，彈跳系統(tǒng)都能具有較好的高度跟蹤效果，其穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差小于3%. 在給定高度變化以后，經(jīng)過4個彈跳周期的能量補充，系統(tǒng)就能夠跟蹤新的給定高度，可見本文提出的方法具有較好的高度適應(yīng)性.

5 結(jié) 論

本文研究了液壓驅(qū)動的彈簧負(fù)載倒立擺單腿等效模型，在其動力學(xué)模型分析的基礎(chǔ)上，提出了一種基于液壓缸主動柔順控制的單自由度彈跳方法，通過仿真分析得到了主要參數(shù)的選擇方法. 實際的彈跳實驗驗證了本文提出方法的可行性以及有效性，在減小著地沖擊力的同時還能夠?qū)椞叨冗M行有效控制.

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(責(zé)任編輯：李兵)

Research on Compliant Hopping for Equivalent Model of Hydraulic Robot Leg

HE Yu-dong， WANG Jun-zheng ， WANG Shou-kun ， KE Xian-feng

(Key Laboratory of Intelligent Control and Decision of Complex Systems， School of Automation，Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China)

Spring loaded inverted pendulum (SLIP) based equivalent leg is an important gait analyzing model in the realm of mobile robot. Due to superb load capacity and dynamic performance， hydraulic based robot has gained more popularity. As an equivalent model for articulated leg in hydraulic legged robot， hydraulic activated SLIP model shows its importance in hydraulic robot gait analysis. In this paper， analyzing the hydraulic actuated 1-DOF SLIP model， an active compliance based hopping method was proposed. And the separation control for stance phase compression and decompression stage was conducted. System parameters were analyzed with simulation for hopping performance and hopping experiments verified the effectiveness of impact force reduction and hopping height control performance.

hydraulic legged robot; equivalent leg; SLIP model; active compliance

2015-06-23

國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃資助項目(2011AA041002)

何玉東(1987—)，男，博士生，E-mail:yudonghe@foxmail.com；王軍政(1964—)，男，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail:wangjz@bit.edu.cn.

TP 242.6

A

1001-0645(2016)08-0820-07

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.08.009