劉霞,焦建鋒

(河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院大數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析與優(yōu)化控制河南省工程實(shí)驗(yàn)室,河南新鄉(xiāng)453007)

具有年齡結(jié)構(gòu)的捕食被捕分食支系統(tǒng)的Bogdanov-Takens

劉霞,焦建鋒

(河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院大數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析與優(yōu)化控制河南省工程實(shí)驗(yàn)室,河南新鄉(xiāng)453007)

本文考慮了一類具有常值收獲和年齡結(jié)構(gòu)的捕食被捕食系統(tǒng)的Bogdanov-Takens (BT)分支問題.給出了系統(tǒng)的正平衡點(diǎn)是BT奇點(diǎn)的充分條件以及系統(tǒng)在該奇點(diǎn)處的開拆標(biāo)準(zhǔn)型,從而得出在該平衡點(diǎn)附近處會出現(xiàn)的分支現(xiàn)象.

時滯;捕食被捕食系統(tǒng);Bogdanov-Takens(BT)分支;年齡結(jié)構(gòu)

0 引言

年齡結(jié)構(gòu)類型的時滯捕食被捕食系統(tǒng)的局部穩(wěn)定的性質(zhì)、Hop f分支的存在性及Hop f分支的方向及穩(wěn)定性已經(jīng)被一些作者研究[1-2].文獻(xiàn)[2]考慮了一類帶兩個時滯的捕食者是如下比率依賴型的捕食被捕食系統(tǒng)：

其中x(t)表示被捕食者在時間t時的種群密度,y1(t)和y2(t)分別表示不成熟和成熟的捕食者在時刻t時的種群密度.參數(shù)r,r1,r2,k,a1,a2,m,d1均為正常數(shù),它們的生物學(xué)意義詳見文獻(xiàn)[2].

對于種群間動力學(xué)行為更加深入的研究以及一些帶收獲和不同的功能反應(yīng)函數(shù)的捕食被捕食模型被研究可參見文獻(xiàn)[3]—[6].根據(jù)文獻(xiàn)[6]—[8]的思想,把常數(shù)收獲項(xiàng)合并到系統(tǒng)(0.1)中,可以獲得如下系統(tǒng)：

其中x(t)表示被捕食者在時間t時的種群密度,y1(t)和y2(t)分別表示不成熟和成熟的捕食者在時刻t時的種群密度.所有的參數(shù)均為正常數(shù),且k表示被捕食者的環(huán)境容納量,代表被捕食者的常數(shù)率收獲,其他的參數(shù)和系統(tǒng)(0.1)中的參數(shù)具有相同的生物學(xué)意義.為了簡便,我們?nèi)∠到y(tǒng)(0.1)中的時滯τ2=τ1.為了計算的簡潔,首先要化簡系統(tǒng)(0.2).

系統(tǒng)(0.3)的初值條件為

本文的具體結(jié)構(gòu)如下：第1部分,主要討論了BT奇點(diǎn)的存在性;第2部分,推導(dǎo)出了系統(tǒng)在BT奇點(diǎn)處的規(guī)范型;第3部分,對所獲得的理論結(jié)果進(jìn)行數(shù)值模擬.

1 BT奇點(diǎn)的存在性

為了研究系統(tǒng)(0.3)的退化性質(zhì),我們需要計算滿足方程x2δ1β1+(β1-δ2β2-δ1β1)x+ hδ1β1=0的退化平衡點(diǎn).容易計算系統(tǒng)(0.3)有一個退化平衡點(diǎn),如果

對方程(1.3),如果F(0)=F′(0)=0,F′′(0)/=0成立,則可以得到如下的引理.

引理1.1令(H1)((1.1)和成立,則λ=0是方程(1.3)的2重根.

在條件(H1)下,還需要考慮方程(1.3)的其他特征根具有非零實(shí)部.由于這個問題的解決十分困難,所以我們通過證明方程(1.3)沒有純虛根來獲得非零實(shí)特征根存在性的一個充分條件.在方程(1.3)兩邊同時乘以eλτ,得到

其中g(shù)1=l2n0-n1l1-a11δ2β2x*-p0x*.

從(1.5)得到方程

其中

如果方程(1.6)沒有正根,則方程(1.3)的其他特征根具有非零實(shí)部.因此,有以下的定理.

定理1.1令(H1)成立,且方程(1.6)無正根,則系統(tǒng)(0.3)的平衡點(diǎn)E*是一個BT奇點(diǎn).

例如,對系統(tǒng)(0.3),我們?nèi)ˇ?=5,δ2=0.2,β1=0.1,β2=0.2,則x*=0.44,,h0=0.193 6,τ0≈0.384 615 384 6,這時,方程(1.6)無正根.因此,定理1.1的所有條件可以得到滿足.

2 BT分支的規(guī)范型

在這一部分,取h=h0和τ=τ0作為分支參數(shù)來討論系統(tǒng)(0.3)在平衡點(diǎn)E*處的動力學(xué)現(xiàn)象.令h=h0+μ1和τ=τ0+μ2,為了計算的簡便,我們把系統(tǒng)(0.3)寫作

其中(μ1,μ2)在原點(diǎn)處充分小.在系統(tǒng)(2.1)中,對于原點(diǎn)附近任意的μ1和μ2,容易看出E*不是平衡點(diǎn).通過使用和文獻(xiàn)[6]相似的思路,如果我們想得到系統(tǒng)(0.3)在平衡點(diǎn)E*處BT分支的規(guī)范型,需要把微分方程˙μ1=0增加到系統(tǒng)(2.1)中.因此,接下來需要去推導(dǎo)四維系統(tǒng)的三重分支,該四維系統(tǒng)可以表示如下

其中,“h.o.t.”是“higher order term”的縮寫,表示高階項(xiàng),zt=(x(t),y1(t),y2(t),μ1)T,z(t+θ)=?(θ),?=(?1,?2,?3,μ1)T∈C4,

系統(tǒng)(2.2)的在原點(diǎn)處的線性化系統(tǒng)為

線性系統(tǒng)對應(yīng)的特征矩陣為

為了得到系統(tǒng)(2.1)在平衡點(diǎn)E*處的規(guī)范型,需要計算Φ(θ),它是系統(tǒng)廣義特征空間P的一個基.根據(jù)文獻(xiàn)[9],Φ(θ)選擇如下

其中u1,u2,u3是下面線性方程組的解：

解方程組(2.8)得

其中

P的對偶空間P*的基Ψ(s)選擇如下

其中“col”表示矩陣?yán)锏南蛄喀?,ψ2,ψ3按列排,且v3,v2,v1是下面線性方程組的解：

從方程(2.11)得到

然后,由(2.4),(2.7)和(2.10)式,得到

由(2.14)—(2.15)和(2.17),得

此外,由(2.14)式得

其中?1=-A2γ1,?2=γ2.由參考文獻(xiàn)[4,11]的結(jié)果,我們得到下面的定理.

定理2.1令(H1)成立,且方程(1.6)無正根,則(2.20)出現(xiàn)如下的分支：(i)鞍結(jié)點(diǎn)分支曲線SN={(μ1,μ2)：?1=0,?2/=0};(ii)Hop f分支曲線H={(μ1,μ2)：; (iii)同宿分支曲線HL={(μ1,μ2)：,?2＞0}.

3 數(shù)值模擬

在這一部分,我們利用數(shù)值模擬的辦法去驗(yàn)證以上所研究的理論結(jié)果,并且畫出了系統(tǒng)的分支圖.對于系統(tǒng)(0.3),取δ1=5,δ2=0.2,β1=0.1,β2=0.2,則x*=0.44,,,h0=0.193 6,τ0≈0.384 615 384 6,方程(1.6)沒有正根.定理2.1的條件得以滿足,所以系統(tǒng)(2.1)在正平衡點(diǎn)E*處的規(guī)范型是系統(tǒng)(2.20).由定理2.1,我們可以得到在擾動變量μ1,μ2平面上相應(yīng)的分支圖(參看圖1).μ1-μ2平面上,BT分支點(diǎn)附近的小鄰域被鞍結(jié)點(diǎn)分支曲線SN,Hopf分支曲線H以及同宿分支曲線HL分成4個不同的動力系統(tǒng)區(qū)域I,II,III,IV.因此,由定理2.1,我們可以得到圖1.

圖1 系統(tǒng)(2.20)在μ1-μ2平面上的分支圖Fig.1 Bifurcation diagram of system(2.20)in theμ1-μ2p lane

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(責(zé)任編輯：林磊)

Bogdanov-Takens bifurcation for a delayed predator prey system with stage structure

LIU Xia,JIAO Jian-feng
(Big Data Statistical Analysis and Optimization Control Engineering Laboratory in Henan Province, College of Mathematics and Information Science,Henan Normal University, Xinxiang Henan 453007,China)

In this paper the Bogdanov-Takens(BT)bifurcation of a delayed predator prey system with stage structure and constant harvesting is considered.The existing conditions which guarantee an interior equilibrium of the system is BT singularity are obtained and the corresponding normal form for the system at this singularity is p resented, some bifurcation results are shown.

delay;predator prey system;Bogdanov-Takens bifurcation;stage structure

O 175.1

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2016.03.005

1000-5641(2016)03-0039-09

2015-06

河南省教育廳科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(14A 110019,15A 110034);河南師范大學(xué)校級骨干教師項(xiàng)目資助

劉霞,女,副教授,碩士生導(dǎo)師,研究方向?yàn)樯飻?shù)學(xué).E-mail：liuxiapost@163.com.