筅江蘇省高郵中學　季長征

傾聽學生反思教學方能提高——由一道無法分離參變量的題引發(fā)的教學思考

筅江蘇省高郵中學季長征

教師作為人生成長中重要階段的引路人之一，有責任去傾聽學生，傾聽學生的需求，反思并改進自己的行為，成為他們?nèi)松砷L的領路人，正如李政濤先生所言：“教育的過程是教育者與受教育者互相傾聽與應答的過程.”有時傾聽學生的一些做法，反思自己的教學會有不一樣的收獲.

一、傾聽學生，問題產(chǎn)生

分離參變量是解決恒成立問題的一個重要方法，而不是唯一的方法.一天甲學生拿了下面的題目來問筆者，“已知函數(shù)（fx）=m（x-1）2-2x+3+lnx，m∈R，當m>0時，若曲線y=（fx）在點P（1，1）處的切線l與曲線y=（fx）有且只有一個公共點，求實數(shù)m的值.”

老師：你怎么考慮的？

老師：你怎么想到分離參變量的？

甲學生：我想到當函數(shù)圖像有且只有一個公共點時可以用圖像法，于是轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點問題.

對啊，學生思路沒有錯啊，這可是自己平時教學中總結(jié)的啊.

老師：你把（x-1）2除過來有沒有討論x=1的情況？

反思：將陌生問題熟悉化，很棒！那么為什么甲學生會這樣想，甲學生還說班上很多學生都是這么做的，都解到這解不下去了.他們也找到解答了，解答用的是分類討論，這些話讓筆者思考頗多，大部分學生酷愛分離參變量法，因為用分離參變量法，通常得到的是一個確定函數(shù)的不等關系，再用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，往往是確定的，不需要討論，筆者也這么認為，因為平時教學中筆者將這類題目的解法單一化，替學生總結(jié)這類題型的方法時過于武斷，沒有考慮其他方法.

二、反思教學，尋找原因

前段時間筆者在班上講了這么一道題“已知函數(shù)f（x）=ax2-lnx（a為常數(shù)），若a<0，且對任意的x∈［1，e］，f（x）≥（a-2）x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.”

學生一般的思路如下：因為f（x）≥（a-2）x在x∈［1，e］時恒成立，即a（x2-x）≥lnx-2x在x∈［1，e］時恒成立.

①當x=1時，此不等式恒成立，故此時a∈R.

令h（x）=x+1-lnx，x∈（1，e］，則h′（x）=1-在x∈（1，e］時恒成立.

故h（x）在x∈（1，e］時單調(diào)遞增，從而h（x）>h（1）=2> 0，從而當x∈（1，e］時，g′（x）>0恒成立，故g（x）在x∈（1， e］時單調(diào)遞增.所以g（x）max=g（e）

因為分類討論的方法較為復雜，筆者也就一帶而過，沒有對分類討論的方法作詳細介紹.

反思：其實在很多試卷評講課時，我們往往沒有抓住第一時間去處理好這類問題的方法，機遇就這樣稍縱即逝，殊不知，只講分離參變量法會把學生的思路變得單一，一般題型還好，一旦遇到上面所謂分不了參的，學生就無從下手.若老師在評講試卷時能認真講一下分類討論，學生也不會對一開始提出的問題無所適從.

改進講法：除了分離參變量，有沒有其他的解法呢？其實有的題目分離參變量的方法也是很好的.

設F（x）=f（x）-（a-2）x=ax2-lnx-（a-2）x.因為對任意的x∈（1，e］，f（x）≥（a-2）x恒成立，即F（x）≥0恒成立.

三、引入法則，解決問題

我們回到原題①，那常規(guī)思路應該怎么做呢？你們聽完上面這道題能不能用分類討論的方法呢？

在此可做總結(jié)，恒成立問題不一定是用分離參變量好，有時構造新函數(shù)，分類討論也是很好的，要具體問題具體分析.既然筆者忽視對分類討論解法的講解，學生沒想到.那上面這道題分離參變量真的就走不下去了嗎？

老師：你分離參變量后，接著怎么做？

反思：這就是分參分不下去的根源.是不是就不能講呢？競賽課能講，那平時的教學不能講嗎？如果學生平時習慣了分離參變量就走不下去了嗎？

其實不然，我們今天引入一個新內(nèi)容——洛必達法則，洛必達法則是在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法.法國數(shù)學家洛必達在1696年的著作《闡明曲線的無窮小分析》中發(fā)表了這個法則，因此以他為命名.但一般認為這個法則是由瑞士數(shù)學家約翰·伯努利首先發(fā)現(xiàn)，因此也被叫作伯努利法則.

（2）在點a的某個去心鄰域內(nèi)兩者都可導，且g（′x）≠0；

綜上所述m=1.

這就帶來個問題，洛必達法則有講的必要嗎？若講的話，怎么講呢？平時又不怎么用，講了會不會違背高考考綱呢？筆者認為有講的必要，數(shù)學的發(fā)展就是在遇到新問題后，解決新問題而產(chǎn)生新知識，應該說我們高中教學中不止一次出現(xiàn)可以用洛必達法則的，既然學生好理解，我們?yōu)槭裁床恢v呢.怎么講呢？不能突然說要講洛必達法則，而是要抓住時機來講.例如：在講到類似f（x）=，當x→+∞，f（x）→0時，有的教師可能是用增長速度講的，x+1的增長速度在x很大時比x2的增長速度慢.這樣講學生是好理解，但若能在這說出問題的本質(zhì)豈不更好，其實我們可以用洛必達法則加以解釋，它屬于型不定式極限，這樣既沒有刻意去講洛必達法則，也能讓學生在正常學習中多學了一個知識，何樂而不為呢.其實學生在學物理時就已經(jīng)接觸到類似的問題，物理上說當正數(shù)x很小時，sinx近似等于x.用數(shù)學知識好理解所以正數(shù)x很小時，sinx近似等于x.

四、考試涉及，問題普遍

平時練習遇到這樣的怪題，那高三模擬考試中有嗎？有，而且不止一題.筆者就拿高三蘇中三市調(diào)研考試中出現(xiàn)的一道題來說，巧的是筆者是網(wǎng)上閱這道題.此題為第19題共2問16分，第二問均分只有2.3分，為什么這么低，我們閱卷中發(fā)現(xiàn)第二問用分離參變量做的占到95%.為什么會這樣呢？分參中絕大多數(shù)學生拿不到分數(shù)，為什么呢？我們先來看看題目：

已知函數(shù)f（x）=x+sinx.

（2）求實數(shù)a的取值范圍，使不等式f（x）≥axcosx在上恒成立.

我們先來看看構造新函數(shù)分類討論的方法，學生會不會很容易想到.

當a>0時，令g（x）=f（x）-axcosx=x+sinx-axcosx，則g′（x）=1+cosx-a（cosx-xsinx）=1+（1-a）cosx+axsinx.

①當1-a≥0，即00，所以g（x）在上為單調(diào)增函數(shù).所以g（x）≥g（0）=0+sin0-a·0·cos0=0，符合題意.所以0

②當1-a<0，即a>1時，令h（x）=g′（x）=1+（1-a）cosx+ axsinx，于是h′（x）=（2a-1）sinx+axcosx.

因為a>1，所以2a-1>0，從而h′（x）≥0.所以h（x）在上為單調(diào)增函數(shù).所以h（0）≤h（x）≤h即 2-a≤h（x）≤a+1，所以2-a≤g（′x）≤a+1.

當2-a≥0，即1

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為（-∞，2］.

相信讀者看完也會覺得這道題用分類討論的方法確實太難想，可能學生還是比較容易想到分離參變量的方法，從閱卷情況看也是這樣.接下來我們一起來瞧瞧為什么很多學生分參做不下去？

五、反思教學，方能提高

通過對上面幾道所謂無法分離參變量的題目的分析后，筆者對教學有幾點反思：

（1）解題教學時要學會傾聽學聲，了解學情，把握好學生的思維起點.課堂教學中教師要立足于講清解題思路，要將解題的思維過程暴露給學生.不要就題論題，要多講些如何想的，少講些如何算的，要教會學生為什么這樣解？解此類題的思路是什么？學生最關心的問題是什么？當初你是如何想到這樣解的？今后再遇到類似的問題如何下手？要注意講清思路受阻的原因，以及打開解題思路的步驟、方法.哪怕受阻是暫時的知識，內(nèi)容不夠，也要視情況補充.

（2）教師要認識到對于很多數(shù)學問題，教師與學生的認知往往不一樣，不能把你認為的好方法直接灌輸給學生，形成學生思路單一化，要遵循學生的認知規(guī)律，強化學生的“最愛”解法時，還要不失時機地引導學生從變化的角度看問題，帶他們進入一個新境界，拓展學生思維，提升學生能力，升華學生本領.

（3）解題時要注意通性通法的講解，也要注意一題多解，多個方法之間注意比較.就如本文提及的恒成立問題，分離參變量是好方法，但不是唯一的方法，還可以構造新函數(shù)，分類討論.到底哪個方法好，不能一概而論.這就提醒我們平時教學中要具體問題具體分析.

（4）利用好網(wǎng)批試卷后的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，可以促進教學有效性的提升，使教師的“教”、學生的“學”在數(shù)據(jù)的引領下提高效率，學生的解答就是學生的“聲音”，傾聽他們的“聲音”，從而了解學生的學情，優(yōu)化我們的教學效果.

六、結(jié)束語

“課堂是一門有遺憾的藝術”，但關鍵部分處理不好而出現(xiàn)的種種遺憾，有時恰恰是數(shù)學問題的核心、知識的重點、學生的盲點，因此我們要以學生為本，以學生的發(fā)展作為教學根本目的，能傾聽學生的心聲，及時反思，冷靜分析，找出問題，并制定相應的對策；要有勇氣，能夠自我否定，及時彌補，這樣方能取得成功！

1.楊曉翔.細節(jié)決定成?。跩］.數(shù)學通報，2015（10）.

2.展國培.增強思辨意識發(fā)展思維能力［J］.數(shù)學通報，2015（9）.F