劉福才 李 倩 劉 林

(燕山大學工業(yè)計算機控制工程河北省重點實驗室 秦皇島 066004)

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柔性關(guān)節(jié)空間機械臂奇異攝動自抗擾控制仿真研究①

劉福才②李 倩 劉 林

(燕山大學工業(yè)計算機控制工程河北省重點實驗室 秦皇島 066004)

針對不同重力環(huán)境條件下考慮摩擦、關(guān)節(jié)剛度非線性與外擾影響的柔性關(guān)節(jié)空間機械臂的控制問題，提出了一種基于奇異攝動理論的自抗擾控制方法。首先建立了柔性關(guān)節(jié)空間機械臂在地面重力和空間微重力環(huán)境下的動力學模型；然后采用奇異攝動法將系統(tǒng)模型分為快變子系統(tǒng)和慢變子系統(tǒng)，針對快變子系統(tǒng)設(shè)計速度反饋控制律來抑制柔性關(guān)節(jié)的振動，針對慢變子系統(tǒng)設(shè)計加入前饋補償?shù)淖钥箶_控制器(ADRC)來抵抗系統(tǒng)的內(nèi)外擾動，并對系統(tǒng)進行了穩(wěn)定性分析；最后對設(shè)計的控制器進行了仿真驗證與對比研究。仿真結(jié)果表明，采用該方法，在不同重力環(huán)境下柔性關(guān)節(jié)空間機械臂均能實現(xiàn)很好的軌跡跟蹤和抖振抑制，且能有效抵抗內(nèi)外擾動，系統(tǒng)具有魯棒性。

空間機械臂， 柔性關(guān)節(jié)， 重力， 奇異攝動， 自抗擾控制

0 引 言

隨著空間站技術(shù)的迅速發(fā)展，在軌服務(wù)、深空探測等領(lǐng)域存在大量的空間任務(wù)需要完成，采用空間機械臂進行空間協(xié)助作業(yè)可以大大減輕航天員的出艙風險和工作壓力，提高空間探索的效率，因此繼加拿大、日本、歐洲、美國之后，世界各國紛紛開始空間機械臂的研制工作[1]。由于諧波減速器、行星齒輪等作為關(guān)節(jié)驅(qū)動部件具有減速比大、結(jié)構(gòu)緊湊、傳動效率高的優(yōu)點，因此在空間機械臂中應(yīng)用廣泛。但隨著速度和載荷的增大，這些驅(qū)動部件會導致關(guān)節(jié)柔性，帶來滯后、非線性耦合和高頻諧振等控制難題[2]。針對這一問題，本文對考慮了關(guān)節(jié)柔性的空間機械臂的控制進行了研究，提出了一種基于奇異撬動理論的自抗擾控制方法，并對該方法進行了仿真驗證。

1 相關(guān)研究

由于進行空間機構(gòu)的研究必須進行地面實驗且應(yīng)考慮空間應(yīng)用時的微重力效應(yīng)問題[3]，因此研究者們提出了多種微重力環(huán)境模擬方案。主要包括落塔/井法、失重飛機剖物線飛行法[4]、中性浮力法[5]、氣浮法[6]以及吊絲配重法[7]。落塔與拋物線飛行可以實現(xiàn)高精度的微重力環(huán)境模擬，但模擬時間短、空間小，耗資高，對機構(gòu)研究的實用范圍有限。氣浮法實驗時間不受限，設(shè)備成本低且易于實現(xiàn)和維護，但只能實現(xiàn)平面模擬。中性浮力法和吊絲配重法可以進行三維模擬實驗，但由于繩索柔性、設(shè)備中摩擦等阻力、大質(zhì)量機構(gòu)的運動慣量等因素，致使模擬的真實性較差。

目前，國內(nèi)外學者針對柔性關(guān)節(jié)機械臂的控制問題做了大量的仿真研究。謝立敏等[8]針對參數(shù)不確定的漂浮基柔性關(guān)節(jié)空間機械臂的軌跡跟蹤與振動抑制問題，提出了基于奇異攝動方法的魯棒控制策略。陳明金等[9]針對具有時滯的柔性關(guān)節(jié)機械臂設(shè)計了自適應(yīng)算法對系統(tǒng)參數(shù)進行修正，進行了機械臂的位置/力的跟蹤控制研究。張奇等[10]設(shè)計了一種基于無源性理論的柔性關(guān)節(jié)控制器。Chien等[11]針對含時變不確定性的柔性關(guān)節(jié)機器人，設(shè)計了無需計算回歸矩陣的模型參考自適應(yīng)控制器來處理系統(tǒng)模型的級聯(lián)結(jié)構(gòu)與時變不確定性。Kandroodi等[12]提出了采用變結(jié)構(gòu)控制結(jié)合混沌同步反控制實現(xiàn)柔性關(guān)節(jié)機械臂系統(tǒng)的軌跡跟蹤與振動抑制的方法。這些研究在柔性關(guān)節(jié)機械臂的軌跡跟蹤與振動抑制方面均取得了很好的控制效果，但這些研究只考慮了機械臂在地面或者在空間的情況，未考慮在地面裝調(diào)好的機械臂應(yīng)用于時是否仍能達到控制目標。

對于應(yīng)用于空間的機械臂來說，由于缺乏有效的環(huán)境模擬試驗驗證手段，地面試驗時重力的影響無法完全消除，因此需要設(shè)計考慮重力影響的控制器，使機械臂在地面與空間均能實現(xiàn)控制目標。 奇異攝動法是柔性關(guān)節(jié)機械臂控制中常采用的方法，采用該方法可以很好地處理柔性關(guān)節(jié)帶來的系統(tǒng)抖振問題。該方法不僅適用于剛性/柔性機器人系統(tǒng)，在航天工程、過程控制、制造業(yè)和電力系統(tǒng)等領(lǐng)域也被廣泛應(yīng)用[13]。采用該方法進行系統(tǒng)設(shè)計時，首先忽略快變量以降低系統(tǒng)階數(shù)，然后通過引入邊界層來提高近似程度，相對于只考慮系統(tǒng)低頻部分的做法更加準確。但奇異攝動法只適用于關(guān)節(jié)柔性較小的情況[14]。

基于此，本文提出了考慮不同重力環(huán)境的奇異攝動自抗擾控制器設(shè)計，對柔性關(guān)節(jié)空間機械臂分別在地面重力環(huán)境與空間微重力環(huán)境下進行軌跡跟蹤控制仿真研究。首先，建立了地面和空間不同重力環(huán)境下考慮摩擦、關(guān)節(jié)剛度非線性、建模誤差及系統(tǒng)外擾的柔性關(guān)節(jié)空間機械臂模型；其次，采用奇異攝動理論將系統(tǒng)分為快慢變子系統(tǒng)。針對快變子系統(tǒng)設(shè)計速度反饋控制律抑制柔性關(guān)節(jié)的振動，針對慢變子系統(tǒng)設(shè)計考慮模型信息的線性自抗擾控制器(active disturbance rejection controller, ADRC)來實現(xiàn)不同重力環(huán)境下機械臂的軌跡跟蹤，將模型的已知部分作為前饋信息加入控制律中，采用擴張狀態(tài)觀測器(extended state observer, ESO)將建模誤差及系統(tǒng)外擾估計出來并在控制律中進行補償。并對控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析。最后對本文所設(shè)計的控制器，用MATLAB進行了仿真驗證，并與其他控制方法進行了對比研究。

2 系統(tǒng)模型建立

本文考慮如圖1所示的二自由度柔性關(guān)節(jié)機械臂。首先采用歐拉—拉格朗日方程，基于動能和勢能推導出二自由度剛性關(guān)節(jié)機械臂的動力學模型，如下式所示：

(1)

柔性關(guān)節(jié)部分采用Spong[15]提出的經(jīng)典簡化模型，將電機和關(guān)節(jié)之間視為具有常值系數(shù)的線性扭轉(zhuǎn)彈簧(示意圖如圖2所示)。當電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過角度θi時，由于扭轉(zhuǎn)彈簧作用，剛性桿轉(zhuǎn)過的角度為qi，電機轉(zhuǎn)子與桿件之間產(chǎn)生的角度變形誤差為Δi=θi-qi。如果在動力學分析與控制中忽略柔性關(guān)節(jié)的存在，勢必會造成變形誤差的累積影響系統(tǒng)控制性能?？紤]柔性關(guān)節(jié)的機械臂系統(tǒng)，在剛性機械臂的動能中加入電機轉(zhuǎn)子的動能(假設(shè)其動能只由其自身的旋轉(zhuǎn)引起)，再考慮柔性關(guān)節(jié)的彈性勢能即可。轉(zhuǎn)子動能Te和彈性勢能Ue分別為

(2)

(3)

式中，Jm∈R2×2為電機的正定慣量矩陣，K∈R2×2為柔性關(guān)節(jié)剛度矩陣，θ為電機轉(zhuǎn)子的角度矢量。

將彈性項與剛體動力學方程組合，可以得到由直流電機直接驅(qū)動的柔性關(guān)節(jié)機械臂的動力學方程如下：

(4)

式中，τm∈R2為電機產(chǎn)生的驅(qū)動力矩。桿的動力學和執(zhí)行機構(gòu)動力學通過彈性力矩項K(θ-q)耦合。

圖1 柔性關(guān)節(jié)空間機械臂

圖2 柔性關(guān)節(jié)簡化模型

本文考慮關(guān)節(jié)剛度為非線性形式，非線性關(guān)節(jié)剛度動力學表達式為

(5)

式中，Ksw為對角正定陣，asw為用于定義柔性扭轉(zhuǎn)函數(shù)的參數(shù)。

實際機械系統(tǒng)中存在摩擦力矩且不可忽略，因此需要考慮摩擦的影響并對其合理建模。本文選取摩擦力模型[16]如下：

(6)

式中，ri>0，i=1,2,…,6。

將上述摩擦模型加入到柔性關(guān)節(jié)空間機械臂模型中得到

(7)

式中，F(xiàn)∈R2為摩擦力矩矩陣。

地面裝調(diào)階段柔性關(guān)節(jié)空間機械臂的建模應(yīng)該考慮重力，此時拉格朗日函數(shù)中增加了連桿的重力勢能，得到地面階段柔性關(guān)節(jié)空間機械臂的模型如下：

(8)

式中，G(q)∈Rn為重力載荷向量矩陣，可寫成

G=φ(q)g

(9)

式中的g取0時，式(8)即為空間階段柔性關(guān)節(jié)空間機械臂的模型。

由式(5)、(6)、(8)、(9)可以得到考慮不同重力、摩擦、關(guān)節(jié)剛度非線性、建模誤差以及系統(tǒng)外擾的柔性關(guān)節(jié)空間機械臂模型

(10)

式中，Δ1∈R2為電機側(cè)建模誤差，Δ2∈R2為負載側(cè)建模誤差；wm∈R2為電機側(cè)外界擾動項，wl∈R2為負載側(cè)外界擾動項，重力載荷項G∈R2中的g在地面階段取9.8，在空間階段取0。式(10)中各矩陣表達式如下：

其中：

令，b=m2l1a2sinq2，則：

3 控制器設(shè)計與穩(wěn)定性分析

3.1 控制器設(shè)計

關(guān)節(jié)柔性將導致系統(tǒng)的彈性振動，因此有必要設(shè)計能夠同時實現(xiàn)軌跡跟蹤與振動抑制的控制器?；谄娈悢z動理論，將柔性關(guān)節(jié)空間機械臂系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為快慢變兩個獨立的子系統(tǒng)，然后分別針對兩個子系統(tǒng)設(shè)計控制器[17]。

τm=τs+τf

(11)

式中τf是快變控制力矩，其作用是在突變情況下提供快速響應(yīng)，用來消除系統(tǒng)的彈性振動。τm是慢變控制力矩，作用于準穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，用來補償系統(tǒng)的總和擾動，保證系統(tǒng)的軌跡跟蹤。

由動力學模型式(10)，可以得到關(guān)節(jié)力矩τ(τ=K(θ-q))的方程

(12)

引入?yún)?shù)ε，取K=Kε/ε2，其中Kε為正定對角陣，ε越小表示關(guān)節(jié)剛度越大，并選取

(13)

則式(12)可重寫為

(14)

令ε=0，得到關(guān)節(jié)力矩的準穩(wěn)態(tài)表達式

(15)

將式(15)分別代入式(10)中得到考慮系統(tǒng)建模誤差與外部擾動時的系統(tǒng)準穩(wěn)態(tài)方程

(16)

針對準穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)設(shè)計二階自抗擾控制器，以保證機械臂從地面到空間，系統(tǒng)模型發(fā)生變化時，以及系統(tǒng)在運行過程中參數(shù)發(fā)生變化，或者受到外界干擾時，均能實現(xiàn)很好的軌跡跟蹤效果。

首先，為了簡化控制器設(shè)計，將系統(tǒng)的準穩(wěn)態(tài)方程寫為如下的狀態(tài)空間表達式：

(17)

式(17)與傳統(tǒng)表達式的區(qū)別在于將b直接視為單位陣I2×2，u不是系統(tǒng)實際控制量τs，而是系統(tǒng)的虛擬控制量。

為了對擾動f進行估計，針對式(17)所示的系統(tǒng)設(shè)計三階線性擴張狀態(tài)觀測器(ESO)形式如下：

(18)

線性ADRC的控制律為如下線性組合形式：

u=u0-z3

(19)

式中，u0采用PD控制，其公式為

(20)

由式(17)、(19)、(20)可得到加入前饋控制量的慢變控制律為

(21)

在慢變控制律中加入前饋補償，能有效減小ESO的觀測帶寬，避免放大測量噪聲。系統(tǒng)的整體控制框圖如圖3所示。

圖3 柔性關(guān)節(jié)空間機械臂奇異攝動自抗擾控制結(jié)構(gòu)框圖

3.2 穩(wěn)定性分析

說明：文獻[20]對線性ESO的估計能力進行了詳細的證明，這里不再重復證明。

證明：由式(16)、式(21)可以得到系統(tǒng)的誤差方程為

(22)

定義Lyapunov函數(shù)如下：

(23)

(24)

-αβλmin(Kp)‖e‖2

(25)

式中，λmax()和λmin()表示矩陣的最大特征值與最小特征值。又因為

(26)

(27)

(28)

所以

(29)

由此，定理得證。

4 仿真研究

采用本文設(shè)計的奇異攝動自抗擾控制律(見式(19))，對不同重力環(huán)境條件下考慮摩擦、關(guān)節(jié)剛度非線性以及系統(tǒng)外擾的二自由度柔性關(guān)節(jié)空間機械臂進行控制，首先對其軌跡跟蹤情況、抖振抑制能力在MATLAB中進行了仿真驗證。

(30)

由于關(guān)節(jié)柔性會引起系統(tǒng)抖振，因此需要對所設(shè)計控制器的振動抑制能力進行檢驗。正方形軌跡相對于圓形或者直線型軌跡，對控制器的要求更加嚴格，因此仿真時給定機械臂的期望軌跡為邊長為12.6m的正方形。

機械臂的模型參數(shù)和摩擦模型參數(shù)分別如表1和表2所示。

表1 平面二連桿機械臂參數(shù)

表2 關(guān)節(jié)摩擦模型參數(shù)

電機的慣量矩陣為Jm=diag(1)，柔性關(guān)節(jié)的剛度非線性模型參數(shù)分別為a1=diag(500)，a2=diag(500)，Ksw=diag(500)。

控制器參數(shù)選擇如下： Kp=[500 0;0 500],Kd=[50 0;0 50],Kv=[40 0;0 40],βo1=[150 0;0 80], βo2=[250 0;0 200], βo3=[1500 0;0 1000]。仿真結(jié)果如圖4、圖5所示。

從圖4(a)與圖5(a)可以看出，采用奇異攝動自抗擾控制在地面重力環(huán)境下和空間微重力環(huán)境下均可以實現(xiàn)很好的末端軌跡跟蹤，只在軌跡跟蹤的轉(zhuǎn)角處出現(xiàn)微小的跟蹤誤差，但很快便可以恢復跟蹤。從圖4(b)與圖5(b)可以看出，關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩在方形軌跡的拐角處出現(xiàn)較大峰值，但抖振現(xiàn)象并不明顯，說明該控制器具有很好的抖振抑制能力。從圖4(c)與圖5(c)可以看出，在軌跡跟蹤轉(zhuǎn)角處最大有0.1m的跟蹤誤差，其他位置最大有5×10-3的跟蹤誤差。從圖4(d)與圖5(d)可以看出，在大約為5s處，擾動的估計值可以完全跟蹤上實際擾動值，說明觀測器可以很好的對建模誤差進行估計。

機械臂在軌服役過程中電機側(cè)、負載側(cè)均會受到外界擾動的影響，所以需要進行系統(tǒng)抗擾性能的研究。令w(w=wm+wl)為一個幅值為-20的階躍擾動，開始時間為20s。仿真結(jié)果如圖6所示。

圖4 地面階段奇異攝動自抗擾控制仿真圖

圖5 空間階段奇異攝動自抗擾控制仿真圖

圖6 空間階段奇異攝動自抗擾控制抗擾性能仿真圖

從圖6(a)可以看出，在系統(tǒng)存在外界擾動時，空間柔性關(guān)節(jié)機械臂的末端軌跡仍能很好地跟蹤期望軌跡，只在干擾進來時出現(xiàn)一個很小的跟蹤偏差，之后便立即恢復跟蹤。從圖6(b)可以看出在20s時刻干擾進來時，線性ESO可以迅速將擾動估計出來，這也可以解釋線性ADRC能夠抗擾的原因。但是同樣可以從圖中看出，在方形軌跡的轉(zhuǎn)折點處，擾動力矩的估計值都會有一個小的抖振，這是由于在軌跡轉(zhuǎn)折點處要補償?shù)目偤蛿_動突然發(fā)生變化。

5 控制性能比較

采用基于奇異攝動法的PD控制器(以下簡稱為奇異攝動PD控制器)對平面二連桿柔性關(guān)節(jié)空間機械臂進行了仿真研究(如圖7和圖8)，設(shè)計的控制律如下：

(31)

其中參數(shù)選擇為Kp=diag(270), Kd=diag(150), Kvdiag(35)。

從圖7可以看出，采用所設(shè)計的PD控制器，柔性關(guān)節(jié)空間機械臂在空間微重力環(huán)境下能基本實現(xiàn)軌跡跟蹤，但是在地面重力環(huán)境下跟蹤軌跡明顯偏離了期望軌跡。說明PD控制器不能適應(yīng)重力環(huán)境的變化，不具有魯棒性。從圖8可以看出，在地面與空間不同重力環(huán)境下，采用奇異攝動PD控制器對柔性關(guān)節(jié)空間機械臂進行控制時，驅(qū)動力矩在跟蹤軌跡的轉(zhuǎn)角處均存在嚴重的抖振。說明奇異攝動PD控制器的抑振能力較差。

圖7 奇異攝動PD控制軌跡跟蹤仿真圖

圖8 奇異攝動PD控制關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩仿真圖

另外，將本文的奇異攝動自抗擾控制與文獻[2]的自適應(yīng)魯棒控制和文獻[23]的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制進行對比，發(fā)現(xiàn)采用本文設(shè)計的控制器進行控制時系統(tǒng)的軌跡跟蹤性能和抖振抑制效果更好。對擾動和建模誤差的估計逼近更快、誤差更小。

6 結(jié) 論

本文針對柔性關(guān)節(jié)空間機械臂在地面與空間階段模型不同的問題，提出了基于奇異攝動法的自抗擾控制方法，并對該方法進行了仿真驗證。仿真結(jié)果表明，采用該控制器對柔性關(guān)節(jié)空間機械臂進行控制時，在地面重力條件下和與空間微重力條件下均能實現(xiàn)較好的軌跡跟蹤和抖振抑制，系統(tǒng)具有很好的魯棒性。與自適應(yīng)魯棒和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器相比，所設(shè)計的控制器實現(xiàn)簡單，需調(diào)整參數(shù)少，工程上易于應(yīng)用。

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Simulation study of the singular perturbation based active disturbance rejection control for flexible joint space manipulators

Liu Fucai， Li Qian， Liu Lin

(Key Lab of industrial Computer Control Engineering of Hebei Province， Yanshan University， Qinhuangdao 066004)

A singular perturbation based active disturbance rejection control method considering friction，nonlinear joint stiffness and external disturbance was proposed for control of flexible joint manipulators under different gravity environments. Firstly， the dynamic model of flexible joint manipulators under the gravity environment and that under the microgravity environment were established． Then， the system model was divided into the fast subsystem and the slow subsystem with the singular perturbation method, and the speed feedback control law was designed to suppress the vibration of flexible joints for the fast subsystem while the active disturbance rejection controller (ADRC) with a feedforward compensation was designed for the slow subsystem to resist the internal and external disturbance． Also， the system stability was analyzed． Finally， the designed controller was verified by simulation and was compared with other control methods． The simulation results show that with the designed controller, the good performance in trajectory tracking and vibration suppression both on the ground and in the space can be achieved, and the internal and external disturbance can be resisted, making the system robust．

space manipulator， flexible-joint， gravity, singular perturbation， active disturbance rejection control

10.3772/j.issn.1002-0470.2016.06.007

①863計劃(2012AA)，國家自然科學基金青年基金項目(51605415)和河北省自然科學基金(F2015203362， F2016203494)資助項目。

2016-03-31)

②男，1966年生，博士生導師；研究方向：空間機構(gòu)運動行為分析與控制技術(shù)研究；聯(lián)系人，E-mail: lfc@ysu.edu.cn