許　歡

借力課本習(xí)題拓展基本圖形

許歡

蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)第57頁(yè)的練習(xí)3：如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足為E.圖中有哪些三角形與△ABC相似？為什么？

矩形被一條對(duì)角線分得的兩個(gè)三角形全等，而直角三角形斜邊上的高把原直角三角形分成兩個(gè)直角三角形，這兩個(gè)三角形都和原三角形相似.所以圖中△ADC、△ADE、△CDE與△ABC都相似.

上題中出現(xiàn)了一個(gè)基本圖形（見下面圖1）.其實(shí)在研究數(shù)學(xué)問題中，若能捕獲到一些基本圖形，則會(huì)縮短我們的思維路徑，提升解題效率.

圖1

圖2

圖3

在相似三角形的學(xué)習(xí)中出現(xiàn)并整理過多種基本圖形，這里以“垂直型”為例：如圖1“雙垂直共角共邊型”（也稱“射影定理型”）；如圖2“雙垂直共角型”；如圖3“三垂直型”.

在2016年蘇州市中考試卷中就有類似考題能用這些基本圖型來解答.

例1如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（8，0）、（0，23），C是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為D，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為E，連接BP、EC.當(dāng)BP所在直線與EC所在直線第一次垂直時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

圖4

【解析】如圖4，當(dāng)BP所在直線與EC所在直線第一次垂直時(shí)，即BP⊥EC，垂足為點(diǎn)F時(shí)，出現(xiàn)“雙垂直共角共邊型”，得△CPF∽△CEP，另外在BF、DC相交所形成的“8字型”中，有一對(duì)對(duì)頂角相等，一對(duì)直角相等，可得△CPF∽△BPD，進(jìn)而有△CEP∽△BPD，可以列出有關(guān)DP、PE的比例式，再根據(jù)“坐標(biāo)及平行線分線段成比例”即可得答案.求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）.

例2如圖5，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿對(duì)角線BD向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s，過點(diǎn)P作PQ⊥BD交BC于點(diǎn)Q，以PQ為一邊作正方形PQMN，使得點(diǎn)N落在射線PD上，點(diǎn)O從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為3m/s，以O(shè)為圓心，0.8cm為半徑作⊙O，點(diǎn)P與點(diǎn)O同時(shí)出發(fā)，設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s）

圖5

圖6

（1）如圖5，連接DQ，當(dāng)DQ平分∠BDC時(shí)，t的值為；

（2）如圖6，連接CM，若△CMQ是以CQ為底的等腰三角形，求t的值.

【解析】（1）由正方形PQMN，可得QP⊥BD，結(jié)合△BCD，出現(xiàn)“雙垂直共角型”，可得△BPQ∽△BCD，從而求出PQ、BQ，再根據(jù)角平分線性質(zhì)定理可得PQ=CQ.

（2）作ME⊥BC于點(diǎn)E（如圖6）.

△QEM和△BPQ之間出現(xiàn)類似“三垂直型”，即△QEM∽△BPQ，進(jìn)而可得△QEM∽△BCD，再結(jié)合等腰三角形“三線合一”性質(zhì)，即可得到答案.

掌握一些相似三角形的基本圖形，將它們與其他知識(shí)點(diǎn)充分結(jié)合，透過外形看清本質(zhì)，一定能夠快速地獲取解決此類問題的思路與方法.

（作者單位：江蘇省常熟市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

挑戰(zhàn)壓軸題

（本題由江蘇省常熟市孝友中學(xué)朱明芬提供）