曾妍,辛谷雨

(1.河海大學(xué)理學(xué)院,南京211100;2.中國電子科技集團(tuán)公司第二十八研究所,南京210007)

一維對流擴(kuò)散方程柯西問題解的Lp衰減估計(jì)

曾妍1,辛谷雨2

(1.河海大學(xué)理學(xué)院,南京211100;2.中國電子科技集團(tuán)公司第二十八研究所,南京210007)

考慮一維空間對流擴(kuò)散方程解的Lp(2≤p≤∞)衰減估計(jì),利用格林函數(shù)、頻譜分析、能量估計(jì)等方法得到了解有與熱核算子相同的衰減速度.

對流擴(kuò)散方程;Lp衰減;頻譜分析;格林函數(shù);能量估計(jì)

0 引言

本文考慮對流擴(kuò)散方程

的滿足初值條件c(x,0)=c0(x)的解的Lp(2≤p≤∞)衰減估計(jì),其中c代表溶質(zhì)中的溶液濃度,t代表時間變量,x代表空間變量并且x∈R,u是常數(shù),代表流速,D是擴(kuò)散系數(shù),非線性項(xiàng)f(c)=c2.

許多數(shù)學(xué)家對對流擴(kuò)散方程進(jìn)行了大量研究,取得了很多成果.Mahmoud Qafsaoui在[1]中研究了非線性對流擴(kuò)散方程

在Rn×(0,∞)上的解的高階導(dǎo)Dru(t)在Lp范數(shù)意義下的大時間漸近性質(zhì),其中a代表常向量,Γ是高階橢圓算子,Ψ是非線性項(xiàng)并且Ψ(0)=0,Θ≥1.他們得到,若m≥2并且

則對于?p∈[1,∞),t＞0,有

本文中,我們用C代表一般常數(shù),Wm,p(R)(m∈N+,p∈[1,∞))是Sobolev空間,并且有,特別地Hs：=Ws,2.傅立葉變換定義為,所有的卷積都是關(guān)于空間變量x的.本文是在[3]中解的L2衰減估計(jì)的基礎(chǔ)上得到的Lp衰減估計(jì),所以我們先列出[3]的結(jié)論.

定理0.1當(dāng)D＞u,l≥1,E=m ax(‖c0‖Hl,‖c0‖L1)充分小時,c(x,t)滿足

在定理0.1的基礎(chǔ)上,我們得到本文結(jié)論：

定理0.2當(dāng)D＞u+1,l≥1,E=max(‖c0‖Hl,‖c0‖L1)充分小時,c(x,t)滿足

本文安排如下：在第一節(jié)中,我們給出(0.1)的解的表達(dá)式以及一些基本估計(jì);解的L∞衰減估計(jì)將在第二節(jié)中給出;最終Lp估計(jì)可由L2、L∞估計(jì)以及插值不等式得到.

1 解的表達(dá)式

由常微分方程求解得

則(0.1)的解可表示為

作光滑截?cái)嗪瘮?shù)

基于傅立葉變換和(1.5),我們定義函數(shù)m(x)的低、高頻分解如下

這里χ(D)是χ(ξ)確定的擬微分算子.

引理1.1當(dāng)D＞u時,存在常數(shù)C,使得

證明由Hausdorff-Young不等式,有

引理1.2設(shè)cH(x,t)=(1-χ(D))c(x,t),這里cH(x,t)是方程(1.6)的解,χ(D)是(1.5)式定義的分解算子,則cH(x,t)滿足

證明由方程(1.6),我們有

由文獻(xiàn)[4]注2.1知

由(1.8)—(1.10),又因?yàn)?/p>

所以

令b=D-u-1,當(dāng)D-u-1＞0時,有

由(1.11)得

2 解的L p衰減估計(jì)

由引理1.1知

由定理0.1和引理1.1知

由定理0.1知

由引理1.1和(2.3)式知

由引理1.2知

由Sobolev嵌入不等式及(1.12)式知,

由定理0.1知

所以

由(2.1)—(2.7)知

由文獻(xiàn)[5]知,插值不等式為

[1]QAFSAOUI M.Large time behavior for nonlinear higher order convection-diffusion equations[J].Ann I H Poincaré-AN,2006,23：911-927.

[2]ESCOBEDO M,ZUAZUA E.Large time behavior for convection-diffusion equations in Rn[J].J Func Anal, 1991,100(1)：119-161.

[3]徐紅梅,曾妍.一維對流擴(kuò)散方程解的L2衰減估計(jì)[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2015,61(6)：573-576.

[4]DENG S J,WANG W K,ZHAO H L.Existence theory and Lpestimates for the solution of nonlinear viscous wave equation[J].Non linear Analysis：Real World Applications,2010,11(5)：4404-4414.

[5]EVANS L C.Partial Differential Equations[M].New York：American Mathematical Society,2010.

(責(zé)任編輯：林磊)

Lpestimates of solutions to the Cauchy problem of one-dimensional convection-diffusion equations

ZENG Yan1,XIN Gu-yu2
(1.College of Science,Hohai University,Nanjing 211100,China; 2.The 28th Research Institute of China Electronics Technology Group Corporation, Nanjing 210007,China)

This paper investigated the Lpestimates of solutions to one-dimensional convection-diffusion equations,using Green’s function method,frequency decomposition and energy estimates.We found that the decay rate of the solution is the same as that for heat fusion operator.

convection-diffusion equation;Lpestimates;frequency decomposition; Green’s function;energy estimates

O 157.28

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2016.03.003

1000-5641(2016)03-0021-06

2015-05

國家自然科學(xué)基金(11101121)

曾妍,女,碩士研究生,研究方向?yàn)槠⒎址匠?E-mail：1651054563@qq.com.