陳秀琴，熊文真，李鈞濤

(1.信陽職業(yè)技術學院 數(shù)學與計算機科學學院，河南 信陽 464000；2.河南師范大學 數(shù)學與信息科學學院，河南 新鄉(xiāng) 453007)

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基于非線性狀態(tài)觀測器的不確定混沌系統(tǒng)同步

陳秀琴1，熊文真1，李鈞濤2

(1.信陽職業(yè)技術學院 數(shù)學與計算機科學學院，河南 信陽 464000；2.河南師范大學 數(shù)學與信息科學學院，河南 新鄉(xiāng) 453007)

針對一類含有不確定因素的混沌系統(tǒng)的同步問題，設計了一個帶有非線性觀測器的控制器.當非線性項滿足一定條件時，可實現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步，而且控制器存在的充分條件是以一個線性矩陣不等式(LMI)的形式給出，可以通過求解一個線性矩陣不等式獲得控制器的實際方法.最后通過對蔡氏電路的分析和數(shù)值模擬研究，驗證了所提方法的有效性.

混沌系統(tǒng)；混沌同步；觀測器；LMI方法

0 引言

自從Pecora[1]821-824和Carrol于20世紀90年代初首先提出用PC方法實現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步后， 混沌系統(tǒng)的同步控制曾一度被認為是控制界的難點. 同時混沌系統(tǒng)的同步也已經(jīng)引起了學者的廣泛關注，并隨之出現(xiàn)了許多混沌同步方法[2]365-370，[3]751-758，[4]207-213，[5]49-52.

觀測器方法是一種較為理想的方法[6]22-24，[7]72-76，[8]35-42，它易于工程實現(xiàn)，且不許要計算Lyapunov指數(shù). 但對于狀態(tài)不能全部測量且含有不確定因素的混沌系統(tǒng)的同步問題，還缺少有效的方法，比如文獻[8]通過設計一個非線性狀態(tài)觀測器的方法來實現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步，但存在兩個缺點:1) 要求系統(tǒng)所有狀態(tài)變量均有界，而在系統(tǒng)未實現(xiàn)同步前是不能假設觀測器狀態(tài)有界的;2) 取u=-k0tanh(Γε)，雖然能實現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步且有較快的同步速度，但是當所需控制能量很大時，很難正確估計k0的大小.基于上述討論本文在文獻[8]的基礎上進行了改進，利用線性矩陣不等式(LMI)方法給出了混沌系統(tǒng)同步的充分條件和控制器設計方法，所得到的控制器簡單，且易于實現(xiàn)， 最后通過仿真驗證了本文方法的有效性.

1 問題的描述

考慮如下一類混沌系統(tǒng)：

(1)

式中，x(t)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)，y(t)∈Rp為系統(tǒng)輸出，A∈Rn×n，C∈Rp×n是常數(shù)矩陣，g(x(t),t):Rn×R→Rn且g∈C1.

對式(1)作如下假設:

(ⅰ) (A,C)可觀測的;

(ⅱ) 系統(tǒng)的非線性項滿足Lipschitz條件

其中γ是已知正常數(shù).

為實現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步，設計上式的觀測器為:

(2)

定義同步誤差信號為:

(3)

由(1)和(2)式可得誤差系統(tǒng)：

(4)

于是， (1)(2)式的同步控制問題，可以轉化為誤差式(4)的穩(wěn)定性問題研究，即選擇合適的控制器u(t)使

(5)

引理[9]317-324對任意四維向量ξ，ζ和任意常數(shù)h>0，下式成立.

2 基于狀態(tài)觀測器的反饋控制器的設計

構造控制器為：

(6)

其中：K∈Rm×n為待定的增益矩陣，此時誤差式(4)可寫成:

(7)

定理 針對驅動—響應式(1)和(2)， 如果下面的線性矩陣不等式：

(8)

其中，

Ω=AX+XAT+BY+YBT-Q-QT+I

存在正定對稱矩陣X，Y和矩陣Q.則所設計的式(6)對任意初始條件e(0)都能實現(xiàn)式(1)和(2)漸近同步，而且K=YX-1.

證明:考慮在式(6)作用下的同步誤差式(7)，顯然e(t)=0是平衡點.選取如下形式的Lyapunov函數(shù)：

(9)

其中：P為對稱正定矩陣，則沿著同步式(7)的正半軌跡求導：

(10)

根據(jù)引理1及假設(ⅱ)有：

(11)

把(11)式代入到(10)式得：

(12)

顯然，若：

(13)

根據(jù)Schur補性質[9]437-442， (13)式等價于:

(14)

在式(14)左右兩邊同乘diag(P-1,I),并記X=P-1,Y=KX,LCX=Q.這樣式(14)等價于(9)式，即定理證畢.

3 仿真示例

為了驗證上述結論，以下給出蔡氏電路同步的計算機模擬結果.所得模擬仿真結果中的初值是隨機選取的.

描述蔡氏電路的方程為：

(15)

其中：

當α=10,β=14.87,a=-1.27,b=-0.68時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，顯然C=(1,1,0),容易驗證C和A滿足可觀性條件.

設計如下響應混沌系統(tǒng)：

其中：

對于給定參數(shù)，根據(jù)定理1得到如下結果：

圖1 蔡氏電路同步誤差變化曲線

4 結語

本文討論了混沌系統(tǒng)同步問題，基于驅動-響應同步法和線性矩陣不等式(LMI)技術給出了實現(xiàn)混沌同步的充分條件，并給出了通過求解線性矩陣不等式的方法來設計控制器的增益，最后的仿真結果也證明了本文所提方法的正確性.

[1] Pecora L. M，Carroll T. L.Synchronization in chaotic systems[J].Phys Rev Lett,1990，64(08).

[2] Lu J A，Wu X Q，Lü J H.Synchronization of a unified chaotic system and the application in secure communication [J].Physics Letters A，2002，305(06).

[3] Chen S H，Yang Q，Wang C P.Impulsive control and synchronization of unified chaotic system [J].Chaos Solitons and Fractals， 2004，20(04).[4] 孫克輝，陳志盛，張?zhí)┥?統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的自適應控制同步[J].控制與決策，2005，20(02).

[5] 陳秀琴，沈志萍，李文林.具有噪聲擾動的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的同步控制[J].電光與控制，2008，15(08).

[6] 陳從顏，宋文忠.基于非線性觀測器設計的混沌同步控制[J].控制與決策，2005，20(05).

[7] 鄭文娜，欒紅霞，呂 晶，等.狀態(tài)觀測器法實現(xiàn)改進的超混沌Lü系統(tǒng)同步[J].東北師大學報(自然科學版)，2012，44(01).

[8] 姚利娜，高金峰，廖旎煥.實現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步的非線性狀態(tài)觀測器方法[J].物理學報,2006，55(01).

[9] 俞 立.魯棒控制線性矩陣不等式方法[M].北京：清華大學出版社，2002

[責任編輯 梧桐雨]

Synchronization of Uncertain Chaotic Systems Based on Nonlinear State Observer

CHEN Xiuqin1， XIONG Wenzhen1， LI Juntao2

(1.CollegeofMathematicsandComputerScience，XinyangVocationalandTechnicalCollege，Xinyang464000，China；2.CollegeofMathematicsandInformationScience，HenanNormalUniversity，Xinxiang453007，China)

For a class of chaotic systems with uncertainties in which all state variables are not measured，the synchronization problem based on nonlinear observer with a controller is investigated. Assuming the nonlinear variable satisfies some condition，the controller designed will synchronize with the drive system. The existence of the controller is given in terms of a LMI，and the design of the controller is obtained by solving the LMI. Finally，analysis of the synchronization system and numerical simulation are presented to show that the method proposed is effective.

chaotic system； chaos synchronization； observer； LMI approach

2016-06-11

國家自然科學基金“基于自適應支持向量機的微陣列分類與群體基因選擇研究”(項目編號：61203293)；河南省重點科技攻關計劃(項目編號：122102210131)

陳秀琴(1981- )，女，河南信陽人，信陽職業(yè)技術學院講師，碩士，主要從事計算數(shù)學研究。

1671-8127(2016)05-0008-03

O415.5; TP273

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