胡小為，劉宏申，徐國(guó)雄，阮 越，劉 恒，潘 祥

(安徽工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，安徽馬鞍山243032)

一種結(jié)合GVF和CV模型的水平集圖像分割方法

胡小為，劉宏申，徐國(guó)雄，阮 越，劉 恒，潘 祥

(安徽工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，安徽馬鞍山243032)

由于CV(Chan-Vese)模型是一個(gè)非凸性泛函，對(duì)該泛函求極值只能得到局部最優(yōu)解，運(yùn)用該模型進(jìn)行圖像分割時(shí)，很難在全局范圍內(nèi)得到理想的結(jié)果。鑒于此，提出一種結(jié)合梯度矢量流(gradient vector flow,GVF)和CV模型的水平集圖像分割方法。該方法通過(guò)GVF將邊緣梯度信息擴(kuò)散至整幅圖像，在保留CV模型基本優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，融入GVF的全局性梯度信息，從而引導(dǎo)CV模型在全局范圍內(nèi)演化至準(zhǔn)確的目標(biāo)邊緣。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法的分割效果和收斂速度均明顯優(yōu)于傳統(tǒng)CV模型。

圖像分割；水平集方法；CV模型；梯度矢量流

近20年以來(lái)，基于曲線演化理論和偏微分方程圖像分割方法取得了一系列的研究成果[1-4]，尤其是結(jié)合Osher等[5]于1988年提出的水平集算法，為此類分割方法提供了有效的數(shù)值解方法。CV模型是一種利用水平集算法進(jìn)行數(shù)值解的圖像分割模型，由于其可以有效分割含噪聲和弱邊緣圖像，受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。

MS模型是Mumford等[6]提出的一種基于區(qū)域信息的分段光滑分割模型。該模型將圖像分割和目標(biāo)平滑結(jié)合在一起，是一種較為理想的分割模型，但是該模型的數(shù)值解計(jì)算復(fù)雜。針對(duì)該問(wèn)題，Chan等[7]提出一種基于精簡(jiǎn)MS模型的分段常數(shù)分割模型，即CV模型。CV模型對(duì)圖像進(jìn)行二相位分割，分割過(guò)程中對(duì)目標(biāo)和背景的灰度值進(jìn)行常數(shù)項(xiàng)擬合，由于完全不依賴于圖像的邊緣梯度信息，該模型對(duì)含噪聲和弱邊緣圖像具有較好的分割效果，并且在數(shù)值解過(guò)程中引入了水平集算法，使得該模型的數(shù)值解計(jì)算方便。但是在實(shí)際應(yīng)用中，CV模型也有其自身的缺陷，主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：(1)該模型把圖像分為目標(biāo)和背景兩個(gè)區(qū)域，并進(jìn)行常數(shù)項(xiàng)擬合，得到二相位的分段常數(shù)圖像，因而不能直接分割多相圖像，該問(wèn)題已有學(xué)者提出了一系列有效的解決方案[8-11]；(2)由于CV模型是一個(gè)非凸性泛函，因此很難得到該泛函的全局最優(yōu)解。針對(duì)這類問(wèn)題，文獻(xiàn)[12]中提出將ROF(Rudin-Osher-Fatemi)去噪模型和CV模型結(jié)合起來(lái)，并對(duì)能量泛函中的非凸特征函數(shù)進(jìn)行擴(kuò)展，由于ROF是全局凸模型，使得原本的非凸泛函極小化問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橥狗汉臉O小化問(wèn)題，該方法的缺點(diǎn)是分割結(jié)果嚴(yán)重依賴初始條件的設(shè)定；文獻(xiàn)[13]中提出利用K-means算法在每一次迭代過(guò)程中計(jì)算輪廓的內(nèi)部和外部，利用全局性聚類結(jié)果不斷對(duì)CV模型的分割結(jié)果進(jìn)行修正；但是文獻(xiàn)[13]中也指出該方法只是優(yōu)化了CV模型的分割結(jié)果，并不能保證每一次得到全局性的分割結(jié)果。

針對(duì)CV模型的第2個(gè)缺陷，本文提出一種結(jié)合GVF和CV模型的水平集圖像分割模型，首先利用GVF將局部的邊緣梯度擴(kuò)散為全局的梯度矢量場(chǎng)，然后將該全局梯度信息和傳統(tǒng)CV模型結(jié)合起來(lái)，并納入能量泛函，從而引導(dǎo)CV模型進(jìn)行全局性的演化。由于添加了全局梯度信息，使得水平集函數(shù)的演化速度大大提高，從而有效減少CV模型的收斂時(shí)間和迭代次數(shù)。

1 CV模型的原理及分析

設(shè)Ω為待分割圖像區(qū)域，u0(x,y)為原始圖像(x,y)處的灰度值，C為自定義的活動(dòng)輪廓曲線，Ω1為曲線內(nèi)部區(qū)域，Ω2為曲線外部區(qū)域，c1為曲線內(nèi)部像素灰度的平均值，c2為曲線外部像素灰度的平均值，CV模型定義為如下泛函

其中：μ為控制長(zhǎng)度項(xiàng)的權(quán)重系數(shù)；ν為控制面積項(xiàng)的權(quán)重系數(shù)；λ1和λ2為控制輪廓內(nèi)部和外部灰度擬合項(xiàng)的權(quán)重系數(shù)。該泛函的第1項(xiàng)為長(zhǎng)度項(xiàng)，L(C)表示活動(dòng)輪廓的長(zhǎng)度，要求活動(dòng)輪廓C的長(zhǎng)度盡可能短；第2項(xiàng)為面積項(xiàng)，S(C)表示活動(dòng)輪廓的內(nèi)部面積，要求活動(dòng)輪廓C的內(nèi)部面積盡可能小。第1項(xiàng)和第2項(xiàng)的作用是使活動(dòng)輪廓C盡可能收縮且平滑；第3項(xiàng)和第4項(xiàng)為輪廓內(nèi)部和外部的灰度擬合項(xiàng)，要求分割結(jié)果為分段常數(shù)圖像且該分段常數(shù)圖像與源圖像盡可能相似。通過(guò)求該泛函的極小解，即可得到滿足該泛函條件的最終活動(dòng)輪廓C，再對(duì)C的內(nèi)部和外部求像素平均值，就可以得到與原圖像對(duì)應(yīng)的分段常數(shù)圖像，即CV模型的分割結(jié)果。

水平集是一種隱式表達(dá)曲線演化問(wèn)題的數(shù)值解方法[5]，其基本原理是將演化曲線表達(dá)為水平集函數(shù)的零水平集，從而實(shí)現(xiàn)由低維平面的曲線演化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為高維空間的曲面演化問(wèn)題。與曲線演化相比，水平集演化可以很自然地表達(dá)曲線在演化過(guò)程中的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化。先定義Heaviside函數(shù)H(z)及其Dirac測(cè)度δ(z)

利用該Heaviside函數(shù)及其Dirac測(cè)度可以將能量泛函(1)改寫(xiě)為以水平集函數(shù)φ表示的形式

其中：Ω為圖像區(qū)域；?為梯度運(yùn)算符。將Heaviside函數(shù)及其Dirac測(cè)度正則化為

引入時(shí)間變量t并利用變分法可以得到式(3)的梯度下降流為

其中div為散度運(yùn)算符。利用有限差分法可對(duì)式(5)進(jìn)行離散化并求其數(shù)值解。

針對(duì)CV模型分割結(jié)果嚴(yán)重依賴初始活動(dòng)輪廓位置的問(wèn)題，李俊等在文獻(xiàn)[14]中提出將式(5)中的δε(φ)替換成|?φ(x,y)|，從而其梯度下降流變?yōu)?/p>

這一替換在一定程度上提高了水平集函數(shù)的演化速度和迭代步長(zhǎng)，擴(kuò)大了活動(dòng)輪廓的“捕獲”范圍，但實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，這種優(yōu)化并非是全局性的，如果目標(biāo)邊緣與活動(dòng)輪廓距離過(guò)遠(yuǎn)，則該方法并不能進(jìn)行有效的全局分割(圖2(c))。

2 CV模型的改進(jìn)

從曲線演化的角度看，傳統(tǒng)CV模型不能進(jìn)行全局性分割的原因在于模型本身缺少表示全局信息的變量，每一次演化過(guò)程都局限于局部范圍。梯度矢量流[15](gradient vector flow，GVF)是一種對(duì)目標(biāo)邊緣梯度進(jìn)行全局?jǐn)U散而產(chǎn)生的靜態(tài)矢量場(chǎng)，它的分布僅依賴于原始圖像目標(biāo)邊緣，而與曲線演化過(guò)程中的其他變量無(wú)關(guān)，可用于解決參數(shù)活動(dòng)輪廓模型無(wú)法收斂至深度凹陷邊緣的問(wèn)題。

2.1 梯度矢量流

為了得到GVF，通過(guò)式(7)對(duì)原始圖像u0(x,y)進(jìn)行邊緣映射，得邊緣映射圖像f(x,y)

其中：Gσ(x,y)是標(biāo)準(zhǔn)差為σ的二維高斯函數(shù)；?為卷積運(yùn)算符。設(shè)梯度矢量流V(x,y)=[m(x,y),n(x,y)]，其能量泛函為

其中η為規(guī)則化參數(shù)，η值根據(jù)圖像中噪聲強(qiáng)弱選擇，噪聲強(qiáng)烈增加η值，反之則減少η值?？梢钥闯?，在圖像的勻質(zhì)區(qū)域(|?f|值較小)，該能量泛函的值主要由第1項(xiàng)決定，產(chǎn)生的擴(kuò)散矢量場(chǎng)變化緩慢。在目標(biāo)邊緣處(|?f|值較大)，該能量泛函的值主要由第2項(xiàng)決定，梯度矢量流V(x,y)=?f，利用變分法，求得該泛函的Euler-Lagrange方程組

其中?2為拉普拉斯算子。最后利用有限差分法對(duì)式(9)進(jìn)行離散化，得到數(shù)值解，具體過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn)[15]。

2.2 結(jié)合GVF的改進(jìn)CV模型

針對(duì)傳統(tǒng)CV模型存在的局部最優(yōu)解問(wèn)題，結(jié)合GVF的全局性信息，本文提出一種改進(jìn)的CV模型

此式在式(1)的基礎(chǔ)上添加最后一項(xiàng)，前4項(xiàng)的作用與式(1)中相同。其中：，V(x,y)為圖像的梯度矢量流；γ為梯度吸引項(xiàng)的權(quán)重系數(shù)。添加項(xiàng)為邊緣梯度吸引項(xiàng)，利用GVF將邊緣梯度信息擴(kuò)散至全局范圍，其主要作用是引導(dǎo)活動(dòng)輪廓收斂至邊緣梯度值最大處，即目標(biāo)邊緣。在圖像的非目標(biāo)邊緣區(qū)域，|V(x,y)|值較小，函數(shù)項(xiàng)g值較大；在圖像的目標(biāo)邊緣，|V(x,y)|值較大，函數(shù)項(xiàng)g值較小。運(yùn)用該模型進(jìn)行圖像分割時(shí)，收斂過(guò)程朝著泛函極小值的方向進(jìn)行，最終停留在g值較小(|V(x,y)|值較大)的目標(biāo)邊緣處，由于該邊緣梯度信息是全局性的，所以厚壁內(nèi)部邊緣、距離活動(dòng)輪廓較遠(yuǎn)的目標(biāo)邊緣均可對(duì)活動(dòng)輪廓的演化產(chǎn)生吸引作用，從而引導(dǎo)活動(dòng)輪廓收斂至全局最優(yōu)解。

同樣對(duì)式(10)采用變分水平集方法引入水平集函數(shù)φ和時(shí)間變量t，利用變分法得到梯度下降流

2.3 改進(jìn)模型的數(shù)值解

能量泛函的梯度下降流本質(zhì)是一個(gè)偏微分方程，求其解析解十分困難，因此本文利用有限差分法來(lái)離散化能量泛函的梯度下降流，求其數(shù)值解?？梢杂秒x散網(wǎng)格來(lái)表達(dá)水平集函數(shù)φ(x,y,t)，設(shè)h為離散網(wǎng)格的空間間隔，Δt為迭代的時(shí)間間隔，則在n時(shí)刻，網(wǎng)格點(diǎn)(i,j)處的水平集函數(shù)。將初始水平集函數(shù)φ定義為活動(dòng)輪廓C的符號(hào)距離函數(shù)(signed distance function，SDF)，即φ(x,y,t=0)=d(x,y)，其中d(x,y)表示圖像中點(diǎn)(x,y)到活動(dòng)輪廓C的符號(hào)距離，在C內(nèi)部取正值，在C外部取負(fù)值，在C上取零值。記差分：

根據(jù)文獻(xiàn)[16-18]，為了避免水平集函數(shù)的重新初始化和保持水平集函數(shù)的穩(wěn)定性，選用有限差分半隱式方案進(jìn)行偏微分方程的數(shù)值化計(jì)算，得離散化的迭代式(12)。

初始化水平集函數(shù)φ和參數(shù) μ，ν，λ1，λ2，γ，Δt及h，對(duì)上式進(jìn)行迭代計(jì)算直至分割結(jié)果趨于穩(wěn)定，此時(shí)的活動(dòng)輪廓C={(x,y)|φ(x,y,t)=0}即為最終的目標(biāo)輪廓。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證上述改進(jìn)模型的可行性和有效性，通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)本文改進(jìn)模型(記作GVF-CV)與傳統(tǒng)CV模型及李俊改進(jìn)的CV模型(記作Li-CV)在收斂時(shí)間、迭代次數(shù)以及收斂結(jié)果3個(gè)方面進(jìn)行比較。實(shí)驗(yàn)在CPU為Core 2.13 GHz、內(nèi)存為2G的硬件平臺(tái)上利用VC++6.0編程實(shí)現(xiàn)，參數(shù)取 μ=0.2，ν=0.2，λ1=λ2=1，γ=0.2，Δt=0.1，h=1。以3組具有代表性的實(shí)驗(yàn)來(lái)分析3種模型的性能。

實(shí)驗(yàn)1針對(duì)含噪聲厚壁環(huán)狀圖像，分割結(jié)果如圖1。圖1中，初始輪廓在目標(biāo)外圍。使用傳統(tǒng)CV模型無(wú)法分割出厚壁內(nèi)部邊緣，Li-CV模型和GVF-CV模型均可實(shí)現(xiàn)有效分割，但是GVF-CV模型在收斂時(shí)間和迭代次數(shù)2個(gè)方面要優(yōu)于Li-CV模型，見(jiàn)表1。

圖1 含噪聲厚壁環(huán)狀圖像分割結(jié)果Fig.1 Segmentation results of thick walled ring image with noise

實(shí)驗(yàn)2針對(duì)含噪聲多目標(biāo)圖像，分割結(jié)果如圖2。圖2中，初始輪廓包含部分目標(biāo)。使用傳統(tǒng)CV模型和Li-CV模型均只能分割部分目標(biāo)，而使用GVF-CV模型可以實(shí)現(xiàn)有效的全局分割，且收斂時(shí)間和迭代次數(shù)均優(yōu)于傳統(tǒng)CV模型和Li-CV模型，見(jiàn)表1。

圖2 含噪聲多目標(biāo)圖像分割結(jié)果Fig.2 Segmentation results of multi-target image with noise

實(shí)驗(yàn)3針對(duì)無(wú)噪聲多目標(biāo)圖像，分割結(jié)果如圖3。圖3中，初始輪廓在兩個(gè)目標(biāo)之間。由于初始輪廓距離內(nèi)部目標(biāo)較遠(yuǎn)，傳統(tǒng)CV模型和Li-CV模型均只能分割外部目標(biāo)，而使用GVF-CV模型分割的結(jié)果要優(yōu)于傳統(tǒng)CV模型和Li-CV模型，見(jiàn)表1。

圖3 無(wú)噪聲多目標(biāo)圖像分割結(jié)果Fig.3 Segmentation results of multi-target image without noise

由圖1～3可以看出，模型的改進(jìn)對(duì)不同狀況圖像分割結(jié)果均有明顯改善。從表1中可以看出，本文的GVF-CV模型的收斂時(shí)間、迭代次數(shù)以及收斂結(jié)果均優(yōu)于傳統(tǒng)CV模型和Li-CV模型。

表1 3種模型的性能比較Tab.1 Performance comparison of three models

4 結(jié) 語(yǔ)

傳統(tǒng)CV模型是非凸性泛函，其數(shù)值解難以在全局范圍內(nèi)收斂至最優(yōu)。針對(duì)這個(gè)缺陷，本文將GVF和傳統(tǒng)CV模型結(jié)合起來(lái)，利用GVF將局部邊緣梯度信息擴(kuò)散至全局區(qū)域，并在CV模型中添加邊緣梯度吸引項(xiàng)，從而引導(dǎo)活動(dòng)輪廓收斂至正確的目標(biāo)邊緣。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文方法在收斂速度、迭代次數(shù)及分割效果等方面均明顯優(yōu)于傳統(tǒng)CV模型分割方法，其保留了傳統(tǒng)CV模型可以有效分割含噪聲圖像的優(yōu)點(diǎn)，且提高了對(duì)多目標(biāo)圖像的分割能力。本文改進(jìn)CV模型的不足之處在于：如果圖像噪聲過(guò)于強(qiáng)烈且目標(biāo)邊緣過(guò)于虛弱，則會(huì)影響GVF的分布，從而降低該模型的分割效果。這是后續(xù)工作將要研究解決的一個(gè)問(wèn)題。

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責(zé)任編輯：丁吉海

ALevel Set Image Segmentation Method Combined with GVF and CV Model

HU Xiaowei,LIU Hongshen,XU Guoxiong,RUAN Yue,LIU Heng,PAN Xiang
(School of Computer Science and Technology,Anhui University of Technology,Ma'anshan 243032,China)

Owning to the non-convex functional of with the Chan-Vese(CV)model,one can only obtain a local optimal solution.It is difficult to achieve an ideal result for image segmentation in the global range.Therefore a new level set based image segmentation method that combining CV model and gradient vector flow(GVF)was proposed.The edge gradient information is spreaded to the entire image with GVF,which guides the evolution of CV model to the correcttarget edge in the global range and retains the basic advantages of CV model.The experimental results indicate that the present method are obviously better than the traditional CV model.

image segmentation;level set method;CV model;gradient vector flow

TP 391.41

A

10.3969/j.issn.1671-7872.2016.03.017

2015-11-10

安徽省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(1308085QF113)

胡小為(1989-)，男，安徽安慶人，碩士生，研究方向?yàn)閳D像處理。

劉宏申(1962-)，男，安徽宣城人，教授，研究方向?yàn)閳D像處理與模式識(shí)別。

1671-7872(2016)03-0289-06