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求解三角問題的幾種常用代換

2016-12-02 21:47:23王健
理科考試研究·高中 2016年11期
關鍵詞:平方和根式所求

王健

在三角問題中,注意觀察式子的結構特征,做一些相應的代換,轉化問題形式,可化生為熟,打開解題通道.本文分類列舉介紹三角解題中的幾種代換法.

一、角的代換

例1已知cosα+π4=35,π2≤α<3π2,求cos2α+π4的值.

分析本例已知式中的角與所求式中的角差異大,難以溝通.若把α+π4視為一個角,容易溝通已知角與所求角之間的關系.

解令α+π4=β,則2α+π4=2β-π4,且3π4≤β<7π4.

而cosβ=35,所以sinβ=-45,則sin2β=2sinβcosβ=-2425.

又cos2β=2cos2β-1=-725,所以

cos2α+π4=cos2β-π4

=22cos2β+sin2β=22-725-2425=-31250.

二、式的代換

例2設函數(shù)y=tanx-1+3-tanx的最大值為m,最小值為n,求mn的值.

分析注意到已知式中兩個根式的平方和是常數(shù)2,故可將根式中的式子進行三角代換.

解由已知式知1≤tanx≤3.因為tanx-1+3-tanx=2,故可作代換tanx-1=2sin2α,3-tanx=2cos2α0≤α≤π2.這樣,

y=2sinα+2cosα=2sinα+π4.

由0≤α≤π2π4≤α+π4≤3π422≤

sinα+π4≤12≤y≤2m=2,n=2,故mn=2.

三、常數(shù)代換

例3已知cos4αcos2β+sin4αsin2β=1,求證:cos4βcos2α+sin4βsin2α=1.

分析已知式與所證式中的式子次數(shù)高,難以處理,但注意到他們都可以化成平方和等于1的形式,想起三角公式sin2θ+cos2θ=1,可以進行代換來降次化簡.

證明已知式即cos2αcosβ2+sin2αsinβ2=1,故可作代換

cosθ=cos2αcosβ,sinθ=sin2αsinβ,即cos2α=cosθcosβ,sin2α=sinθsinβ.

則1=cos2α+sin2α=cosθcosβ+sinθsinβ=cosθ-β.

得θ-β=2kπ,θ=2kπ+βk∈Z.

那么cosθ=cosβ,sinθ=sinβcos2α=cos2β,

sin2α=sin2β

所以cos4βcos2α+sin4βsin2α=cos4βcos2β+sin4βsin2β=1.

四、配對代換

例4求值(1)sin10°sin30°sin50°sin70°;(2)sin220°+cos250°+sin20°cos50°.

分析對于這類典型式子,注意到正弦與余弦互為余函數(shù),可構造出互余式子,配對解答.

解(1)記A=sin10°sin30°sin50°sin70°,

構造B=cos10°cos30°cos50°cos70°,

AB=12sin20°·12sin60°·12sin100°·12sin140°

=116cos70°cos30°cos10°cos50°=116B.

因為B≠0,所以A=116為所求.

(2)記A=sin220°+cos250°+sin20°cos50°,配上互余式

B=cos220°+sin250°+cos20°sin50°.

兩式相加、相減,可得

A+B=2+sin20°cos50°+cos20°sin50°=2+sin70°,

A-B=-cos40°+cos100°-sin30°=-cos70°-30°+cos70°+30°-sin30°

=-sin70°-12.

將以上所得兩式相加,消去B,得2A=2-12,即A=34為所求.

五、邊角代換

在三角形中,由正弦定理和余弦定理溝通了邊和角之間的關系,因此,對于三角形中一些較復雜的三角式問題,可轉化為邊之間較簡潔的關系,方便解題.

例5在△ABC中,求證

sinA+sinB-sinCsinA+sinC-sinB

sinB+sinC-sinA≤sinAsinBsinC.

分析如果把左式乘開,將不勝其煩.為了簡化式子,先用正弦定理轉化為邊的關系.

證明由正弦定理sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R,代入所求式子中,那么等價于a+b-ca+c-bb+c-a≤abc.

但對于上式仍不易尋得思路,注意到三角形中有兩邊之和大于第三邊,故作代換

a+b-c=x,a+c-b=y,b+c-a=z,易解得a=x+y2,b=z+x2,c=y+z2(其中x>0,y>0,z>0).

那么原不等式又等價于xyz≤x+y2·z+x2·y+z2.

由均值不等式xy≤x+y2,zx≤z+x2,yz≤y+z2,

三式相乘,得

xyz≤x+y2·z+x2·y+z2,從而原不等式得證.

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