李帆,楊繼鋒

(華東師范大學(xué)理論物理研究所,上海200241)

核子-核子散射一圈圖的手征有效場論分析

李帆,楊繼鋒

(華東師范大學(xué)理論物理研究所,上海200241)

采用相對論性框架下的手征有效場論，對核子-核子散射的π交換一圈圖過程重要圈圖進(jìn)行了計(jì)算和分析,即三角圖(triangle diagram s)和平面箱圖(p lanar box diagram,簡寫為pb),并以此為基礎(chǔ)進(jìn)一步分析討論了核子-核子散射手征有效場論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),為最終建立一個滿意的核力有效場論框架做新的探索.

手征有效場論;核子-核子散射;相對論性框架;π交換

0 引言

20世紀(jì)90年代初,Weinberg最早把手征微擾論用于解決核子-核子(Nucleon-Nucleon, N-N)相互作用(核力)問題,提出了把手征微擾論用于非微擾的核子相互作用或核力領(lǐng)域的重要解決方法：不直接用手征微擾論來計(jì)算核子散射振幅,而是用手征微擾論來計(jì)算構(gòu)造核子之間的勢能(即兩核子的不可約圖),然后在非相對論性的Schr?dinger方程或者Lippmann-Schwinger方程(LSE)框架下求解該勢能的散射振幅或束縛態(tài)[1].之后Ordonez等人將這建議成功付諸實(shí)施[2].由于根據(jù)手征有效理論構(gòu)造的勢能的紫外奇異度隨著展開階數(shù)增加,自然需要處理重整化問題.1998年,Kap lan、Savage和W ise小組(KSW)率先指出Weinberg的方案存在自洽性問題[3],他們建議使用一套修改的冪次規(guī)則對散射振幅進(jìn)行微擾展開,但實(shí)際計(jì)算顯示該修改的方案并不收斂.后來又有學(xué)者利用KSW方案導(dǎo)出了一些低能定理,發(fā)現(xiàn)全部與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)不符[4].2000年,Eepelbaum、Glockle和Meissner小組(EGM)以及Entem-Machleidt小組采用Lepage的建議[5]，來處理Weinberg提出的方案中的非微擾發(fā)散,對核子散射相移的描述得到了令人較為滿意的唯像效果[6]；然而該類方案實(shí)際上只能進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,也采用了有限的截斷,仍然不是人們滿意的標(biāo)準(zhǔn)場論計(jì)算處理.以上這些都是非相對論推導(dǎo)的處理方法,總是存在很低勢能解析結(jié)構(gòu)與手征冪次規(guī)則間的協(xié)調(diào)性問題；而在計(jì)算過程中需要力求兼顧手征冪次規(guī)則和正確的相對論解析行為,雖然KSW方案中也是用相對論方法計(jì)算,但是他們在一開始省略了一些東西,這樣又回到了非相對論近似的方法.還有一些計(jì)算方法可參閱文獻(xiàn)[7-21].基于以上理論,我們需要從相對論性手征微擾論出發(fā),來分析和處理核子與核子之間相互作用的問題.文獻(xiàn)[22]從含π與無π理論對應(yīng)的角度做了初步分析,揭示了手征有效理論中核子-核子散射箱圖中的一些微妙結(jié)構(gòu),為解決核力有效理論中的問題提供了新的視角.本論文沿著該方向進(jìn)一步用完整的相對論方法去計(jì)算π交換核子-核子散射中重要一圈圖的解析形式,深入分析核子-核子散射圈圖中的微妙結(jié)構(gòu),從而為建立較為滿意的核力的有效場論框架做新的努力和嘗試.

1 2π交換核子-核子散射的一圈圖

π介子是第一種用來描述核子之間的強(qiáng)相互作用的粒子,如同電磁相互作用通過電磁場交換光子一樣,核子與核子之間相互作用可以通過交換π介子來描述.在交換兩個或更多π介子情況下,會牽涉圈圖,這意味著我們將會面對一個不平凡的問題[22].核子與核子之間的相互作用在交換2個π介子時,涉及的領(lǐng)頭階圈圖如圖1所示.從左往右第一個圈圖只含有π介子傳播子,形狀像足球,我們把它稱為足球圖;后面兩個圖中有2個π介子傳播子和1個核子傳播子,稱為三角圖;第四個稱為交叉箱圖,第五個稱為平面箱圖,它們都是有2個π介子傳播子和2個核子傳播子.

圖1 2π交換核子-核子散射一圈圖貢獻(xiàn)的圈圖Fig.1 One-loop 2π-exchange contributions to the N-N interaction

其中,gA是軸矢量耦合常數(shù),fπ是π介子的衰變常數(shù).式(1)中απmπ2只與π介子質(zhì)量有關(guān),完全符合手征冪次規(guī)則,其發(fā)散可由手征抵消項(xiàng)減除掉,并且其對應(yīng)著2π交換的勢能項(xiàng); αNMN2項(xiàng)與核子質(zhì)量有關(guān),在手征微擾論的手征極限下,核子質(zhì)量通常被認(rèn)為很大,是會嚴(yán)重破壞手征冪次規(guī)則的定域項(xiàng),其完全來自于紫外非物理區(qū)域的貢獻(xiàn),可以根據(jù)退耦定理減除掉;αNπMNmπ是非定域的反常項(xiàng),相對手征冪律而言是增強(qiáng)的,在非相對論性情況下,其主要對應(yīng)與單π交換勢的一次迭代貢獻(xiàn),且該項(xiàng)對無π有效理論接觸型耦合常數(shù)C0的貢獻(xiàn)占主導(dǎo)地位,由式(1)可以看出該項(xiàng)是平面箱圖中的貢獻(xiàn).

2 三角圖和平面箱圖的計(jì)算與分析

2.1 2個三角圖計(jì)算與分析

圖2 2π交換的三角圖Fig.2 2π-exchange triangle diagrams

三角圖如圖2所示.我們分別用Ta和Tb來表示圖(a)和圖(b)的貢獻(xiàn),根據(jù)相對論性費(fèi)曼規(guī)則,可以得到

以及

這里

對三角圖貢獻(xiàn)的分子進(jìn)行化簡,分母做費(fèi)曼參數(shù)化,因?yàn)槿菆D的貢獻(xiàn)是圖2(a)和圖2(b)的和,即

進(jìn)一步把積分由四維推廣為D(D≡4-2ε,ε是無窮小量)維進(jìn)行維度正規(guī)化之后,再做參數(shù)積分,最終可以得到三角圖的貢獻(xiàn)(詳見附錄A)

式(6)中ζNMN2和f(ln MN2)兩項(xiàng)與核子質(zhì)量有關(guān),因?yàn)楹俗淤|(zhì)量較大,會嚴(yán)重破壞手征冪次規(guī)則的定域項(xiàng),其完全來自于紫外非物理區(qū)域的貢獻(xiàn),可以根據(jù)退耦定理減除掉;其余的均是核子-核子散射的勢能項(xiàng),其中ζπmπ2和f?ln mπ2?這兩項(xiàng)與π介子質(zhì)量有關(guān),這兩項(xiàng)是外動量的多項(xiàng)式形式,而且滿足手征冪次規(guī)則.從式(6)可以看出,相對手征冪律增強(qiáng)的非定域反常項(xiàng)αNπMNmπ不是來自三角圖的貢獻(xiàn).因此,在計(jì)算和分析無π有效理論接觸型耦合常數(shù)C0的貢獻(xiàn)時,不需要考慮三角圖的貢獻(xiàn).

2.2 平面箱圖計(jì)算與分析

為了進(jìn)一步分析2π交換核子-核子散射的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),我們再來對平面箱圖進(jìn)行計(jì)算分析,平面箱圖如圖3所示,我們用Tpb來表示平面箱圖的貢獻(xiàn),根據(jù)相對論性費(fèi)曼規(guī)則,可以得到

圖3 2π交換平面箱圖Fig.3 2π-exchange planar box diagram

對平面箱圖貢獻(xiàn)的分子進(jìn)行化簡和對其分母做費(fèi)曼參數(shù)化,根據(jù)分母的形式,我們把Tpb分成4項(xiàng),即

其中,T1pb的分母只有2項(xiàng),即只有π介子傳播子項(xiàng)；T1pb的貢獻(xiàn)是核子-核子散射中的勢能; T2pb和T3pb的分母有3項(xiàng),即2個π介子傳播子項(xiàng)和1個核子傳播子項(xiàng),與第2.1節(jié)中的三角圖在分母的形式上是一樣的,是我們主要關(guān)心的;而T4pb的分母有4項(xiàng),即2個π介子傳播子項(xiàng)和2個核子傳播子項(xiàng),T4pb的貢獻(xiàn)非常復(fù)雜,因?yàn)槲覀兡芰τ邢?其具體解析形式還沒有計(jì)算出來,故本文不做詳細(xì)分析,在以后的研究中再做具體分析和討論.

進(jìn)一步把積分由四維推廣為D維進(jìn)行維度正規(guī)化之后,再做參數(shù)積分,最終可以得到平面箱圖前三項(xiàng)的貢獻(xiàn)(詳見附錄B)

3 結(jié)論

手征微擾論是核物理與低能粒子物理研究的重要方法,例如文獻(xiàn)[21]和文獻(xiàn)[22]所述.文獻(xiàn)[22]中主要用非相對論近似方法進(jìn)行了計(jì)算;而文獻(xiàn)[21]中,取了核子外動量的極限情況.然而,實(shí)際情況中,核子的外動量一般不為0,所以本文則采取了外動量的情況,利用相對論方法進(jìn)行了計(jì)算,相對于文獻(xiàn)[21]和文獻(xiàn)[22]都更進(jìn)了一步,而且正確性有一定保證.例如,在計(jì)算過程中為了確保計(jì)算的正確性,對計(jì)算結(jié)果分階段進(jìn)行了驗(yàn)算.本文的計(jì)算結(jié)果在取外動量時,能夠回到文獻(xiàn)[21]的結(jié)果,所以可以驗(yàn)證本文結(jié)果的正確性.

附錄

[1]WEINBERG S.Nuclear forces from chiral Lagrangians[J].Physics Letters B,1990,251(2)：288-292.

[2]ORDONEZ C,RAY L,VAN K U.Two-nucleon potential from chiral Lagrangians[J].Physical Review C,1996, 53(5)：2086.

[3]KAPLAN D B,SAVAGE M J,WISE M B.A New expansion for nucleon-nucleon interactions[J].Physics Letters B,1998,424(3)：390-396.

[4]COHEN TD,HANSEN J M.Testing low energy theorem s in nucleon-nucleon scattering[J].Physical Review C, 1999,59(6)：3047.

[5]LEPAGE P.How to renormalize the Schr?dinger equation[R/OL].(1997-06-12)[2015-01-01]. http：//arxiv.org/abs/nucl-th/9706029.

[6]EPELBAUM E,GLOECK LE W,MEISSNER U G.Nuclear forces from chiral Lagrangians using the method of unitary transformation II：The two-nucleon system[J].Nuclear Physics A,2000,671(1)：295-331.

[7]YANG J F,HUANG J H.Renormalization of NN scattering：Contact potential[J].Physical Review C,2005, 71(3)：034001.

[8]YANG J F.A note on nonperturbative renormalization of effective field theory[J].Journal of Physics A：Mathe-matical and Theoretical,2009,42(34)：345402.

[9]YANG J F.Effective range expansion in various scenarios of EFT(π)[J].EPL(Europhysics Letters),2011, 94(4)：41002.

[10]YANG J F.Nonperturbative NN scattering in 3S1？3D 1channels of EFT(π)[J].Anna ls Phys,2013,339：160-180.

[11]BERNARD V.Chiral perturbation theory and baryon properties[J].Progress in Particle and Nuclear Physics, 2008,60(1)：82-160.

[12]KAISER N,BROCKMANN R,WEISE W.Peripheral nucleon-nucleon phase shifts and chiral symmetry[J]. Nu clear Physics A,1997,625(4)：758-788.

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[14]WEINBERG S.Effective chiral Lagrangians for nucleon-pion interactions and nu clear forces[J].Nu clear Physics B,1991,363(1)：3-18.

[15]WEINBERG S.Nuclear forces from chiral Lagrangians[J].Physics Letters B,1990,251(2)：288-292.

[16]KAPLAN D B,SAVAGE M J,WISE M B.Two-nucleon systems from effective field theory[J].Nuclear Physics B,1998,534(1)：329-355.

[17]ELLIS P J,TANG H B.Pion-nucleon scattering in a new approach to chiral perturbation theory[J].Physical Review C,1998,57(6)：3356.

[18]BERNARD V,KAISER N,Meissner U G.Chiral dynamics in nucleons and nuclei[J].International Journal of Modern Physics E,1995,4(2)：193-344.

[19]NAGELS M M,RIJKEN TA,De Swart J J.Low-energy nucleon-nucleon potential from Regge-pole theory[J]. Physical Review D,1978,17(3)：768.

[20]ENTEM D R,FERN′ANDEZ F,VA LCARCE A.Chiral quark model of the NN system with in a Lippmann-Schwinger resonating group method[J].Physical Review C,2000,62(3)：034002.

[21]HARVEY M.On the fractional-parentage expansions of color-singlet six-quark states in a cluster model[J]. Nu clear Physics A,1981,352(3)：301-325.

[22]YANG J F.Anomalous“mapping”between pionfull and pionless EFT,s[J].Modern Physics Letters A,2014, 29(9)：1-20.

[23]MACHLEIDT R,ENTEM D R.Chiral effective field theory and nuclear forces[J].Physics Reports,2011,503(1)：1-75.

(責(zé)任編輯：李藝)

One-loop analysis of nucleon-nucleon scattering in the chiral effective field theory

LI Fan,YANG Ji-Feng
(Institute of Theoretical Physics,East China Normal University,Shanghai 200241,China)

In this paper we will analyze the important one-loop pion-exchange diagram s for nucleon-nucleon(N-N)scattering in the relativistic framework of chiral effective theory, namely the triangle diagram s and the planar box diagram.On this basis,we wish to further exp lore the structures of the chiral effective theory in order to contribute to the establishment of a satisfactory effective field theory for nuclear forces.

chiral effective field theory;nucleon-nucleon scattering;relativistic framework;π-exchange

O 41

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2016.03.008

1000-5641(2016)03-0067-09

2015-05

國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(11435005)

李帆,男,碩士研究生,研究方向?yàn)榱Ｗ游锢砗蛨稣?E-m ail：lifan989@126.com.

楊繼鋒,男,副教授,碩士生導(dǎo)師,研究方向?yàn)榱Ｗ游锢砗蛨稣? E-mail：jfyang66@126.com.