季葉紅

線上三等角筆下尋相似——對一道課本例題的拓展探究

季葉紅

蘇科版《數(shù)學(xué)》九（下）第56頁例3：

已知，如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在BC、AB上，且∠BDE=∠CAD.△ADE與△ABD相似嗎？為什么？

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠C，由三角形的外角性質(zhì)和已知條件得出∠ADE=∠C，因此∠B=∠ADE，∠DAE=∠BAD，即可得出△ADE∽△ABD.

解：△ADE與△ABD相似.

∵∠ADB=∠C+∠CAD=∠BDE+∠ADE，

∠BDE=∠CAD，

∴∠ADE=∠C.

又∵AB=AC，∴∠B=∠C.

∴∠ADE=∠B.

∵∠DAE=∠BAD，

∴△ADE∽△ABD（兩角分別相等的兩個三角形相似）.

上述例題中，可知點(diǎn)B、D、C在同一直線上，且滿足∠B=∠ADE=∠C，這樣一個基本圖形，我們稱之為“K型圖”，得△ACD∽△DBE.翻看全國各地中考數(shù)學(xué)試卷，以“K型圖”為載體的中考試題頻頻出現(xiàn)，精彩紛呈.現(xiàn)歸納幾種常見模型，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考.

模型一

如圖1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B=∠D=∠ACE=90°，點(diǎn)B、C、D在同一直線上，則△ABC∽△CDE.

圖1

【分析】由∠BCE是△CDE外角，可知∠ACB+∠ACE=∠D+∠E，故可知∠ACB=∠E，根據(jù)兩角分別相等的兩個三角形相似，可知△ABC∽△CDE.

（1）直接應(yīng)用：

如圖2，正方形ABCD的邊長為1cm，M、N分別是BC、CD上兩個動點(diǎn)，且始終保持AM⊥MN.當(dāng)BM=______cm時，四邊形ABCN的面積最大.

圖2

【分析】利用模型一，易證△ABM∽△MCN.

設(shè)BM=x，則CM=1-x，由相似三角形對應(yīng)線段成比例得CN=x-x2，所以S四邊形ABCN=x-x2），配方可得，當(dāng)BM=時，面積最大.

（2）構(gòu)造應(yīng)用：

很多時候，題目中的圖形并不是模型一直接出現(xiàn)的，但符合“K型圖”特征，那么我們需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造出模型一中的基本圖形.

圖3

【分析】通過添加輔助線，構(gòu)造模型一中的基本圖形，易證△ACO∽△ODB，由相似圖形的面積比等于相似比的平方，得

模型二

如圖4，已知點(diǎn)B、C、D在同一直線上，且∠B=∠1=∠D，則△ABC∽△CDE，證明方法與相似模型一相同.

圖4

直接應(yīng)用：

如圖5，△ABC中，AB=AC=10，點(diǎn)D是邊BC上一動點(diǎn)（不與B，C重合），∠ADE=∠B=α， DE交AC于點(diǎn)E，且cosα=.下列結(jié)論：

圖5

①△ADE∽△ACD；②當(dāng)BD=6時，△ABD與△DCE全等；③△DCE為直角三角形時，BD為8或；④0＜CE≤6.4.其中正確的結(jié)論

是________ .（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）

【解析】利用模型二，易證△ABD∽△DCE，故可知正確答案為①②③④.

上述兩種基本模型，可以簡單歸納為：一線三等角，相似兩三角（形）.實際解題時，若能把握圖形本質(zhì)，排除圖形干擾，在復(fù)雜的圖形中構(gòu)造出“K型圖”，寫出圖中的一對相似三角形，然后根據(jù)相似三角形的有關(guān)性質(zhì)列出所需的比例式，則能化難為易，快速解題.

（作者單位：江蘇省常熟市實驗中學(xué)）

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