牛 義,劉權(quán)利,常永樂,杜歡歡,聞邦椿

(1.東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng) 110819;2.新松機(jī)器人自動(dòng)化股份有限公司,遼寧 沈陽(yáng) 110819)

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基于Ritz法的纖維增強(qiáng)復(fù)合薄板阻尼分析與預(yù)測(cè)

牛 義1,劉權(quán)利2,常永樂1,杜歡歡1,聞邦椿1

(1.東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng) 110819;2.新松機(jī)器人自動(dòng)化股份有限公司,遼寧 沈陽(yáng) 110819)

基于Ritz法,考慮了纖維方向及激勵(lì)頻率的影響,對(duì)纖維增強(qiáng)復(fù)合材料構(gòu)成的薄板結(jié)構(gòu)的非線性阻尼參數(shù)進(jìn)行了分析與預(yù)測(cè).分別推導(dǎo)了纖維增強(qiáng)復(fù)合薄板總的應(yīng)變能與耗散能的表達(dá)式,明確了采用Ritz法獲得該結(jié)構(gòu)系統(tǒng)阻尼參數(shù)的原理;編寫了MATLAB程序,并提出了預(yù)測(cè)纖維增強(qiáng)復(fù)合薄板非線性阻尼參數(shù)的流程;以玻璃纖維/樹脂復(fù)合薄板為例,在不同的纖維方向和激振頻率下,對(duì)其非線性阻尼參數(shù)進(jìn)行分析與預(yù)測(cè),并與測(cè)試獲得的阻尼結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比,驗(yàn)證了該分析方法的正確性.

Ritz法; 非線性阻尼; 纖維增強(qiáng)復(fù)合薄板; 阻尼分析

纖維增強(qiáng)復(fù)合材料是由纖維與基體材料構(gòu)成的先進(jìn)復(fù)合材料,具有重量輕、比強(qiáng)度高、比模量大、抗振性能好、性能可設(shè)計(jì)性強(qiáng)等許多優(yōu)點(diǎn).隨著其在航空、航天、船舶、汽車等領(lǐng)域的逐步推廣與使用,其動(dòng)態(tài)性能越來越受到人們的關(guān)注.阻尼參數(shù)是該類型復(fù)合材料及其結(jié)構(gòu)件動(dòng)態(tài)性能中的一個(gè)關(guān)鍵指標(biāo),是復(fù)合材料結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模、響應(yīng)預(yù)估和優(yōu)化設(shè)計(jì)等環(huán)節(jié)中,必須準(zhǔn)確輸入的參數(shù).但與傳統(tǒng)材料的阻尼機(jī)理不同,纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的阻尼參數(shù)呈非線性特點(diǎn),與纖維取向、纖維/基體的界面條件、外界激振頻率、模態(tài)振型等密切相關(guān),同時(shí)還與結(jié)構(gòu)變形、邊界條件、環(huán)境溫度等因素有關(guān).到目前為止,學(xué)術(shù)及工程界尚未建立一種完備而有效的非線性阻尼特性分析與預(yù)測(cè)方法，因此關(guān)于阻尼特性的研究還應(yīng)進(jìn)一步深入.

目前人們正嘗試從纖維與基體相互作用的微觀結(jié)構(gòu)、材料的非線性本構(gòu)方程、非線性幾何方程等方面著手,研究該類型結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的阻尼耗能機(jī)理以及分析方法.在建立微觀模型方面,ABOUDI[1]根據(jù)體元近似理論,提出了含有4個(gè)子細(xì)胞的單胞微觀模型,并利用該模型獲得了硼纖維/樹脂、玻璃纖維/樹脂和石墨纖維/樹脂復(fù)合材料的非線性應(yīng)力-應(yīng)變曲線.KALISKE等[2]也建立了由一個(gè)纖維單元和三個(gè)基體單元組成的單胞微觀模型,并分析了纖維增強(qiáng)薄板的阻尼特性.在建立宏觀模型方面,ADAMS等[3]在1975年首先提出了單向纖維增強(qiáng)復(fù)合材料阻尼的宏觀力學(xué)模型,后來稱之為Adams-Bacon阻尼準(zhǔn)則.該準(zhǔn)則認(rèn)為在一個(gè)單向薄層中所損耗的能量是薄層內(nèi)徑向拉伸、橫向拉伸和剪切應(yīng)力各自獨(dú)立耗能的總和.因此,復(fù)合材料阻尼能力就可定義為損耗能量與儲(chǔ)存的應(yīng)變能的比率.NI等[4]通過考慮對(duì)稱鋪設(shè)的復(fù)合梁結(jié)構(gòu)的正應(yīng)力、正應(yīng)變、剪應(yīng)變以及彎扭耦合的影響,對(duì)Adams-Bacon阻尼準(zhǔn)則進(jìn)行了改進(jìn),將復(fù)合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的非線性阻尼參數(shù)視為纖維材料方向角的函數(shù),提高了阻尼參數(shù)的預(yù)測(cè)精度.YIM[5]基于彈性-黏彈性經(jīng)典層合板理論,在不同的纖維材料方向角下對(duì)該類型復(fù)合梁結(jié)構(gòu)的阻尼進(jìn)行了分析.BERTHELOT[6]考慮了剪切變形的影響,基于有限元法獲得了單向纖維鋪設(shè)的復(fù)合梁試件的阻尼參數(shù).研究結(jié)果表明：復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的阻尼性能與纖維的方向角、纖維的鋪設(shè)形式、振動(dòng)頻率、模態(tài)振型等參數(shù)密切相關(guān).MAHI等[7]基于有限元法和應(yīng)變能法建立了具有正交各向異性的玻璃纖維復(fù)合梁結(jié)構(gòu)的阻尼模型,利用該模型進(jìn)行仿真研究發(fā)現(xiàn),不同層疊順序的復(fù)合梁結(jié)構(gòu)在纖維方向?yàn)?°和90°時(shí),阻尼性能差別不大,但serge composites和taffeta composites兩種層疊鋪設(shè)方式要比編織鋪設(shè)方式具有更好的阻尼性能.YOUZERA等[8]利用高階Zig-zag理論建立了纖維增強(qiáng)復(fù)合簡(jiǎn)支梁的解析模型,引入了非線性頻率-幅值和非線性相位-幅值方程,并計(jì)算獲得了非線性阻尼參數(shù).

另外,國(guó)內(nèi)一些學(xué)者和研究人員也對(duì)纖維增強(qiáng)復(fù)合材料及其結(jié)構(gòu)的阻尼特性開展了卓有成效的研究.李明俊等[9]將各向異性設(shè)計(jì)引入到纖維增強(qiáng)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的分析過程中,以半無(wú)限簡(jiǎn)支板為例,對(duì)其阻尼特性進(jìn)行了分析和計(jì)算.分析研究表明:該結(jié)構(gòu)內(nèi)部柔性層對(duì)阻尼的影響要比應(yīng)力耦合對(duì)其影響大得多,且高階模態(tài)會(huì)增加結(jié)構(gòu)的阻尼能力.張少輝等[10]應(yīng)用基于應(yīng)變能的有限元方法研究了纖維增強(qiáng)層合板的阻尼特性,并通過模態(tài)分析方法計(jì)算獲得了該類型結(jié)構(gòu)的損耗因子.漆文凱等[11]應(yīng)用耗散能原理建立了復(fù)合材料層合板的阻尼模型,考慮了應(yīng)變能、耗散能和結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼的關(guān)系,采用有限元法編制了相關(guān)的模態(tài)阻尼計(jì)算程序,并將數(shù)值分析結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果相比較,驗(yàn)證了阻尼計(jì)算程序的有效性.

本文基于Ritz法,考慮了纖維方向及激勵(lì)頻率的影響,對(duì)纖維增強(qiáng)復(fù)合材料構(gòu)成的薄板結(jié)構(gòu)的非線性阻尼參數(shù)進(jìn)行了分析與預(yù)測(cè).首先分別推導(dǎo)了纖維增強(qiáng)復(fù)合薄板總的應(yīng)變能與耗散能的表達(dá)式,明確了采用Ritz法獲得該結(jié)構(gòu)系統(tǒng)阻尼參數(shù)的原理;然后編寫了MATLAB程序,并提出預(yù)測(cè)纖維增強(qiáng)復(fù)合薄板阻尼參數(shù)的流程;最后以玻璃纖維/樹脂復(fù)合薄板為例,在不同的纖維方向和激振頻率下,對(duì)其阻尼特性進(jìn)行分析與預(yù)測(cè),并與測(cè)試獲得的阻尼結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比,驗(yàn)證了該分析方法的正確性.本文所采用的方法能夠較好地實(shí)現(xiàn)對(duì)纖維增強(qiáng)復(fù)合薄板非線性阻尼參數(shù)的預(yù)測(cè),可為建立類似結(jié)構(gòu)件阻尼特性分析的方法體系提供參考.

1 纖維增強(qiáng)復(fù)合薄板阻尼參數(shù)的預(yù)測(cè)原理

所研究的纖維增強(qiáng)復(fù)合薄板是由 層具有正交各向異性特點(diǎn)的纖維和基體材料組合而成的,如圖1所示.首先,將其中面作為參考平面,并建立xOy坐標(biāo)系.a,b,c分別為板的長(zhǎng)度和寬度及厚度.每一層位于z坐標(biāo)軸較低表面hk-1和較高表面hk之間,每層的厚度e均相同.假設(shè)纖維方向與x軸的夾角為θ,圖中的1代表纖維縱向,2代表纖維橫向,3代表垂直于1-2平面的方向.

首先,假設(shè)纖維增強(qiáng)復(fù)合薄板的纖維縱向彈性模量為E1、纖維橫向彈性模量為E2、1-2平面內(nèi)的剪切彈性模量為G12,縱向應(yīng)變與橫向應(yīng)變之比的負(fù)值為泊松比υ12.平面應(yīng)力可分為σ1，σ2，σ3，σ12，σ13，σ236個(gè)分量，應(yīng)變可分為ε1，ε2，ε3，γ12，γ23，γ316個(gè)分量.由正交各向異性材料平面應(yīng)力問題的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系可知σ3=τ13=τ23=γ23=γ31=0,只有3個(gè)應(yīng)力分量σ1,σ2,τ12不為零.纖維增強(qiáng)復(fù)合薄板如圖1所示.x軸位于板的中面，zk節(jié)k層的下表面z軸坐標(biāo)，板厚度為h.

圖1 纖維增強(qiáng)復(fù)合薄板幾何模型Fig.1 Geometry model of fiber reinforced composite plate

1.1 總應(yīng)變能的計(jì)算

首先,基于Ritz法獲得纖維增強(qiáng)復(fù)合薄板振動(dòng)的位移函數(shù)w0(x,y)

(1)

式中:Xm(x),Yn(y)分別為復(fù)合薄板在x,y方向的位移函數(shù);Amn為振型系數(shù),可沿x,y方向?qū)⒈“宸殖蒻,n份.

對(duì)于纖維增強(qiáng)復(fù)合薄板,其第k層應(yīng)變能Uk的表達(dá)式為

(2)

纖維增強(qiáng)薄板的總應(yīng)變能U表示為

(3)

對(duì)于長(zhǎng)度為a,寬度為b的纖維增強(qiáng)薄板,總應(yīng)變能U在不同方向的應(yīng)變能可以表示為

(4)

σ1,σ2,σ6與ε1,ε2,ε6的關(guān)系為

(5)

式中:σ6=τ12；ε6=γ12;Qpq為剛度系數(shù).在式(5)中,Qpq包括Q11,Q12,Q22,Q66,p,q分別代表矩陣元素所在行、列的位置,即p=1,2,6,q=1,2,6.Q11,Q12,Q22,Q66具體的表達(dá)式為

(6)

式中:υ12=υ21.

1.2 耗散能的計(jì)算

(7)

(8)

基于Ritz方法,可以獲得單層應(yīng)變能的表示式為

(9)

(10)

(11)

式中：ek為第k層的厚度.

(12)

式中：εxx,εyy,γxy,分別為纖維復(fù)合材料在縱向上、橫向上及厚度方向上的應(yīng)變.

接下來獲得復(fù)合薄板在xOy坐標(biāo)系中應(yīng)變的轉(zhuǎn)換方程,該方程可通過纖維復(fù)合材料在縱向、橫向和薄板厚度方向的應(yīng)變表示為

(13)

把式(11)—(13)帶入(10)化簡(jiǎn),可以獲得整個(gè)纖維增強(qiáng)薄板的總耗散能ΔU,其表達(dá)式為

(14)

1.3 纖維增強(qiáng)復(fù)合薄板阻尼參數(shù)的計(jì)算

對(duì)于具有正交各向異性特點(diǎn)的纖維增強(qiáng)性復(fù)合薄板,可以忽略其剪切變形的影響,其第k層位移與應(yīng)變有如下關(guān)系

(15)

對(duì)于不同的邊界約束條件,可以獲得Xk(x)和Yk(y)不同的表達(dá)式.以一端固定、一端自由的復(fù)合薄板為例(懸臂邊界條件),對(duì)于x=0端固定、x=a端自由的纖維增強(qiáng)懸臂薄板,其Xk(x)和Yk(y)的表達(dá)式為

(16)

(17)

式中:ki,γi為纖維增強(qiáng)復(fù)合薄板對(duì)應(yīng)的位移調(diào)整系數(shù)和位移平衡系數(shù),與第i階固有頻率對(duì)應(yīng)，ki,γi的取值見表1.

聯(lián)立式(3)和式(14),可以算出纖維增強(qiáng)薄板的阻尼比ψ

(18)

2 纖維增強(qiáng)性型復(fù)合薄板阻尼參數(shù)的預(yù)測(cè)流程

第1部分明確了采用Ritz法獲得了纖維增強(qiáng)復(fù)合薄板阻尼參數(shù)的原理,接下來本文利用MATLAB軟件,編寫了相應(yīng)的計(jì)算程序,并提出了預(yù)測(cè)纖維增強(qiáng)復(fù)合薄板非線性阻尼參數(shù)的流程,可分為如下幾個(gè)步驟:

(1) 輸入復(fù)合薄板的幾何參數(shù)和材料參數(shù) 首先,需要給出纖維增強(qiáng)復(fù)合薄板的長(zhǎng)、寬、厚度、每層厚度及總層數(shù)等幾何參數(shù),然后,輸入纖維和基體在不同方向的彈性模量、泊松比等材料參數(shù),為后續(xù)應(yīng)變能和耗散能的計(jì)算做好準(zhǔn)備.

(2) 計(jì)算獲得應(yīng)變能和總應(yīng)變能 由式(15)中位移與應(yīng)變之間的關(guān)系式,并分別在式(16)、(17)中對(duì)x,y求導(dǎo),即得纖維增強(qiáng)復(fù)合薄板的應(yīng)變值.由于每層位移函數(shù)的系數(shù)均不同,則函數(shù)表達(dá)式得出的應(yīng)變值也隨之不同,故將每一層計(jì)算所得應(yīng)變值帶入式(5)中得到應(yīng)力值,再將兩者帶入式(4)即得每一層對(duì)應(yīng)的應(yīng)變能值,將其疊加后即得總應(yīng)變能值.

(4) 計(jì)算獲得阻尼比 將基于Ritz法獲得的總的應(yīng)變能值和總的耗散能的值,帶入式(18),得出阻尼比.具體預(yù)測(cè)纖維增強(qiáng)性型復(fù)合薄板阻尼參數(shù)的流程，如圖2所示.

圖2 纖維增強(qiáng)復(fù)合薄板阻尼參數(shù)的預(yù)測(cè)流程Fig.2 Predicting process of damping parameters of fiber reinforced composite plate

3 實(shí)例研究

本文以玻璃纖維/樹脂復(fù)合薄板為例,對(duì)其阻尼參數(shù)進(jìn)行分析與預(yù)測(cè).該類型的復(fù)合薄板共有8層,每層厚度為0.25 mm,每層具有相同的厚度和纖維體積分?jǐn)?shù).其整體長(zhǎng)、寬、厚尺寸分別為150 mm×100 mm×2 mm其材料參數(shù)為E1=29.9 GPa,E2=5.85 GPa,G12=2.45 GPa,ν12=0.24.

為了驗(yàn)證本文計(jì)算方法的正確性,搭建圖3所示試驗(yàn)系統(tǒng)來獲得該復(fù)合材料薄板的阻尼參數(shù).通過壓電陶瓷激振器對(duì)纖維增強(qiáng)復(fù)合薄板進(jìn)行激勵(lì),使用激光多普勒測(cè)振儀來測(cè)試其振動(dòng)響應(yīng),并通過采集控制器對(duì)激勵(lì)信號(hào)和響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行實(shí)時(shí)采集,進(jìn)而通過自由振動(dòng)衰減法來獲得的阻尼比.最后通過試驗(yàn)獲得了纖維方向?yàn)?°,45°,90°時(shí)復(fù)合薄板在100,200,500 Hz 3種不同頻率下的阻尼參數(shù).為了便于比較,將測(cè)試結(jié)果與本文采用Ritz法獲得的纖維增強(qiáng)復(fù)合薄板阻尼參數(shù)一并列入表2中.

通過與測(cè)試結(jié)果對(duì)比可知,基于Ritz法預(yù)測(cè)獲得的阻尼誤差最大不超過10%,這就驗(yàn)證了該分析方法的正確性,可以利用該方法實(shí)現(xiàn)對(duì)纖維增強(qiáng)復(fù)合薄板阻尼參數(shù)的可靠預(yù)測(cè).另外,對(duì)比上述阻尼結(jié)果可知,纖維增強(qiáng)復(fù)合薄板阻尼與激振頻率和纖維方向密切相關(guān),在100～500 Hz內(nèi),其阻尼參數(shù)隨著激振頻率的增大而增加,隨著纖維方向的增加呈現(xiàn)先增大后減小的變化趨勢(shì),即纖維方向?yàn)?°時(shí)阻尼最小,纖維方向?yàn)?0°時(shí)阻尼達(dá)到最大值,纖維方向?yàn)?0°和90°時(shí)阻尼結(jié)果相差不多.

表2 不同纖維方向和頻率下采用Ritz法和測(cè)試獲得的阻尼比

注：誤差=(A-B)/B

圖3 纖維增強(qiáng)復(fù)合薄板阻尼參數(shù)測(cè)試系統(tǒng)Fig3 Testing system of damping parameter of fiber reinforced composite plate

4 結(jié) 論

本文基于Ritz方法,考慮了纖維方向及激勵(lì)頻率的影響,對(duì)纖維增強(qiáng)復(fù)合薄板的非線性阻尼參數(shù)進(jìn)行了分析與預(yù)測(cè),具體工作包括:

(1) 使用Ritz法推導(dǎo)并計(jì)算具有k層纖維增強(qiáng)薄板的應(yīng)變能及阻尼比,該方法可以在多層復(fù)合板及任意纖維角度條件下進(jìn)行計(jì)算.

給出了預(yù)測(cè)纖維增強(qiáng)復(fù)合薄板非線性阻尼參數(shù)的具體流程.主要包括輸入復(fù)合薄板的幾何參數(shù)和材料參數(shù)、獲得應(yīng)變能和總應(yīng)變能、獲得耗散能及總耗散能、計(jì)算獲得阻尼比等4個(gè)關(guān)鍵步驟.

(3) 以玻璃纖維/樹脂復(fù)合薄板為研究對(duì)象,利用Ritz法計(jì)算獲得了其阻尼參數(shù),并與測(cè)試結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比,驗(yàn)證了該分析方法的正確性,可以利用該方法實(shí)現(xiàn)對(duì)纖維增強(qiáng)復(fù)合薄板非線性阻尼參數(shù)的可靠預(yù)測(cè).

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Damping analysis on fiber-reinforced composites thin plate based on Ritz method

NIU Yi1,LIU Quan-li2,CHANG Yong-le1,DU Huan-huan1,WEN Bang-chun1

(1.School of Mechanical Engineering & Automation,Northeastern University,Shenyang 110819,China;2.Siasun Robot & Automation CO.,LTD.,Shenyang 110819,China)

In consideration with fiber orientation and excitation frequency via Ritz method,the damping parameters of fiber reinforced composite thin plates are analyzed and predicted.Firstly,the expressions of the total strain and dissipated energies are deduced.Then,the corresponding theoretical principles of damping parameters are further clarified using Ritz method.Next,the process of predicted damping parameters are speculated based on the self-written MatlabTM programs.Finally,by treating the glass fiber composite thin plate as an example,the nonlinear damping parameters are analyzed and predicted under different fiber orientations and excitation frequencies.In addition,the effectiveness and correctness of the proposed method is verified in comparison with experimental results.

Ritz method; nonlinear damping; fiber-reinforced composites thin plate; damping analysis

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51505070);國(guó)家自然科學(xué)基金(51375079)；國(guó)家重大科學(xué)儀器設(shè)備開發(fā)專項(xiàng)(2013YQ470765).

牛 義(1992-),男,工程碩士.E-mail:443145126@qq.com

TB 535

A

1672-5581(2016)02-0162-06