毛北行， 王東曉

(鄭州航空工業(yè)管理學院 理學院， 鄭州 450015)

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分數階Van der pol振子網絡的混沌同步

毛北行*， 王東曉

(鄭州航空工業(yè)管理學院 理學院， 鄭州 450015)

研究了一類分數階Van der pol復雜振子網絡的混沌同步問題，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和分數階微積分的相關理論，給出了兩種實現同步的控制方案，仿真結果表明了方法的可行性．

分數階系統(tǒng)； 振子網絡系統(tǒng)； 混沌同步

分數階微積分理論已有300多年的歷史，近年來分數階系統(tǒng)逐步成為研究的熱點.另一方面，混沌同步及其應用已成為研究的熱點并取得了豐富的成果[1-7]，文獻[8]研究了一類分數階非線性系統(tǒng)的混沌同步控制問題.文獻[9]研究了基于投影法的不確定分數階混沌系統(tǒng)自適應同步，討論了一類具有未知參數，未知非線性函數及外部擾動的分數階系統(tǒng)，文獻[10]研究了一類不確定分數階混沌系統(tǒng)的同步控制，結合狀態(tài)觀測器和自適應方法，提出了一種符合工程實際的控制方案，文獻[11]基于反饋控制研究了一類分數階時滯神經網絡系統(tǒng)的混沌同步問題，文獻[12]研究了一類Van der pol振子組成的動態(tài)復雜網絡的混沌同步問題，但研究的不是分數階系統(tǒng)，本文在上述研究的基礎上研究了一類分數階Van der pol復雜振子網絡的混沌同步問題，給出了兩種實現同步的控制方案，仿真算例表明了方法的有效性．

1 預備知識：

定義1[13]Caputo分數階導數定義為:

n-1<α

定義2[14]單參數Mittag-Leffler函數：

定義3[14]雙參數Mittag-Leffler函數：

有

Eα(z)=Eα，1(z)，E1，1(z)=ez．

引理1[14]若α<2，β∈?R，πα/2<ρ

引理2[15]若V(t)是[0，∞)上的連續(xù)函數，滿足DαV(t)≤-ηV(t)，則有：V(t)≤V(t0)Eα(-η(t-t0)α)，其中α∈(0，1)，η>0為常數．

2 主要結果

Van der pol系統(tǒng)為：

(1)

考慮上述N個具有相同結構的Van der pol振子耦合而成的分數階動態(tài)復雜網絡：

以上述系統(tǒng)(2)作為主系統(tǒng)，則其從系統(tǒng)為：

(3)

定義系統(tǒng)誤差為：ei(t)=yi(t)-xi(t)，則有

bq2[(cTyi)3-(cTxi)3]+ui(t).

(4)

2.1 同步方案一

根據引理2很容易得到

V(t)≤V(t0)Eα(-η(t-t0)α),

2.2 同步方案二

(5)

(6)

3 數值算例

考慮具有線性耦合的Van der pol動態(tài)電路模型[16]：

其中,i1，i2分別為通過電感L1，L2的電流，V1，V2分別為電容C1，C2兩端的電壓，R是電阻，NR是一個非線性電阻，其電壓電流特性為：

上述分數階系統(tǒng)可以描述為：

i=1，2，3，4,

L1=0.12 H，L2=0.1 H，R=0.001 Ω，

R0=2.5 Ω ，q1=-0.01，q2=0.01，

系統(tǒng)初始值設置為：V11=0，V12=0，i11=0，i12=0，V21=0.25，V22=0.5，i21=i22=0.25，V31=-0.5，V32=i31=i32=-0.25，V41=0，V42=0.1，i41=0.5，i42=0，

定義系統(tǒng)誤差為：ei(t)=yi(t)-xi(t)，則其誤差系統(tǒng)為：

bq2[(cTyi)3-(cTxi)3]+ui(t)．

α=0.93，計算得定理1中k=122，η=2，系統(tǒng)誤差曲線如圖1～圖4所示；定理2中k=122，ε=2，系統(tǒng)誤差曲線如圖5～圖8所示.

圖1 定理1中第1誤差變量e1Fig.1 The first error varible e1 of Theorem 1

圖2 定理1中第2誤差變量e2Fig.2 The second error varible e2 of Theorem 1

圖3 定理1中第3誤差變量e3Fig.3 The third error varible e3 of Theorem 1

圖4 定理1中第4誤差變量e4Fig.4 The fourth error varible e4 of Theorem 1

圖5 定理2中第1誤差變量e1Fig.5 The first error varible e1 of Theorem 2

圖6 定理2中第2誤差變量e2Fig.6 The second error varible e2 of Theorem 2

圖7 定理2中第3誤差變量e3Fig.7 The third error varible e3 of Theorem 2

圖8 定理2中第4誤差變量e4Fig.8 The fourth error varible e4 of Theorem 2

其中圖i(i=1，2，…，8)中橫坐標為時間t，單位為s，縱坐標為ei(t)，單位為m．

4 結束語

研究了一類分數階多個Van der pol振子組成的復雜網絡的混沌同步問題，基于穩(wěn)定性理論給出了實現同步的兩種方法，并給出了控制器的設計，研究表明滿足一定的條件下，主從系統(tǒng)是混沌同步的，數值仿真表明了方法的正確性.

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Chaos synchronization of fractional order Van der pol oscillators network systems

MAO Beixing， WANG Dongxiao

(College of Science， Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management， Zhengzhou 450015)

In the present work, the chaos synchronization problem is studied on fractional order Van der pol oscillators complex network systems. A controller is proposed based on Lyapunov stability theory and fractional order systems theory. Two control project are presented and sufficient conditions are obtained for errors systems asymptotically stable. Numerical simulations example of chaotic system verify the effectiveness of the proposed method.

fractional order systems; oscillators network systems; chaos synchronization

2015-08-22.

國家自然科學基金項目(11404291)；河南省高等學校青年骨干教師資助計劃項目(2013GGJS-142)；河南省科技廳基礎與前沿研究計劃項目(142300410410)；河南省高等學校重點科研項目(15B110011).

1000-1190(2016)02-0202-04

O193

A

*E-mail: bxmao329@163.com.