王鐵成， 陳國平， 馬 方， 孫東陽

(1.南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京，210016)(2.鹽城工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院汽車工程學(xué)院 鹽城，224005) (3.重慶大學(xué)航空航天學(xué)院 重慶，400044)

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部件柔性對(duì)含間隙多體系統(tǒng)動(dòng)力特性的影響*

王鐵成1， 陳國平1， 馬 方2， 孫東陽3

(1.南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京，210016)(2.鹽城工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院汽車工程學(xué)院 鹽城，224005) (3.重慶大學(xué)航空航天學(xué)院 重慶，400044)

構(gòu)建了含有混合間隙的剛?cè)狁詈隙囿w系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，研究了部件柔性對(duì)多體系統(tǒng)動(dòng)力特性的影響。首先，建立了混合間隙碰撞力模型；然后，以曲柄滑塊為研究對(duì)象，采用自然坐標(biāo)法和絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法分別建立了剛性構(gòu)件和柔性構(gòu)件的動(dòng)力學(xué)模型，通過時(shí)域和頻域分析了連桿柔性對(duì)動(dòng)力特性的影響。結(jié)果表明，柔性構(gòu)件對(duì)間隙碰撞力有一定的緩沖作用，能緩沖碰撞的高頻振動(dòng)，而且柔性部件隨著彈性模量的減小對(duì)高頻響應(yīng)的緩沖效果更加明顯。

滑移副間隙; 旋轉(zhuǎn)副間隙; 多體系統(tǒng); 動(dòng)力特性

引 言

在機(jī)械系統(tǒng)中，由于加工、裝配以及工作過程中的磨損，機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)副普遍存在間隙。間隙是部件間產(chǎn)生碰撞沖擊的根源，碰撞沖擊不僅使機(jī)構(gòu)產(chǎn)生振動(dòng)和噪聲，而且降低系統(tǒng)的可靠性、壽命以及工作精度。隨著機(jī)械系統(tǒng)向大型化、輕質(zhì)和高速方向發(fā)展，部件柔性對(duì)系統(tǒng)有一定的影響，所以分析部件柔性對(duì)含間隙機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力特性的影響是必要的。

在含間隙多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究方面，F(xiàn)lores[1-2]等做了大量的研究工作，包括含單個(gè)旋轉(zhuǎn)副間隙系統(tǒng)以及含多個(gè)旋轉(zhuǎn)副間隙的平面多體系統(tǒng)，提出了一種含有多個(gè)旋轉(zhuǎn)副間隙的多體系統(tǒng)建模方法。針對(duì)柔性多體系統(tǒng)，Bauchau等[3]通過浮動(dòng)坐標(biāo)和有限元方法建立了含間隙柔性曲柄滑機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，研究了間隙大小等因素對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力特性的影響，計(jì)算結(jié)果表明，多體系統(tǒng)部件柔性能夠抑制碰撞力峰值。Muvengei等[4]將Lugre摩擦力引入計(jì)算模型中，研究了含兩個(gè)旋轉(zhuǎn)副間隙平面多剛體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。郝雪清等[5]研究了不同運(yùn)動(dòng)副材料對(duì)間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響。谷勇霞等[6]對(duì)含多間隙帆板展開過程進(jìn)行了研究，通過帆板展開過程中角速度的變化，分析了間隙碰撞對(duì)展開機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性的影響。Flores等[7-8]開展了含有移動(dòng)副間隙的多體動(dòng)力特性的研究。在高速運(yùn)動(dòng)過程中，柔性部件會(huì)產(chǎn)生動(dòng)力剛化和大變形，應(yīng)用傳統(tǒng)有限元法建立的動(dòng)力學(xué)模型已不能滿足計(jì)算精度要求，甚至?xí)谟?jì)算過程中出現(xiàn)難以收斂的問題。Shabana[9]以有限元和連續(xù)介質(zhì)力學(xué)為基礎(chǔ)，提出了采用絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)建立柔性多體模型的理論，這種方法可以有效彌補(bǔ)傳統(tǒng)有限元在計(jì)算多體系統(tǒng)高轉(zhuǎn)速和大變形等情況下的缺陷。Tian等[10-11]基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)方法分別研究了平面和空間含有單個(gè)間隙的柔性系統(tǒng)動(dòng)力特性，研究發(fā)現(xiàn)，柔性系統(tǒng)模型中的間隙碰撞力比剛體系統(tǒng)要小。

筆者采用自然坐標(biāo)法和絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法分別建立了剛性構(gòu)件和柔性構(gòu)件的動(dòng)力學(xué)模型，以曲柄滑塊機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，通過時(shí)域和頻域分析了連桿柔性對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)力特性的影響。

1 間隙模型

1.1 旋轉(zhuǎn)副間隙模型

軸與軸承的中心距矢量和中心距分別表示為

(1)

(2)

軸與軸承接觸點(diǎn)的單位法向量表示為

(3)

圖1 旋轉(zhuǎn)副間隙模型Fig.1 Revolute joint with clear

如圖1所示，當(dāng)軸和軸承發(fā)生碰撞時(shí)，其嵌入深度為

(4)

其中：C為間隙尺寸，其值等于軸承半徑Ri與軸半徑Rj之差，即C=Ri-Rj。

體i和體j的接觸點(diǎn)Qi和Qj在全局坐標(biāo)系中的矢量為

(5)

將式(5)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得到接觸點(diǎn)Qi和Qj的全局速度矢量

(6)

將接觸點(diǎn)速度向接觸面的法向和切向進(jìn)行投影得到法向速度vN和切向速度vT，相對(duì)法向速度確定兩個(gè)碰撞體是相對(duì)接近還是分離情況，相對(duì)切向速度確定兩個(gè)體是否存在相對(duì)滑動(dòng)。相對(duì)法向和切向速度可表示為

(7)

(8)

其中：向量n逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到切向量t。

當(dāng)軸和軸承發(fā)生碰撞時(shí)，在碰撞面處就會(huì)產(chǎn)生碰撞力，將碰撞力分別向法向n和切向t投影，其中作用在碰撞點(diǎn)處的法向力fn可以表示為

fn=FNn

(9)

考慮到碰撞過程中的能量耗散，Lankarani等提出的連續(xù)碰撞模型[12]是應(yīng)用非常廣泛的一種碰撞力模型，該碰撞力模型可以表示為

(10)

該碰撞模型只適用于恢復(fù)系數(shù)接近于1的情況。K為碰撞體的接觸剛度系數(shù)，可表示為

(11)

參數(shù)hi和hj為

(12)

其中：vk為泊松比；Ek為彈性模量。

當(dāng)碰撞過程中存在相對(duì)切向運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)在接觸面上產(chǎn)生摩擦力，根據(jù)Ambrósio提出的庫倫摩擦力法則[13]，切向力ft可表示為

ft=-cfcdFNvt/‖vt‖

(13)

其中：cf為摩擦因數(shù)；cd為動(dòng)態(tài)校正系數(shù)。

(14)

將作用在體i和體j接觸面上的法向力和切向力分別等效到體i的質(zhì)心和體j的節(jié)點(diǎn)Oi和Oj，如圖2所示，則作用在體i質(zhì)心上的力和力矩分別為

fi=fn+ft

(15)

(16)

作用在體j節(jié)點(diǎn)上的力分別為

(17)

圖2 碰撞點(diǎn)的力矢量Fig.2 Force vectors that act at the point of contact

1.2 移動(dòng)鉸間隙模型

含有間隙的移動(dòng)副模型如圖3所示，它是由滑塊和導(dǎo)槽構(gòu)成?；瑝K長為L，高為W，導(dǎo)槽的高為H，間隙大小為C，其表達(dá)式為

(18)

圖3 移動(dòng)副模型Fig.3 Translation joint model

如圖4所示，移動(dòng)副間隙中滑塊與導(dǎo)槽有4種接觸狀態(tài)：a.自由運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即無接觸；b.滑塊一角與導(dǎo)槽接觸；c.側(cè)面接觸；d.對(duì)角同時(shí)接觸導(dǎo)槽。

為建立移動(dòng)副間隙的受力分析模型，將與體j固連的局部坐標(biāo)系中由P點(diǎn)指向Q點(diǎn)的單位矢量t′，向慣性坐標(biāo)系投影可以得到

t=Hjt′

(19)

其中：Hj為體j固連坐標(biāo)系到總體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換陣。

對(duì)體j和體i上的任意點(diǎn)G，用總體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可表示為

(20)

圖4 移動(dòng)鉸4種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)Fig.4 Four motion state of translation

如圖5所示，導(dǎo)槽PQ邊上離滑塊點(diǎn)Ai距離最近的點(diǎn)Aj在總體坐標(biāo)中的位置矢量可表示為

(21)

圖5 移動(dòng)鉸碰轉(zhuǎn)點(diǎn)矢量Fig.5 The collision point vector of translation joint

連接滑塊上點(diǎn)Ai到導(dǎo)槽上點(diǎn)Aj的矢量為

(22)

判斷d的方向與導(dǎo)槽表面的法向方向n是否一致，可由單位向量t順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到。則n可表示為

(23)

滑塊和導(dǎo)槽發(fā)生碰撞并有滲透時(shí)，滿足下式條件

dTn<0

(24)

根據(jù)Lankarani提出的兩平面間線性接觸力模型[14]，滑塊與導(dǎo)槽的碰撞力可表示為

(25)

其中：Ks為接觸剛度。

(26)

其中：a為矩形接觸面周長的一半；hi和hj可由式(12)計(jì)算得到。

將滑塊與導(dǎo)槽的碰撞力分別向碰撞面的法向和切向投影，則法向碰撞力fn為

fn=FNn

(27)

作用在滑塊上的摩擦力ft同樣可由式(13)給出。

如圖6所示，將作用在接觸面上的碰撞力等效到滑塊i質(zhì)心上，則力和力矩分別表示為

fi=fn+ft

(28)

(29)

作用在導(dǎo)槽體j質(zhì)心上的力和力矩分別為

(30)

(31)

圖6 移動(dòng)鉸碰撞力矢量Fig.6 The collision force vector of translation joint

2 絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法與動(dòng)力學(xué)控制方程

2.1 絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法

基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法的一維兩節(jié)點(diǎn)梁單元如圖7所示，單元上任意點(diǎn)的位置矢量可表示為

(32)

其中:S為定義在總體坐標(biāo)系上的形函數(shù)。

(33)

其中：s1=1-3ξ2+2ξ3；s2=ξ-3ξ2+2ξ3；s3=3ξ2-2ξ3；s4=l(ξ3-ξ2)；ξ=x/l；e為單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。

e[7]表示為

(34)

圖7 平面梁單元Fig.7 Plane beam element

根據(jù)式(33)，單元的動(dòng)能可表示為

(35)

其中：Me=∫ρSTSdV，為單元的常數(shù)質(zhì)量陣；ρ和V分別為材料的密度和單元的體積。

基于虛功原理建立單元的動(dòng)力學(xué)方程

(36)

其中：Qe為單元受到的廣義外力；Qk為單元廣義彈性力。

單元廣義彈性力由單元應(yīng)變能對(duì)單元坐標(biāo)求偏導(dǎo)獲得

(37)

其中：Ue為單元的總應(yīng)變能。

根據(jù)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論，單元的總應(yīng)變能包含彎曲應(yīng)變能Uel和軸向拉伸應(yīng)變能Uet，可表示為

(38)

其中：εi和κ分別為單元應(yīng)變和曲率。

含約束柔性體k的動(dòng)力學(xué)方程為

(39)

其中：Be為布爾矩陣。

2.2 動(dòng)力學(xué)控制方程

基于拉格朗日方法，建立了含約束的剛?cè)狁詈隙囿w系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

(40)

式(40)為微分-代數(shù)方程，在數(shù)值求解過程中有可能出現(xiàn)違約。這里采用Baumgarte違約修正法來抑制求解過程中誤差的增長，則式(40)可以進(jìn)一步表示為

(41)

其中：α，β為穩(wěn)定性系數(shù)，它們的取值范圍在1～50之間。

3 算例分析

以曲柄滑塊機(jī)構(gòu)為例，該曲柄滑塊機(jī)構(gòu)由地面1、曲柄2、連桿3和滑塊4組成，如圖8所示，其相關(guān)的結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。

圖8 曲柄滑塊示意圖Fig.8 Slide-crank mechanism

Tab.1 Geometric and intertia properties of slide-crank mechanism

構(gòu)件長度/m質(zhì)量/kg慣性力矩/(kg·m2)20.050.300.0001030.120.210.0002540.050.140.00025

曲柄滑塊間隙屬性與運(yùn)動(dòng)副參數(shù)見表2。在剛?cè)狁詈夏Ｐ椭?，曲柄和連桿分別采用自然坐標(biāo)法和絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法建模。連桿離散為6個(gè)一維二節(jié)點(diǎn)絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)梁單元。為對(duì)比連桿為剛性的情況，采用自然坐標(biāo)法建立了曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的剛性模型。通過施加外力矩使曲柄以5 kr/min的恒定角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，并帶動(dòng)連桿運(yùn)動(dòng)。初始時(shí)刻，曲柄和連桿都處于水平位置。本研究分析的模型中，設(shè)定旋轉(zhuǎn)副間隙大小和移動(dòng)副間隙大小是相同的，間隙改變指的是兩種運(yùn)動(dòng)副間隙同時(shí)改變且相同。

表2 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副參數(shù)

Tab.2 Parameters used in the dynamic simulation of the slide-crank mechanism with clearance joins

移動(dòng)副旋轉(zhuǎn)副滑塊長度/mm滑塊高度/mm彈性模量/GPa泊松比軸半徑/mm彈性模量/GPa泊松比5.08.02070.310.02070.3

為研究部件柔性對(duì)碰撞力的影響，首先分析了無間隙、間隙C=0.05和C=0.2 mm時(shí)，剛性曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的曲柄力矩。三種情況下的曲柄力矩的時(shí)域曲線見圖9，有間隙時(shí)的頻率成分分布見圖10。由圖9可知，無間隙時(shí)，曲柄力矩的峰值在140 Nm左右，而有間隙時(shí)，曲柄力矩曲線有很多毛刺，這主要是運(yùn)動(dòng)副部件的頻繁接觸碰撞產(chǎn)生的，可見間隙明顯影響了機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性?？梢园l(fā)現(xiàn)，間隙從0.05mm增大到0.2mm后，曲柄力矩波動(dòng)峰值有明顯增大，從200Nm左右增大到400Nm左右。由圖10可以看出，間隙增大后，在2 kHz～3 kHz的范圍內(nèi)仍為高頻成分的主要區(qū)間，但高頻成分的峰值有明顯的增大。

圖9 不同間隙時(shí)的曲柄力矩曲線Fig.9 Crank moment for the different clearance

當(dāng)間隙C=0.05 mm，連桿的彈性模量E為2，6，20和80 GPa時(shí)的曲柄力矩結(jié)果如圖11所示。可以發(fā)現(xiàn)，曲柄力矩曲線仍有很多毛刺，并且曲柄力矩個(gè)別峰值已達(dá)到200 Nm。為了分析間隙碰撞對(duì)驅(qū)動(dòng)力矩高頻和低頻響應(yīng)的影響，圖12給出了曲柄力矩頻率分布。由圖可以發(fā)現(xiàn)，隨著連桿彈性模量的降低，曲柄力矩響應(yīng)的高頻成分也相應(yīng)有所降低。當(dāng)E=80 GPa時(shí)，高頻成分主要集中在2～2.5 kHz內(nèi)；當(dāng)E=20 GPa時(shí)，高頻成分集中在1 kHz～2 kHz以內(nèi)；當(dāng)E=6 GPa時(shí)，高頻成分集中在1 kHz左右;當(dāng)E=2 GPa時(shí)，高頻成分集中500 Hz左右。

圖11 不同彈性模量的曲柄力矩曲線(C=0.05 mm)Fig.11 Crank moment for the different modulus of elasticity(C=0.05 mm)

圖12 不同彈性模量的曲柄力矩頻域分布(C=0.05 mm)Fig.12 Frequency distribution of crank moment for the different modulus of elasticity(C=0.05 mm)

圖13 不同彈性模量的曲柄力矩曲線(C=0.2 mm)Fig.13 Crank moment for the different modulus of elasticity(C=0.2 mm)

圖14 不同彈性模量的曲柄力矩頻域分布(C=0.2 mm)Fig.14 Frequency distribution of crank moment for the different modulus of elasticity(C=0.2 mm)

當(dāng)間隙C=0.2 mm時(shí)，曲柄力矩時(shí)域曲線和頻率分布分別如圖13和圖14所示。由圖13可以發(fā)現(xiàn)，間隙碰撞對(duì)曲柄力矩的影響更加明顯，此時(shí)從頻率分布圖上看，隨著彈性模量的降低，高頻成分也隨著降低。由此可見,部件柔性能夠緩沖含間隙機(jī)械系統(tǒng)的高頻沖擊響應(yīng)。

4 結(jié)束語

筆者以曲柄滑塊機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，建立同時(shí)含有移動(dòng)副間隙和旋轉(zhuǎn)副間隙的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)計(jì)算模型，在時(shí)域和頻域中分析連桿柔性對(duì)曲柄力矩的影響。計(jì)算結(jié)果表明，連桿的柔性對(duì)間隙碰撞有一定的緩沖作用，對(duì)高頻振動(dòng)也有緩沖作用，這種作用隨著連桿彈性模量的減小而更加明顯。所提出的含混合間隙剛?cè)峤７椒ㄒ约巴ㄟ^頻率對(duì)曲柄力矩的分析，為含有多間隙的高速機(jī)構(gòu)等機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力特性分析提供了一定的思路，有一定的工程實(shí)用價(jià)值。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.03.023

*江蘇高校優(yōu)勢(shì)學(xué)科建設(shè)工程資助項(xiàng)目

2015-10-19；

2015-12-24

O313.7; TH112

王鐵成，男，1979年2月生，博士生。主要研究方向?yàn)閺?fù)雜結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)。曾發(fā)表《基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法的柔性多體系統(tǒng)靈敏度分析》(《振動(dòng)與沖擊》2015年第34卷第24期)等論文。

E-mail：tiechengw2010@sina．com