□ 周奕生

共點(diǎn)又等長(zhǎng) 旋轉(zhuǎn)來(lái)變換

□ 周奕生

旋轉(zhuǎn)變換是幾何圖形三大變換之一，當(dāng)圖形中出現(xiàn)我們所關(guān)注的某個(gè)三角形的某條邊與其他邊具有“共點(diǎn)等長(zhǎng)且?jiàn)A角為特殊角（比如60°、90°等）”時(shí)，一般可采用旋轉(zhuǎn)變換，將該三角形繞著“共點(diǎn)”的點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使得“等長(zhǎng)”的邊重合.我們這樣利用旋轉(zhuǎn)變換可以解決許多具有一定難度的幾何問(wèn)題.

例1 如圖1，已知P是等邊△A B C 內(nèi) 一 點(diǎn) ，∠A P B＝140°，∠A P C＝130°，求以P A、P B、P C為三邊的三角形的各個(gè)內(nèi)角的度數(shù).

圖1

解析：求解的關(guān)鍵是構(gòu)造以P A、P B、P C為三邊的三角形，而構(gòu)造的關(guān)鍵是對(duì)P A、P B、P C的位置進(jìn)行變換.注意到B A＝B C，∠A B C＝ 60°，故考慮將△BA P繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)60°得△B C Q，此時(shí)P A＝Q C，P B＝Q B，這相當(dāng)于把P A、P B分別變換到Q C、Q B.易知△B P Q是等邊三角形，從而Q B＝P Q，這樣以P A、P B、P C為邊的三角形就是△P Q C.在△P Q C中，∠PQ C＝∠BQ C－60°＝140°－60°＝80°，∠Q PC＝∠B P Q－60°＝（360°－140°－130°）－60°＝30°，∠PC Q＝180°－80°－30°＝70°.

例2 如圖2，P、Q是等腰Rt△A B C斜邊A B上兩點(diǎn)，且∠P C Q＝45°，試判斷以A P、P Q、B Q三條線(xiàn)段長(zhǎng)為邊能否構(gòu)成三角形？如果能，請(qǐng)說(shuō)明這個(gè)三角形的形狀；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖2

解析：欲判斷以A P、P Q、B Q三條線(xiàn)段能否構(gòu)成三角形，由于它的長(zhǎng)不確定，所以應(yīng)通過(guò)變換將它們集中到同一個(gè)三角形中去，再作比較.由于C A＝C B，且它的夾角為90°，因此可把△A C P繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△B C P′，連接P′Q，則C P′＝C P，∠B C P′＝∠A C P，AP＝B P′，∠C B P′＝∠A＝45°，從而∠P′B Q＝90°.下面只須再探索P′Q是否等于P Q？

由 ∠P C Q＝45°，得 ∠A C P＋∠B C Q＝45°，所以∠P′C Q＝45°＝∠P C Q，所以△P′C Q≌△P C Q，所以P′Q＝P Q.

因此，以A P、P Q、B Q三條線(xiàn)段長(zhǎng)可構(gòu)成與Rt△P′B Q一樣的直角三角形.

例3 已知點(diǎn)P是正方形A B C D內(nèi)一點(diǎn)，連接P A、P B、P C.

（1）若 P A＝2，P B＝4，∠A P B＝135°，求P C的長(zhǎng)；

（2）若P A2＋P C2＝2P B2，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)P必在對(duì)角線(xiàn)A C上.

解析：（1）將P A、P B變換到與P C在同一個(gè)三角形中.由于△P A B的邊B A與B C“共點(diǎn)等長(zhǎng)”，所以將△P A B繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△P′B C，連接 P P′（圖 3①），則△B P P′是等腰直角三角形，所以∠B P′P＝45°，P P′＝ 2 B P＝4 2.

又∠B P′C＝∠A P B＝135°，所以∠P P′C＝90°，

（2）欲證點(diǎn)P在A C上，只須證∠A P B＋∠B P C＝180°.將△A B P繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△C B P′，則∠A P B＝∠C P′B，因此只須證∠C P′B＋∠B P C＝180°.連接P P′（如圖3②），則在等腰直角三角形P P′B中，P P′2＝2 P B2，再由已知P A2＋P C2＝2 P B2及P′C＝P A，得P P′2＝P A′＋P′C2，根據(jù)勾股定理逆定理，知∠P C P′＝90°，所以∠C P′B＋∠B P C＝360°－2× 90°＝180°，故A、P、C三點(diǎn)共線(xiàn)，即點(diǎn)P在A C上.

圖3①

圖3②

例4（武漢）如圖4，在四邊形A B C D中，A D＝4，C D＝3，∠A B C＝∠A C B＝∠A D C＝45°，則B D的長(zhǎng)為_(kāi)_____.

分析：由于B D所在的△A B D除了已知邊A D＝4外，并無(wú)其他特殊性，而由∠A B C＝∠A C B＝45°，得∠B A C＝90°，A C＝A B，故將△A B D繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△A C E，則

B D＝C E，A D＝A E，∠D A E＝90°，所以∠AD E＝45°.又∠A D C＝45°，所以∠C D E＝90°.由A D＝4，得D E＝，又C D＝3，所以C E＝＝此即B D的長(zhǎng).

圖4

例5 如圖5，點(diǎn)P為正方形A B C D內(nèi)一點(diǎn)，且∠A P D＝90°，點(diǎn)P到點(diǎn)A及正方形的中心O的距離分別為P A＝4，P O＝求P D的長(zhǎng).

圖5

解析：由O為正方形A B C D的中心，所以△A P O的邊O A等于O B，又O A和O B的夾角為90°，故把△A P O繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△B P′O，連接P P′，則△O P P′為等腰直角三角形，所以∠O P P′＝∠O P′P＝45°.因?yàn)镻 O＝6 2，所以P P′＝12.因?yàn)椤螦 P D＝∠A O D＝90°，則A、D、O、P四點(diǎn)共圓，所以∠O P D＝∠O A D＝45°，所以∠A P P′＝180°，A、P、P′三點(diǎn)共線(xiàn)，所以A P′＝A P＋P P′＝16.又∠P′B O＝∠PA O，所以∠A B P′＋∠B A P′＝∠A B O＋∠B A O＝90°，則∠A P′B＝∠A P D＝90°.又B P′＝A P，AB＝A D，所以△A B P′≌△D A P，所以P D＝P′A＝16.

例6（咸寧）如圖6①，正方形O A B C的邊O A、O C在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－4，4）.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)O同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，規(guī)定點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng).連接B P，過(guò)P點(diǎn)作B P的垂線(xiàn)，與過(guò)點(diǎn)Q平行于y軸的直線(xiàn)l相交于點(diǎn)D.B D與y軸交于點(diǎn)E，連接P E.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）.

圖6①

（1）∠P BD的度數(shù)為_(kāi)____，點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)____（用t表示）；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△P B E為等腰三角形？

（3）探索△P O E周長(zhǎng)是否隨時(shí)間t的變化而變化，若變化，說(shuō)明理由；若不變，試求這個(gè)定值.

解析：（1）欲求∠P B D的度數(shù)，由已知∠B P D＝90°，可判定P B是否等于P D來(lái)解決？從點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)情況可知A P＝O Q，所以P Q＝O A.又四邊形O A B C是正方形，所以O(shè) A＝A B，所以P Q＝A B.因?yàn)锽P⊥P D，所以∠A P B＋∠D P Q＝90°.又∠A P B＋∠A B P＝90，所以∠A B P＝∠D P Q.因?yàn)閘⊥x軸，∠P Q D＝90°＝∠B A P.所以△P A B≌△D Q P，P B＝P D.所以∠P B D＝45°.

欲求點(diǎn)D的坐標(biāo)，需要知道Q O及D Q的長(zhǎng).由于Q O＝P A＝t，所以點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x＝t.因?yàn)椤鱌 A B≌△D Q P，所以D Q＝A P＝t，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為y＝t.故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（t，t）.

（2）欲使△P B E為等腰三角形，由于沒(méi)有具體指定腰或底邊，所以需要對(duì)腰或底邊進(jìn)行分類(lèi)討論.但注意到由△P A B≌△D Q P得P B＝P D，所以顯然有P B≠P E，即等腰△P B E的底邊不能是B E.

下面分兩種情況討論求解：

（Ⅰ）若P B為底邊，即E B＝E P，則∠E P B＝∠E B P＝45°，此時(shí)點(diǎn)P與O點(diǎn)重合，t＝4；

（Ⅱ）若P E為底邊，即B E＝B P，則由“HL”得△P A B≌△E C B，

∴ C E＝P A＝t.

過(guò)D點(diǎn)作D F⊥O C于點(diǎn)F（如圖6②），

則D F＝O F＝t，E F＝4－2 t.

∵ △B C E∽△D F E，

△P B E為等腰三角形.

圖6②

圖6③

（3）欲知△P O E周長(zhǎng)是否隨時(shí)間t的變化而變化？需考慮△P O E三邊的和.由于△B C E的邊B C與B A共點(diǎn)等長(zhǎng)，且?jiàn)A角為90°，故對(duì)△B CE進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，即將△B C E繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△B A H（如圖6③），則B E＝B H，C E＝A H，∠E B H＝90°，

∴ ∠EB P＝45°＝∠P B H，

又B P＝B P，

∴ △P B E≌△P B H，

∴ E P＝P H＝A H＋A P＝C E＋A P.

∴ △P O E的周長(zhǎng)＝O P＋O E＋P E＝O P＋O E＋C E＋AP＝O A＋O C＝4＋4＝8.

所以，△P O E周長(zhǎng)不隨時(shí)間t的變化而變化，其值總是8.