周玉蘭，王玄靜

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

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Bargmann-Segal空間刻畫Banach空間值廣義泛函

周玉蘭，王玄靜

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

引入Banach空間值Bargmann-Segal空間E2(v,X),其中v是廣義函數(shù)空間E*C上的復(fù)Gauss測度,X是一個可分自反Banach空間.借助于指數(shù)向{ε(ξ)：ξ∈Dp}的完全性,通過廣義算子象征方法,應(yīng)用E2(v,X)討論了Banach空間值廣義泛函L[Gp,X]的解析刻畫,其中p∈R.同時,應(yīng)用廣義泛函在E2(v,X)中的Hilbert范數(shù)計算了向量值廣義算子T∈L[Gp,X]的算子范數(shù).

白噪聲分析；Banach空間值Bargmann-Segal空間；廣義泛函；解析刻畫

0 引言

標(biāo)量值白噪聲廣義泛函的解析刻畫是一個很有用的工具[1-4]，近年來,向量值廣義泛函在白噪聲分析應(yīng)用中扮演了更加重要的角色.

向量值廣義泛函的象征存在很多優(yōu)點:Wang[5]及Ji-Obata[6]考慮了一個G*值廣義泛函的解析刻畫,其中G*是可列Hilbert空間G的對偶空間；王才士等[7]討論了Banach空間值廣義泛函的解析刻畫；Grothaus等[8]給出了Bargmann-Segal空間廣義泛函的解析刻畫.本文設(shè)X是一個可分自反Banach空間,我們引入一個Banach空間值Bargmann-Segal空間E2(v,X),其中v是廣義函數(shù)空間E*C上的復(fù)Gauss測度,并討論Banach空間值廣義泛函的解析刻畫.

1 預(yù)備知識

(A1)infspec(A)≥1.

記

這里D∞和D-∞是一列可分Hilbert空間的投影極限和歸納極限，在其上分別賦予投影極限拓?fù)浜蜌w納極限拓?fù)?

除此之外,Dp(D∞)的對偶空間D*p(D*∞)與D-p(D-∞)同構(gòu).D-p×Dp(D*∞×D∞)上的典則雙線性型表示為·,·,它在HC上與內(nèi)積一致.由此我們得到一個Gelfand三元組:

通過二次量子化方法,得到一個新的Gelfand三元組:

顯然,對?Φ∈Gp,Φ的S變換能被唯一地擴(kuò)張為D-p上的一個完全解析函數(shù).

我們引入Bargmann-Segal空間.除了條件(A1)外,自伴算子A還滿足下列條件:

(A2)A是一個實算子,即A(Dom(A∩H))?H;

(A3)存在一個嵌入D∞∩H中稠密且連續(xù)的實核空間E,使得E在A之下不變.

因此,E?D∞?H?D*∞?E*,E*×E上的典則雙線性型表示為·,·.

設(shè)μ1/2是E*上的高斯測度,其特征函數(shù)為

由v(dz)=μ1/2(dx)μ1/2(dy)(z=x+iy,x,y∈E*)定義了E*C=E*+iE*上的一個概率測度v,v是復(fù)高斯測度,(E*C,v)是復(fù)高斯空間.

設(shè)P是定義在E*C上值域落在HC中的有限秩投影算子全體的集合，B?P可以很自然地從E*C擴(kuò)張為HC上的一個連續(xù)算子.定義標(biāo)量值Bargmann-Segal空間

定理A[8]設(shè)p,q∈R,D∞×D∞上的一個C值函數(shù)Ξ是廣義算子T∈L[Gp,Gq]的象征的充要條件是:

(i)Ξ可以擴(kuò)張為Dp×D-q上的解析函數(shù)；

(ii)存在一個常數(shù)λ≥0,使得對?k≥1,ξj∈Dp,aj∈C,j=1,2,…,k,都有

定理B[9]設(shè)p∈R,D∞上的解析函數(shù)g是Φ的一個S變換,當(dāng)且僅當(dāng)g可以擴(kuò)張為D-p上的一個連續(xù)函數(shù),且g°Ap∈E2(v).

2 Banach空間值Bargmann-Segal空間和Banach空間值廣義泛函的刻畫

我們將引入Banach值Bargmann-Segal空間并且給出Banach空間值廣義泛函的解析刻畫.

(i)g是HC上的解析函數(shù),即

定義2 定義在G∞(Gp,p∈R)上取值于Banach空間X的連續(xù)線性泛函稱為Banach空間值廣義泛函，其全體形成的空間記作L[G∞,X](L[Gp,X]).

命題1 設(shè)p∈R,T∈L[Gp,X],則對任意k≥1,aj∈C,fj∈X*,j=1,…,k,都有

(1)

證明 對f∈X*,有

于是對?k≥1,fj∈X*,aj∈C,j=1,2,…,k,有

所以(1)式成立. 】

接下來應(yīng)用Banach空間值Bargmann-Segal空間E2(v,X)討論Banach空間值廣義泛函L[G∞,X]或L[Gp,X],p∈R的解析刻畫,同時給出廣義泛函T∈L[Gp,X]的算子范數(shù).

(ii)Ξ可以擴(kuò)張到Dp上且Ξ°A-p∈E2(v,X).

證明 因T∈L[Gp,X],所以?f∈X*,T*f∈G-p,且對ξ,η∈D∞及ω∈C，有

由指數(shù)向量{ε(ξ):ξ∈Dp}的稠密性知,S(T*f)可以擴(kuò)張到Dp上.

即Ξ°A-p∈E2(v,X)，且

反過來,X值函數(shù)Ξ滿足一定條件時,可唯一確定一個向量值廣義泛函T∈L[Gp,X].

(ii)存在常數(shù)λ≥0,使得對?k≥1,aj∈C,fj∈X*,j=1,2,…,k,有

證明 由( i )可知Ξ是解析函數(shù),我們可以證明對?ξ,η∈Dp，有

因此

(2)

所確定.又對?f∈X*,ξ∈D∞，有

因此,

我們可以放寬對Ξ的條件,從而得到

(ii)存在常數(shù)λ≥0,使得對?k=1,aj∈C,fj∈N,j=1,…,k,有

定義Ff:Dp→C為Ff(z)=f,Ξ(z),則由定理2,我們可將證明補充完整. 】

推論1 設(shè)N是X*的完全子集,T∈L[Gp,X],如果存在一個常數(shù)λ≥0,使得對?k≥1,aj∈C,fj∈N,j=1,…,k,有

證明 由定理3可知,對?f∈X*,條件(ii)成立,且對φ∈Gp,Tφ∈X,有

因此,

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(責(zé)任編輯 馬宇鴻)

The characterization of Banach-valued generalized functional by Banach-valued Bargmann-Segal space

ZHOU Yu-lan,WANG Xuan-jing

(College of Mathematics and Information Science,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,Gansu,China)

The Banach-valued Bargmann-Segal spaceE2(v,X) is introduced,wherevis complex Gauss measure in generalized functional spaceL[Gp,X],Xis a complex separable reflexive Banach space.The totality of exponential vectors set {ε(ξ):ξ∈Dp} is used to discuss the analytic characterization of Banach-valued generalized functional viaL[Gp,X],wherep∈R.Meanwhile,thegeneralizedoperatornormisgivenbymeansofHilbertoperatornormofgeneralizedfunctionalinE2(v,X).

whitenoiseanalysis;Banach-valuedBargmann-Segalspace;generalizedfunctional;analyticcharacterization

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.01.003

2015-09-15;修改稿收到日期:2015-10-09

國家自然科學(xué)基金資助項目(11461061)

周玉蘭(1978—)，女，甘肅天水人，副教授，博士.主要研究方向為隨機分析及其應(yīng)用.

E-mail:zhouylw123@163.com

O 177.2

A

1001-988Ⅹ(2016)01-0012-05