范世祥

正四面體是中學(xué)數(shù)學(xué)立體幾何中最經(jīng)典的幾何體之一，以此為載體的試題屢見不鮮。本文針對(duì)正四面體進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，研究的內(nèi)容和方法對(duì)立體幾何的學(xué)習(xí)有啟發(fā)和遷移作用。

一、正三角形的研究

正四面體的每個(gè)面都是正三角形，根據(jù)空間問題平面化思想，為了更好地研究正四面體，我們先從正三角形開始說起。

問題1 已知正三角形的邊長為a，分別計(jì)算它的高、面積、外接圓的半徑以及內(nèi)切圓的半徑。

解析 如圖1，結(jié)合解三角形知識(shí)，容易求出以下四個(gè)參數(shù)的值：

（1）高h(yuǎn)=a；

（2）面積S=a；

（3）外接圓的半徑R=a；

（4）內(nèi)切圓的半徑r=a。

評(píng)注 正三角形的“四心”（外心、內(nèi)心、重心、垂心）合一，統(tǒng)稱為正三角形的中心，且中心O是每條高線（中線、角平分線）的一個(gè)三等分點(diǎn)。希望同學(xué)們能熟記這四個(gè)參數(shù)的值，對(duì)今后的解題會(huì)大有幫助。

二、正四面體的研究

問題2 已知正四面體的棱長為a，分別計(jì)算它的表面積、高、體積、外接球的半徑、內(nèi)切球的半徑、相對(duì)棱的距離與夾角、側(cè)棱與底面所成角的余弦值、相鄰側(cè)面所成二面角的余弦值。

解析 如圖2，正四面體P-ABC，設(shè)點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為H，可知點(diǎn)H為等邊三角形ABC的中心，連接PH，由問題1可知，HA=a，HE=a。

（1）正四面體的表面積等于4個(gè)全等的等邊三角形的面積之和，故S=4×a=a。

（2）在Rt△PHA中，PH==a。

（3）下面用兩種方法計(jì)算正四面體的體積。

方法一：V=S·PH=×a×a=a；

方法二：將正四面體放入正方體中（如圖3），此時(shí)正四面體的棱長就是正方體的面對(duì)角線的長，所以正方體的棱長為a，而正四面體的體積就是正方體的體積減去四個(gè)等大的三棱錐，

所以有V=V-4V=a-4××a=a。

（4）下面用三種方法計(jì)算正四面體的外接球的半徑R。

方法一：如圖2，易知外接球的球心O在高PH上，連接OA，

在Rt△OHA中，OH=PH-R=a-R，OA=R，HA=a，

所以R=a-R+a，解得R=a；

方法二：將正四面體放入正方體中（如圖3），此時(shí)正四面體的外接球的直徑就是正方體的體對(duì)角線的長，即2R=×a，解得R=a；

方法三：外接球的半徑為OP=R，內(nèi)切球的半徑為OH=r，

根據(jù)等體積法，可得V=V+V+V+V，即Sh=4×Sr，所以h=4r，

進(jìn)而R=OP=PH=a（球心O將高線分成3∶1）。

（5）由（4）可知，內(nèi)切球的半徑為OH=r=PH=a。

（6）將正四面體放入正方體中（如圖3），此時(shí)正四面體的相對(duì)棱的距離就是該正方體的棱長，即a。

（7）將正四面體放入正方體中（如圖3），此時(shí)正四面體的相對(duì)棱的夾角就是該正方體面對(duì)角線的夾角，即。

（8）如圖2，由題意可知，側(cè)棱PA與底面ABC所成的角就是∠PAH，

在Rt△PHA中，cos∠PAH==。

（9）如圖2，由題意可知，二面角P-AB-C的平面角就是∠PEH，

在Rt△PHE中，cos∠PEH==。

評(píng)注 以上所研究的正四面體的9個(gè)參數(shù)，涉及正四面體中的多個(gè)幾何量度，有距離（點(diǎn)到面的距離，異面直線的距離），有角度（異面直線所成角，線面角，二面角），還涉及與球有關(guān)的問題，熟練掌握其求解方法對(duì)其他的幾何體問題的解決也大有裨益。

三、應(yīng)用舉例

例1 在正四面體P-ABC中，E、F分別是PC、AB的中點(diǎn)，則EF與BC所成的角大小為 。

解析 將正四面體放入正方體中（如圖3），此時(shí)正四面體的相對(duì)棱的中點(diǎn)的連線與側(cè)棱所成的角為。

例2 正四面體A-BCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則A與B兩點(diǎn)與球心O連線的夾角余弦值為？搖 。

解析 在△AOB中，OA=OB=a，AB=a，由余弦定理可得cos∠AOB=-。

例3 一個(gè)三棱錐鐵框架的棱長均為2，其內(nèi)置一氣球，使氣球充氣至盡可能膨脹（保持球的形狀），則此球的表面積為 。

解析 由題意可知，該球與相對(duì)棱相切，即球的直徑為相對(duì)棱的距離，將該正四面體置于一個(gè)正方體中，易知相對(duì)棱的距離為，所以此球的表面積為S=4π·=2π。

例4 已知正四面體A-BCD的棱長為9，點(diǎn)P是面ABC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足點(diǎn)P到面DAB、DBC、DCA的距離成等差數(shù)列，則P到面DCA的距離的最大值是 。

解析 正四面體的高為h=a=3，

設(shè)點(diǎn)P到面DAB、DBC、DCA的距離分別為d、d、d，

由等體積法可知，h=d+d+d，即3=d+d+d，所以d+d=2d=2，

當(dāng)d=0時(shí)，d取得最大值為2。

水有源，故其流不窮；木有根，故其生不窮。幾何中的基本圖形與基本運(yùn)算蘊(yùn)含的豐富幾何思想方法是組成幾何問題的基礎(chǔ)。通過以上問題的解決，我們發(fā)現(xiàn)，正四面體的有關(guān)知識(shí)已經(jīng)成為高考或?？济}的重要素材，如果我們能從研究最簡(jiǎn)單的幾何體入手，掌握研究的思想與方法，無疑能抓住問題的核心，對(duì)學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)有很大的幫助！