◇ 張齊華

突破，是為了給孩子更大的空間

◇ 張齊華

好的數(shù)學(xué)課堂，無(wú)疑涉及數(shù)學(xué)教學(xué)的方方面面——問(wèn)題的設(shè)置、活動(dòng)的組織、學(xué)生的參與、師生的對(duì)話、思維的碰撞……然而，在諸多要素中，能否設(shè)計(jì)出一個(gè)好的問(wèn)題，一個(gè)有充分思考價(jià)值、適宜探究空間、無(wú)限對(duì)話可能的數(shù)學(xué)問(wèn)題，無(wú)疑是其中的重中之重。下面，筆者以蘇教版教材中的 “解決問(wèn)題的策略——一一列舉”為例，稍作闡釋。

作為蘇教版教材的獨(dú)創(chuàng)性內(nèi)容，“解決問(wèn)題的策略”在收獲無(wú)數(shù)掌聲與肯定的同時(shí)，也曾經(jīng)遭受非議與質(zhì)疑。教材的困境主要在于，既然是解決問(wèn)題的 “策略”，而非“技巧”或“方法”，其對(duì)“數(shù)學(xué)問(wèn)題”本身的復(fù)雜性、綜合性等就有著有別于其他數(shù)學(xué)問(wèn)題的更高要求。否則，“策略”就很難成為學(xué)生自覺(jué)的內(nèi)需，“為策略而策略”自然就成為廣大一線教師質(zhì)疑的主要視角。然而，課程標(biāo)準(zhǔn)又對(duì)教材中數(shù)學(xué)問(wèn)題自身的難易、復(fù)雜程度有著剛性的規(guī)定。于是，在難與易、繁與簡(jiǎn)之間，教材左右為難。我們不妨先來(lái)看一看教材在修訂前后所選擇的兩個(gè)相近卻又略有不同的問(wèn)題情境。

先來(lái)看修訂之前的蘇教版課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材所選擇的情境與題材。

既然要解決“有多少種不同的圍法”，學(xué)生自然需要將所有的圍法都一一列舉出來(lái)。但問(wèn)題是，列舉的“策略”倒是有了，但解決問(wèn)題所需要的“策略”卻不是學(xué)生內(nèi)在的一種自覺(jué)需要，而更像是教材的一種“人為規(guī)定”——你讓我尋找有多少種不同的圍法，我當(dāng)然只能把這些圍法一一列舉出來(lái)。如此一來(lái)，比“解決問(wèn)題的策略”更重要的“運(yùn)用策略的意識(shí)”在這一過(guò)程中就被無(wú)形消解掉了。一線教師在執(zhí)教過(guò)程中的質(zhì)疑，更多便源自于此。

2013年前后，隨著國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂，教材也做了相應(yīng)的調(diào)整。我們可喜地發(fā)現(xiàn)，上述問(wèn)題情境在主體不變的情況下，有了一些細(xì)微的調(diào)整。而調(diào)整的背后，恰恰指向了如何讓學(xué)生自覺(jué)產(chǎn)生“一一列舉”這一解決問(wèn)題策略的內(nèi)在需求。

如果說(shuō)，由“18根”增加為“22根”，數(shù)量的適度增加是為了讓“圍法”更趨于多樣，從而更有利于體現(xiàn)策略的價(jià)值的話，那么，由“有多少種不同的圍法”轉(zhuǎn)變?yōu)椤霸鯓訃娣e最大”，問(wèn)題的最終變更，則更彰顯了教材對(duì)“策略意識(shí)”的關(guān)注?！霸鯓訃娣e最大”一問(wèn)，貌似并沒(méi)有要求我們列舉出“一共有多少種不同的圍法”，但要順利解決這一問(wèn)題，列舉出各種可能性卻是多數(shù)學(xué)生的必由之路。細(xì)微的改變背后，“解決問(wèn)題的策略”由被動(dòng)地要求轉(zhuǎn)化為學(xué)生解決問(wèn)題的主動(dòng)意識(shí)與自覺(jué)選擇。

然而，在實(shí)施教學(xué)時(shí)，新的問(wèn)題又出來(lái)了。一來(lái)，有學(xué)生很快提出：“在周長(zhǎng)不變的情況下，長(zhǎng)與寬的大小越接近，面積越大?！睂W(xué)生經(jīng)驗(yàn)中已有的拓展性內(nèi)容，消解了原本需要“一一列舉”的策略需求。二來(lái)，貌似開(kāi)放的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)空間并不足夠大。至少，在解決這一問(wèn)題時(shí)，凡運(yùn)用“一一列舉”策略的學(xué)生，幾乎都是從“22根木條如何圍成一個(gè)長(zhǎng)方形”這單一的角度切入的，沒(méi)有其他更多的可能。所不同的，也僅在于有些學(xué)生選擇了列表，有些學(xué)生則沒(méi)有；有些學(xué)生做到了有序，而有些學(xué)生沒(méi)有；有些學(xué)生列舉時(shí)出現(xiàn)了重復(fù)或遺漏，而有些學(xué)生沒(méi)有。這些差異，固然構(gòu)成了后續(xù)教學(xué)的重要載體，也使“一一列舉”的意義、價(jià)值、內(nèi)涵得到了豐富。但是，問(wèn)題本身的半封閉性，阻礙了學(xué)生從更多元的視角切入問(wèn)題解決，從而讓原本可以更開(kāi)放、更多元、更豐富的數(shù)學(xué)思維窄化了，這不能不算是題材本身所帶來(lái)的一種遺憾。

正如前面所述，筆者最終在確定問(wèn)題情境時(shí)，在保留話題不變的同時(shí)，將“怎樣圍面積最大”更改為一個(gè)更開(kāi)放的任務(wù)情境 “能否用22根1米長(zhǎng)的木條圍一個(gè)面積是20平方米的長(zhǎng)方形花圃”。無(wú)疑，在問(wèn)題限定的框架下，這是一個(gè)不可能完成的任務(wù)。但是，要想說(shuō)明其不可能，則需要稍費(fèi)周折。眾所周知，面對(duì)這樣的情境，要說(shuō)明“能完成”，只需要列舉出一種符合條件的情形即可；而要說(shuō)明其不可能，則需要將所有滿足條件的情形“一一列舉”出來(lái)，只有一一排除、否定了，我們才能夠說(shuō)明這一任務(wù)是無(wú)法完成的?！耙灰涣信e”便成為學(xué)生完成這一任務(wù)的不二選擇。

更重要的是，這一轉(zhuǎn)變還給學(xué)生的思維留下另一條秘密通道。因?yàn)椋瑸榱苏f(shuō)明不可能，我們不僅可以列舉出“22根1米長(zhǎng)的木條究竟能否圍成一個(gè)面積是20平方米的長(zhǎng)方形花圃”。此外，我們還可以反其道而行之，推斷出：“要圍成一個(gè)面積是20平方米的長(zhǎng)方形花圃，究竟需要多少根1米長(zhǎng)的木條？有多少種可能？有沒(méi)有22根這種可能的存在？”這當(dāng)中，既彰顯了逆向思維本身的價(jià)值，又讓學(xué)生在雙向探究的過(guò)程中，對(duì)“周長(zhǎng)一定時(shí)面積的多樣性”與“面積一定時(shí)周長(zhǎng)的多樣性”等問(wèn)題有了豐富的認(rèn)知。而“一一列舉”的策略在這雙向的過(guò)程中都能夠得到充分的呈現(xiàn)?？梢哉f(shuō)，正是問(wèn)題本身細(xì)微的變化，學(xué)生思維的空間、對(duì)話的豐富性、對(duì)策略感受的深刻性都得到了必要的提升。在筆者看來(lái)，這就是好問(wèn)題所能夠給課堂帶來(lái)的最好福利。

當(dāng)然，新授內(nèi)容如此，練習(xí)內(nèi)容也亦然。綜觀教材和各類教學(xué)資料，筆者選擇的兩個(gè)題材，并不是最有新意與趣味的——一個(gè)涉及投靶、一個(gè)涉及拋硬幣，平淡無(wú)奇。然而，筆者關(guān)心的不是題材本身，而是題材是否蘊(yùn)涵足夠的思維價(jià)值與探究空間。因?yàn)椋@是一道習(xí)題能否算得上“好問(wèn)題”的重要標(biāo)準(zhǔn)。由上面的分析可知，選擇“投靶”作為練習(xí)之一，是看中了學(xué)生在探索過(guò)程中，有可能會(huì)將8+8和10+6看作兩種情況。這可以視作學(xué)生的一種粗心或失誤，但往深處看，這里涉及“一一列舉”策略的另一關(guān)鍵要素：我們?cè)陉P(guān)注列舉過(guò)程中的有序和不遺漏的同時(shí)，也要看到所列舉的情形有沒(méi)有出現(xiàn)重復(fù)。而選擇“拋硬幣”作為最后的練習(xí)，是因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題看似容易，但實(shí)際上布滿陷阱。面對(duì)“一正一反時(shí)，我們究竟該算作兩種情況還是一種情況”這一問(wèn)題，抽象的思辨顯然已經(jīng)無(wú)法幫助我們獲得結(jié)論。此時(shí)，“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”作為解決問(wèn)題的又一策略自然就開(kāi)始介入其中。事實(shí)上，借助最后一個(gè)問(wèn)題，學(xué)生不僅在思辨與實(shí)驗(yàn)過(guò)程中獲得了問(wèn)題的解決，更重要的是，他們?cè)谔剿鬟^(guò)程中逐漸意識(shí)到，在解決較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有時(shí)我們需要調(diào)動(dòng)不同的 “策略”協(xié)同參與其中，這樣才能更有效地解決問(wèn)題。策略有時(shí)不僅僅是單兵作戰(zhàn)的，靈活運(yùn)用不同的策略共同來(lái)解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題，恰恰是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必由之路，我們需要遵循這樣的規(guī)律。

（作者單位：江蘇南京市北京東路小學(xué)）