劉樂(lè)然，劉景州

（1.安陽(yáng)市第一中學(xué)；2.安陽(yáng)幼兒師范高等專(zhuān)科學(xué)校，河南安陽(yáng)455000）

不確定因素干擾下的最優(yōu)決策

劉樂(lè)然1，劉景州2

（1.安陽(yáng)市第一中學(xué)；2.安陽(yáng)幼兒師范高等專(zhuān)科學(xué)校，河南安陽(yáng)455000）

當(dāng)面臨多個(gè)決策時(shí)，人們往往受多個(gè)因素的影響。圍繞不確定因素對(duì)最優(yōu)決策的影響，本文從學(xué)生去餐廳就餐問(wèn)題進(jìn)行入手，將餐廳就餐情況、別人的選擇、自身偏好等不確定因素抽象成可以量化的數(shù)值，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，探討如何使決策最優(yōu)化。

數(shù)學(xué)建模；決策分析；數(shù)據(jù)模擬

D01∶10.19329/j.cnki.1673-2928.2016.06.016

在決策過(guò)程中，我們將影響決策準(zhǔn)則的因素分為人為因素與客觀因素。人為因素包含自身因素與他人行為?？陀^因素分為確定因素與不確定因素。在充分考慮主觀因素與確定因素后，我們還需要討論不確定因素、他人行為對(duì)決策的影響，使決策更為優(yōu)越。

1 模型背景

某校有3個(gè)食堂，beta去餐廳就餐。他是一個(gè)精于策劃的學(xué)生，希望用最短的時(shí)間以及最令人愉悅的方式解決問(wèn)題。然而，食堂是一個(gè)充滿(mǎn)不確定因素的地方，beta需要根據(jù)自己的肚子和三個(gè)食堂不同的情況做出最理想的決策。請(qǐng)運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的知識(shí)，圍繞食堂就餐的過(guò)程，對(duì)該決策進(jìn)行優(yōu)化，使beta的決策在食堂中多種因素變化的情形下仍能保持可行性。

圍繞食堂就餐決策的靈敏度分析，本文提出了以下的問(wèn)題：

1）將餐廳的情況、別人的選擇、自身的偏好抽象成可以量化的數(shù)值，并由此得出這些量在這個(gè)問(wèn)題中占的比重；

2）由于實(shí)際情況中，beta只能根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)、自身偏好進(jìn)行預(yù)判，這種預(yù)判與實(shí)際情況會(huì)產(chǎn)生偏差，從而使決策不能收到最大效益。我們可以考慮這些不確定因素產(chǎn)生的影響，從而得到實(shí)際與目標(biāo)的偏離程度，并由此做出評(píng)估；

3）不確定因素對(duì)beta的決策產(chǎn)生的影響的量化。

2 模型假設(shè)

1）假設(shè)菜品的受歡迎程度與性?xún)r(jià)比按照題中所給函數(shù)。

2）假設(shè)該食堂菜品口味、營(yíng)養(yǎng)價(jià)值按照本文提供表格中的數(shù)據(jù)成線(xiàn)性分布。

3）假設(shè)beta同學(xué)就餐決策由且僅由這5個(gè)及其相關(guān)量來(lái)表示。

4）假設(shè)三個(gè)食堂各有差異且差異可以表示。

5）假設(shè)beta本身只能決定菜品種類(lèi)，排隊(duì)人數(shù)對(duì)于beta完全不可控。

3 符號(hào)說(shuō)明

下列符號(hào)的含義是：

A1：菜品口味，常量

A2：擁擠程度，常量

A3：營(yíng)養(yǎng)價(jià)值，常量

A4：菜品價(jià)格，常量

A5：排隊(duì)時(shí)間(min)，常量X0：菜品的性?xún)r(jià)比，變量

E：排隊(duì)人數(shù)的實(shí)際值，變量

F0：排隊(duì)人數(shù)的預(yù)測(cè)值，常量

W：排隊(duì)人數(shù)的誤差值，常量

μi：菜品的受歡迎程度，常量

Ni∶考慮誤差后的擁擠程度,變量

Ti∶考慮誤差后的排隊(duì)時(shí)間,變量

Λmaxi∶每個(gè)因素的重要程度,常量

S=100∶窗口面積（m2）,常數(shù)

V=100∶排隊(duì)速度，即單位時(shí)間排完隊(duì)的人數(shù)（人/H）,常數(shù)

Mi∶不同菜品對(duì)應(yīng)的隊(duì)長(zhǎng)（人）,變量

Ω∶層次分析中的矩陣列

P：決策指數(shù)，函數(shù)

Q：決策指數(shù)的過(guò)渡函數(shù)，函數(shù)

4 問(wèn)題分析

Beta對(duì)不同的菜品有自己不同的評(píng)價(jià)，菜品的優(yōu)劣（b1）主要有菜品的營(yíng)養(yǎng)度a1，菜品的價(jià)格a2,來(lái)決定，菜品的優(yōu)劣又往往會(huì)影響到選擇食用該菜品的人數(shù)，我們把這個(gè)關(guān)系用同類(lèi)商品的便宜程度與其受消費(fèi)者歡迎程度的函數(shù)（Gx）來(lái)近似，用matlab求解。

每一天到食堂吃飯的人數(shù)e也是波動(dòng)的，因此beta每天的排隊(duì)時(shí)間也有波動(dòng)，買(mǎi)好吃的菜又會(huì)增加排隊(duì)時(shí)間。

綜上，我們把beta就餐的決策收益分為菜品口味和營(yíng)養(yǎng)體驗(yàn)。消費(fèi)成本分為擁擠過(guò)程中的心理成本、排隊(duì)時(shí)間和菜品的價(jià)格。

首先對(duì)于排隊(duì)人數(shù)進(jìn)行灰色預(yù)測(cè)，并得到期望值與誤差值。

通過(guò)層次分析，得到beta應(yīng)該去哪個(gè)食堂，以及beta做決策時(shí)對(duì)這五個(gè)因素的偏重程度，即權(quán)重系數(shù)。

又通過(guò)數(shù)學(xué)分析得到以下幾個(gè)量間的關(guān)系：排隊(duì)人數(shù)與擁擠度，排隊(duì)人數(shù)、選擇菜品的受歡迎程度對(duì)排隊(duì)時(shí)間的影響，共得到5個(gè)關(guān)鍵函數(shù)。

根據(jù)期望值與誤差值，得到排隊(duì)人數(shù)的可變區(qū)間，并通過(guò)蒙特卡洛模擬方法隨機(jī)生成8組該區(qū)間的數(shù)值，再加上兩個(gè)端點(diǎn)的極端數(shù)值生成5*n的數(shù)值矩陣，并由該矩陣計(jì)算協(xié)方差矩陣，并計(jì)算協(xié)方差矩陣的和，觀察是否超出可接受范圍。

5 模型求解

5.1 受歡迎度的函數(shù)

為探究受歡迎程度與營(yíng)養(yǎng)程度、菜品價(jià)格間的關(guān)系，我們?cè)O(shè)立多元線(xiàn)性回歸方程，μi=b1+b2× A4+b3×A3，得到μi=-173.4+150.9×A4+10.22×A3 （μi受歡迎度、A4價(jià)格、A3營(yíng)養(yǎng)值）

5.2 排隊(duì)時(shí)間、排隊(duì)人數(shù)的函數(shù)

為了衡量食堂的擁擠程度F(x)=mi/S;

mi=e*（μi/∑ui）表示排隊(duì)買(mǎi)第i個(gè)菜的隊(duì)長(zhǎng)。Ti=mi/v表示買(mǎi)第i個(gè)菜的排隊(duì)時(shí)間。

5.3 排隊(duì)人數(shù)的灰色預(yù)測(cè)

本題中的排隊(duì)人數(shù)符合灰數(shù)模型。

采用灰色預(yù)測(cè)GM(1,1)的方法，由前10天的賣(mài)出份數(shù)得到：今天的賣(mài)出份數(shù)預(yù)測(cè)值為：1045.0484；百分絕對(duì)誤差為：25.8384。

5.4 對(duì)于食堂就餐的層次分析(AHP)

采用層次分析法對(duì)就餐問(wèn)題進(jìn)行分析：將就餐選擇分為兩個(gè)層次，第一個(gè)層次為：菜品口味、擁擠程度、營(yíng)養(yǎng)價(jià)值、菜品價(jià)格、排隊(duì)時(shí)間；第二個(gè)層次為：3個(gè)不同窗口（見(jiàn)圖1）。通過(guò)定性指標(biāo)模糊量化方法算出層次單排序和總排序，以作為目標(biāo)、多方案優(yōu)化決策的系統(tǒng)方法。

圖1 對(duì)食堂就餐問(wèn)題的層次分析（AHP）

5.4.1 構(gòu)造判斷矩陣

5.4.2 求出最大特征值及特征向量

A的最大特征值λmax=5.363

相應(yīng)的特征向量為 ω=(0.202,0.338,0.245, 0.051,0.164)T

比較方案層對(duì)準(zhǔn)則層的影響，同理得到五個(gè)成對(duì)比較矩陣A1,A2,A3,A4,A5，求得各要素最大特征值和相應(yīng)的特征向量。

5.4.3 一致性檢驗(yàn)

一致性指標(biāo)CI=(5.363-5)/(5-1)=0.0908隨機(jī)一致性指標(biāo)RI=1.12

一致性比率CR=0.0908/1.12=0.081＜0.1通過(guò)一致性檢驗(yàn)。

經(jīng)計(jì)算，均通過(guò)一致性檢驗(yàn)。

由此，我們得到beta同學(xué)明智的選擇是去三食堂。

5.4.4 構(gòu)建函數(shù)Q=Q1-Q2

Q1為決策利潤(rùn)，Q2為決策成本。

決策利潤(rùn)包括菜品口味，營(yíng)養(yǎng)價(jià)值，決策成本包括擁擠程度，排隊(duì)時(shí)間，菜品價(jià)格。這里的擁擠程度、排隊(duì)時(shí)間、菜品價(jià)格按照灰色預(yù)測(cè)所得到的結(jié)果，而菜品的口味則按照beta自己的選擇。

由Q1=0.202×A1+0.245×A3;

Q2=0.338×A2+0.051×A4+0.164×A5.

得 Q=（0.202×A1+0.245×A3）-（0.338×A2+ 0.051×A4+0.164×A5）.

為了使他們的重要程度僅由權(quán)重系數(shù)決定，我們對(duì)這個(gè)公式進(jìn)行修正：

P=（0.202×A1+0.245×A3/20）-（0.338×A2/100+ 0.051×A4+0.164×A5）

5.4.5 結(jié)論

模糊量化條件：每種菜的口味可以由不同的

數(shù)值衡量。

根據(jù)灰色預(yù)測(cè)的結(jié)果，百分絕對(duì)誤差為：25.8384；預(yù)測(cè)值為：1045.0484。

我們知道，排隊(duì)人數(shù)應(yīng)在(760.216,1288.821)之間。為不失準(zhǔn)確性，我們將排隊(duì)人數(shù)的可能區(qū)間設(shè)為（760，1288）。

5.5 數(shù)據(jù)模擬與邊界分析

使用蒙特卡洛法，考慮邊界條件進(jìn)行隨機(jī)模擬，綜合菜品受歡迎程度與排隊(duì)時(shí)間、營(yíng)養(yǎng)價(jià)值的函數(shù)，我們可以分別得到六樣菜品的Q值

-0.452-0.434-0.498 0.240 0.021 0.168

Beta同學(xué)在做出選擇4號(hào)菜品的決策后，排隊(duì)人數(shù)的波動(dòng)造成決策的成本與結(jié)果的綜合準(zhǔn)則p隨之浮動(dòng)，而決策的靈敏度要求是波動(dòng)范圍使得決策最優(yōu)的地位沒(méi)有改變。由蒙特卡洛模擬得，e在一定偏小范圍內(nèi)變化時(shí)，beta的4號(hào)決策仍為最優(yōu)決策，當(dāng)e達(dá)到e0時(shí)，顯然，6號(hào)菜品取代4號(hào)菜品成為最優(yōu)決策?，F(xiàn)在，我們建立數(shù)學(xué)模型來(lái)求出e0，模型求解如下：

對(duì)于一個(gè)e0,根據(jù)公式

P=（0.202×A1+0.245×A3/20）-（0.338×A2/100+ 0.051×A4+0.164×A5）

4號(hào)菜品的決策指數(shù)為

P4=(0.202×1+0.245×75/20)-(0.338×e0× 0.16678/100+0.051×0.6+0.164×e0×0.16678×0.01)

6號(hào)菜品的決策指數(shù)為

P6=(0.202×1+0.245×23.5/20)-(0.338×e0× 0.05310/100+0.051×1+0.164×e0×0.05310×0.01)

當(dāng)P4=P6時(shí)，可以解得，e0=1135.1

綜上，在760＜e＜e0時(shí)，beta同學(xué)選擇4號(hào)菜品，3號(hào)食堂為標(biāo)準(zhǔn)決策，在e0＜e＜1288時(shí)，beta同學(xué)選擇6號(hào)菜品為標(biāo)準(zhǔn)決策。當(dāng)e=e0時(shí)，beta同學(xué)可以根據(jù)其他條件任意選擇4號(hào)和6號(hào)中的一個(gè)。

5.6 模型的驗(yàn)證·協(xié)方差檢驗(yàn)

不同量之間的相互影響的程度見(jiàn)表1。由協(xié)方差矩陣知，P函數(shù)獨(dú)立性極強(qiáng)，可以認(rèn)為是正確的。

表1 協(xié)方差檢驗(yàn)表矩陣

6 模型評(píng)估

1）在等待的過(guò)程中，該學(xué)生的饑餓度有可能隨時(shí)間的推移而改變，這點(diǎn)我們?cè)谀Ｐ头治鲋腥裟軌蛏宰稣f(shuō)明，問(wèn)題將顯得更加可靠。

2）對(duì)于灰數(shù)模型GM（1，1），該模型參數(shù)通常采用最小二乘法來(lái)估計(jì)，雖然最小二乘法是迄今為止最常用的辦法，但采用最小二乘法的前提是擬合誤差應(yīng)具有正態(tài)性，否則，由它求得的參數(shù)穩(wěn)健性較差，對(duì)異常數(shù)據(jù)較敏感。［1］

[1]穆勇.灰色預(yù)測(cè)模型參數(shù)估計(jì)的優(yōu)化方法[J].青島大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2003，16（3）∶95-98.

（責(zé)任編輯：王彥永）

O211.9

A

1673-2928（2016）06-0052-03

2016-04-08

劉樂(lè)然（1999-），河南安陽(yáng)人，安陽(yáng)一中。劉景州(1974-)，河南上蔡人，安陽(yáng)幼兒師范高等專(zhuān)科學(xué)校副教授，主要研究方向：計(jì)算機(jī)信息。