杜明浩

數(shù)學學習為什么那么難？很大程度上是學生在學習概念時沒有吃透，那么如何提高概念學習的效率呢？本文首先從概念的類型、直觀背景和原型這3個方面就影響概念學習的因素進行分析，接著思考對策.

一、影響因素分析

1.概念的類型

從概念的來源來看，我們教材中的數(shù)學概念分為兩類：第一類是客觀世界中的直接抽象，源于客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式，如幾何圖形、自然數(shù)等，這類概念由于有直觀的原型，學生更容易理解；第二類是從已有數(shù)學理論出發(fā)，以此為基礎(chǔ)從邏輯關(guān)系建構(gòu)的，如映射、群、環(huán)、域等，這類概念要求學生有更高的抽象思維的能力.兩類概念相比，學生在學習第二類概念時難度高于第一類.

2.概念的直觀背景

什么是數(shù)學概念的直觀背景呢？

學生的學習并非孤立的，數(shù)學學習亦是如此，數(shù)學概念的直觀背景指的是包括圖形、符號、實物模型等在內(nèi)的與概念相關(guān)的直觀形象，“直觀背景”有助于學生理解抽象的數(shù)學概念，能有效減輕學生從數(shù)學現(xiàn)象和感知轉(zhuǎn)向抽象概念過程中存在的理解上的負擔，促進學生對數(shù)學概念本質(zhì)的提取，促進概念意象的形成和理解.不過，任何的直觀性背景材料都有存在局限性，學生在學習的過程中容易出現(xiàn)部分代替整體，或受到非本質(zhì)背景的學習干擾，對學生的概念學習產(chǎn)生影響.為了幫助學生深入理解概念的本質(zhì)特征，筆者認為

在概念學習的初期，最好選擇低干擾的例子避免學生被非本質(zhì)背景的影響，在概念學習的后期尤其是復習階段，學生對于概念有了較深的理解后，可以選擇具有高干擾背景的例子引導學生在辨析的過程中進行概念的鞏固和內(nèi)化.

3.概念的原型

所謂的原型，指的是在表征數(shù)學概念的本質(zhì)屬性時最具典型性的標準實例.從高中數(shù)學教學概念的原型分為如下幾個：

（1）實例原型：例如我們在和學生一起學習等比數(shù)列時舉的《國王與棋盤》的故事；

（2）圖形原型：例如我們在和學生一起學習“圓”的概念時，圓的圖形就很典型；

（3）表達式原型：例如我們在和學生一起學習“雙曲線”時，x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）這個原型就比y=1x更容易想到；

（4）操作式原型：例如線面角的概念.

二、對策研究

1.注重學情的分析，精準把握問題切入點

不同的學生數(shù)學學習情況不一樣，其認知基礎(chǔ)、學習習慣和知識結(jié)構(gòu)都存在差異，我們?nèi)绻粚W生進行學情分析，或照本宣科、或憑經(jīng)驗盲目地進行設(shè)計問題都容易導致問題設(shè)置的低效，筆者認為基于問題解決的高中數(shù)學概念課在問題的設(shè)計上必須對學情進行準確的把握，據(jù)此制定教學目標和設(shè)置有效問題.當然，問題的切入點不僅是要考慮學生認知的起點，還應(yīng)該考慮學生從起點到目標達成思維上和問題解決上所需要的持續(xù)性條件.

例如，在和學生一起學習最簡三角方程時，在考慮了學生的認知基礎(chǔ)后，問題的設(shè)置從求sinx=13的解集入手，從解決具體的方程的解集入手，以此問題作為跳板再求sinx=a的解決，完成最簡三角方程sinx=a解集的探究.這樣的做法符合學生的從特殊到一般的認知和思維習慣.

2.制作認知沖突，力克相異構(gòu)想

學生在學習一個具體的數(shù)學概念前并非空著腦袋的，原有概念體系與新概念之間有聯(lián)系也有存在沖突的地方，甚至有些學生在學習過程中的想法與科學的概念相背離即出現(xiàn)了相異構(gòu)想.

例如，筆者在和學生一起探究“向量數(shù)量積的運算性質(zhì)”時，從學生原有的實數(shù)乘法的運算性質(zhì)出發(fā)，暴露學生的問題，然后再解決問題發(fā)現(xiàn)運算性質(zhì).

3.注重問題對知識學習進程的驅(qū)動性作用

基于問題的高中數(shù)學概念教學離不開問題的設(shè)置，那么問題起到什么作用呢？筆者認為我們在進行教學設(shè)計時，對于問題的具體作用一定要做到心中有數(shù)，每一個問題的設(shè)計意圖應(yīng)該是清晰且具有指向性的，唯有如此，問題才能具有學習驅(qū)動性，不斷地激活并將學生的思維方向調(diào)整到概念的自主構(gòu)建活動中來.

4.問題解決中注重數(shù)學思想方法的滲透

數(shù)學思想方法是高中數(shù)學的精髓所在，基于問題解決的高中數(shù)學概念課教學在問題解決的過程中應(yīng)該注重思想方法的滲透，讓學生習得的不是孤立的知識和概念，而是有血有肉有骨頭的完整的數(shù)學.

例如，筆者在和學生一起“學習圓的標準方程時”，設(shè)置問題情景，學生在解決問題的過程中就可以融入解析幾何的基本思想，算法思想，作圖及方程的思想等等.首先，問題式導入，然后生成問題，在解決問題的過程中滲透多種思想方法.

問題1：圓是如何定義的？（到定點的距離等于定長的點的集合.）

問題2：如何使用三點確定一個圓？（可以在不共線的三點上作圓.）

問題3：你們?nèi)绾问褂萌c作圓？（學生開始嘗試畫圓，并相互探討，生成新的問題）

生成新的問題4：如何將幾何問題歸納為代數(shù)問題，將代數(shù)問題歸納為方程問題？

那么如何解決問題呢？和學生圍繞問題進行探討，利用方程研究圓，在問題的解決過程中滲透多種數(shù)學思想方法，可以依據(jù)教學的內(nèi)容，引導學生運用算法思想設(shè)計出一個框圖.

5.設(shè)計分層性作業(yè)，激活所有學生的思維

學生是教學的主體，這里說的學生不僅僅是尖子生和高考中能夠沖擊高分的學生，還應(yīng)該包括臨界生和后進生.在概念課后的作業(yè)布置上應(yīng)該滿足于所有層次學生數(shù)學思維、數(shù)學學習興趣發(fā)展的需要，為此，數(shù)學作業(yè)必須要有層次性.

（1）雙基題，這個層次的數(shù)學作業(yè)是最基本的問題，目標指向滿足于基礎(chǔ)較為薄弱的學生思維發(fā)展需求，幫助學生有效復習最為基本的知識和規(guī)律.高考中的中檔題甚至于難題都是由雙基構(gòu)成的，注重雙基題的作業(yè)設(shè)計有助于學習薄弱的學生夯實基礎(chǔ).

（2）中等題，這部分作業(yè)目標指向中等層次的學生，著力提高學生分析問題解決問題能力.

（3）提高練習，這個層次要結(jié)合所教班級的學生實際進行設(shè)計，班級內(nèi)部總有少數(shù)或極少數(shù)的幾個學生，中等題對他們還存在吃不飽的現(xiàn)象，怎么辦？結(jié)合他們的具體情況，設(shè)計幾道具有開放性的思維力度的作業(yè)，引導學生對復習的內(nèi)容進行深加工，提高思維的靈活性和創(chuàng)造性.

概念是高中數(shù)學知識大廈的基石，影響高中數(shù)學概念學習的外部因素包括概念的類型、直觀背景、原型等等，有效解決的對策在于概念教學的問題化，引導學生在問題的解決過程中越發(fā)接近概念的本質(zhì).