筅江蘇省常熟市滸浦高級(jí)中學(xué)　鄭曉晴

數(shù)學(xué)方法好，解題沒(méi)困擾——幾種典型的高中數(shù)學(xué)解題方法例析

筅江蘇省常熟市滸浦高級(jí)中學(xué)鄭曉晴

高中數(shù)學(xué)題型多變，表面看來(lái)難度大，深度廣，很容易讓學(xué)生望而生畏，要想消除學(xué)生的這種顧慮，就要從解題方法入手，潛心研究，不斷反思，總結(jié)方法.要懂得根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí)，提出靈活的設(shè)想，尋找巧妙的解題方案.方法恰當(dāng)事半功倍，方法不對(duì)收效甚微，所以要學(xué)好高中數(shù)學(xué)必須要重視解題方法的研究.本文將著重進(jìn)行以下幾個(gè)方法的介紹.

一、轉(zhuǎn)換法

高中數(shù)學(xué)一種不可或缺的解題方法就是轉(zhuǎn)換法.這種方法的解題思想是把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題.適合解決難易程度較高的題型，稍具難度的問(wèn)題和基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系都是不明顯的、間接的、復(fù)雜的，能夠靈活運(yùn)用這種方法對(duì)學(xué)生的想象力和創(chuàng)造性思維是不小的挑戰(zhàn).這種方法關(guān)鍵一步是將所求式（未知問(wèn)題）朝著已知的方向進(jìn)行合理的變形，好的轉(zhuǎn)化方法可以把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)為熟悉的，把不規(guī)范的問(wèn)題轉(zhuǎn)為規(guī)范的，復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)為簡(jiǎn)單的.比如，對(duì)于有理分式的題可以運(yùn)用轉(zhuǎn)化方法將分式化為整式，廣義分式也可以將一元函數(shù)轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)求積分，然后解答起來(lái)就簡(jiǎn)單容易了.

例1若x、y、z∈R＋且x＋y＋z＝1，求∈的最小值.

分析：由關(guān)鍵性的已知條件x＋y＋z＝1我們聯(lián)想到：將所求式變形轉(zhuǎn)化為含代數(shù)式x＋y＋ z，或者運(yùn)用均值不等式后含xyz的形式，這樣就將所要求的未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題.答案很快就明了了.本題先通分，再整理分子，最后拆分.將求

轉(zhuǎn)化意識(shí)的形成不是一蹴而就的，需要我們?cè)诮忸}中不斷的應(yīng)用，不斷的訓(xùn)練，久而久之強(qiáng)化這種轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的應(yīng)變能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì).

二、反證法

“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾”.這是法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪對(duì)反證法解數(shù)學(xué)題的精辟概括.邏輯性與規(guī)律性兼容是高中數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)，能從題目中很容易就找到證明條件的情況少之又少，當(dāng)我們從正面入手很難找到切入點(diǎn)的時(shí)候，不妨換一種思維方式，想方設(shè)法從它的相反方向考慮尋找突破口.具體地說(shuō)，首先否定原命題，再把這個(gè)經(jīng)過(guò)否定的命題作為一道新題的已知條件，在這個(gè)已知條件下進(jìn)行正常的推理，推出的結(jié)論與我們公認(rèn)的已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)被證明為正確的命題等相矛盾，根據(jù)這個(gè)矛盾的結(jié)論就可斷定最初的假設(shè)不成立，進(jìn)而肯定了原命題的結(jié)論，這就是反證法.運(yùn)用反證法主要分為以下幾個(gè)步驟：①假設(shè)：仔細(xì)閱讀題目，理清原命題的條件和結(jié)論是什么（為了防止出現(xiàn)錯(cuò)誤，可以在草紙上列出來(lái)），理清頭緒后作一個(gè)與命題結(jié)論相反的假設(shè)，也就是結(jié)論的反面成立.②求證：以上面的假設(shè)為已知條件出發(fā)，運(yùn)用正常的推理法進(jìn)行求證，從而得到矛盾的結(jié)果是成立的.③最后一步需要推理一下：產(chǎn)生上面矛盾結(jié)果的原因是第一步的假設(shè)本身就是假的，而第二步求證假設(shè)的結(jié)果也不真，這就間接地證明原命題是真實(shí)的，從而完成原命題證明，它是一種間接證明的方法.

例2求證兩條直線a，b中的一條與平面α相交，則另一條也和平面α相交.

證明：這類(lèi)題我們完全可以用反證法來(lái)解決，假設(shè)直線a與平面α相交，a、b互相平行，b也與平面α相交，假設(shè)b不與平面α相交，就必然形成了兩種情況：

①b在平面α內(nèi)，由a平行于b，a不屬于平面α，a平行于平面α，與題設(shè)相互矛盾.

②b∥α，可過(guò)b作平面β，設(shè)β∩α=c，則b∥c.而b∥a，則a∥c，同上可得a∥α，與題設(shè)a與α相交矛盾.

因此b和α只能相交.

在同一思維過(guò)程中，真相只有一個(gè)，既然b在平面α內(nèi)和b∥α已經(jīng)為假，那么原結(jié)論b也和平面α相交就一定為真.反證法另辟蹊徑，反其道而行之，要求學(xué)生有很強(qiáng)的逆向思維能力，根據(jù)題的特點(diǎn)，對(duì)癥下藥，準(zhǔn)確假設(shè)，細(xì)心求證，科學(xué)推理，任何一步都不能有紕漏，否則前功盡棄.所以要求學(xué)生在做題時(shí)，認(rèn)真審題，審慎考慮，理清頭緒，大膽嘗試，否則起不到事半功倍的作用.

三、數(shù)學(xué)歸納法

證明與自然數(shù)N有關(guān)的命題是高中數(shù)學(xué)常見(jiàn)的題型，數(shù)學(xué)歸納法針對(duì)這種問(wèn)題最適用.歸納法是由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，應(yīng)用非常廣泛，一般來(lái)說(shuō)，與正整數(shù)有關(guān)的一些恒等式、不等式、整除性、數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和等問(wèn)題都可以采用此種方法，它條理清晰，操作簡(jiǎn)單，很容易接受.要熟練地掌握數(shù)學(xué)歸納法，必須準(zhǔn)確地把握解題步驟，歸納法分為以下幾步：第一步，驗(yàn)證n＝n0時(shí)命題成立，這是基礎(chǔ)性的一步，為后面的歸納做鋪墊；第二步，若n＝k（k≥n0）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立，這是關(guān)鍵性的一步，為后面的歸納作遞推；最后，得出結(jié)論，命題對(duì)從n0開(kāi)始所有的正整數(shù)n都成立.兩個(gè)步驟（同樣重要），一個(gè)結(jié)論，缺一不可.

例3求證：12＋22＋32＋…＋n2＝n（n＋1）（2n＋1）.

證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝1，等式成立.（歸納奠基）

②假設(shè)n＝k時(shí)等式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＝ k（k＋ 1）（2k＋1）.

由①②可知原等式對(duì)于任意n∈N*都成立（結(jié)論）.

評(píng)析：第一步是求證n取第一個(gè)值時(shí)等式是否成立，第二步在假設(shè)n＝k時(shí)，一定要寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的表達(dá)式，證明n＝k＋1時(shí)，一定要用到歸納假設(shè).第二步證明的關(guān)鍵要看左右兩邊的項(xiàng)和證明的目標(biāo)，合理利用一湊假設(shè)，二湊結(jié)論的證明技巧.為了做題時(shí)不缺少步驟，我們可以記住這樣一個(gè)口訣：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫(xiě)明莫忘掉.

四、圖解法

數(shù)學(xué)少不了圖形，數(shù)學(xué)圖形直觀形象，清晰明了，還能把數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件、結(jié)論及它們之間的關(guān)聯(lián)精確地反映出來(lái)，我們要巧妙地利用圖形的這一特點(diǎn)，它也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的又一重要技巧.解決數(shù)學(xué)問(wèn)題不能手懶，有時(shí)只靠頭腦想像還是缺乏直觀性，容易忽略某個(gè)已知條件，而繪制圖形擺在眼前，所有已知條件躍然圖中，借助對(duì)幾何圖形的有效分析，得出文字?jǐn)?shù)學(xué)的結(jié)論（將所研究的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)為研究其對(duì)應(yīng)的幾何圖形），實(shí)現(xiàn)抽象文字表述到具體形象展現(xiàn)的轉(zhuǎn)化，達(dá)到數(shù)與形的密切結(jié)合，科學(xué)滲透，我們給這種方法起個(gè)名字叫圖解法.圖解法的特點(diǎn)就是將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系以圖形的形式直觀地展現(xiàn)給學(xué)生，借助學(xué)生對(duì)圖像的敏感，啟發(fā)學(xué)生的思路，尋找解題的關(guān)鍵，以便獲取更加準(zhǔn)確的答案.圖解法是數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)解題過(guò)程的集中性體現(xiàn)，由“形”獲取“數(shù)”的方法.

例4已知偶函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x+1）=f（x-1），且x∈［0，1］時(shí)，f（x）=x，則方程f（x）=log3x的解的個(gè)數(shù)為（）.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

圖1　

解析：用圖解法.根據(jù)題意，函數(shù)最小正周期為T(mén)=2，則畫(huà)出圖像（圖1），由圖像觀察得知，符合題意的選項(xiàng)是C.

圖解法既分析其數(shù)與量之間的關(guān)系，又揭示其幾何含義，避免了文字的枯燥，展現(xiàn)了圖形的魅力，使數(shù)量關(guān)系和圖形緊密地聯(lián)系起來(lái)，不僅能夠?qū)Ω咧猩臄?shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行整合，還能夠增強(qiáng)對(duì)他們的創(chuàng)新性思維的培養(yǎng).這種方法的應(yīng)用廣泛并貫穿高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程，我們要在實(shí)踐中不斷地加以練習(xí)，熟悉識(shí)圖技巧，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，掌握其內(nèi)涵，領(lǐng)會(huì)其精髓，培養(yǎng)學(xué)生利用圖形解決問(wèn)題的能力，解決數(shù)學(xué)難題對(duì)學(xué)生的困擾，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)題海中自在的遨游.F