奚 鷹,華濱濱,鄭鈺馨,卜王輝,李夢(mèng)如

(同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院,上海 201804)

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機(jī)器人用高精度RV減速器曲軸誤差

奚 鷹,華濱濱,鄭鈺馨,卜王輝,李夢(mèng)如

(同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院,上海 201804)

機(jī)器人用高精度RV(Rotate Vector)減速器的曲軸存在制造裝配誤差,為了保證RV減速器的傳動(dòng)精度、承載能力、總體回差和傳動(dòng)效率等要求,必須控制曲軸的設(shè)計(jì)精度.分析了曲軸偏心距和偏心距誤差對(duì)RV減速器傳動(dòng)精度的影響,建立了曲軸偏心距和偏心距誤差影響的數(shù)學(xué)模型,使用MATLAB進(jìn)行了仿真計(jì)算.結(jié)果表明:某型RV減速器曲軸偏心距應(yīng)為1.3 mm,其偏心距誤差負(fù)向分布有助于提高精度,加載后有助于減小回差間隙.

RV減速器； 曲軸； 傳動(dòng)精度； 偏心距誤差

機(jī)器人用高精度RV減速器是一種新興起的二級(jí)減速傳動(dòng)裝置.該減速器采用共用曲軸和輸出機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)形式組成的封閉式行星傳動(dòng),具有承載能力強(qiáng)、傳動(dòng)比大、運(yùn)動(dòng)精度高、傳動(dòng)平穩(wěn)等優(yōu)點(diǎn)[1].鑒于RV傳動(dòng)的高精度要求,目前提高傳動(dòng)精度,降低傳動(dòng)誤差已經(jīng)成為RV減速器研究的熱點(diǎn).文獻(xiàn)[2]利用純幾何學(xué)方法研究單輪的擺線針輪行星減速器的回轉(zhuǎn)精度;文獻(xiàn)[3]對(duì)RV減速器的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)精度進(jìn)行了研究和仿真;文獻(xiàn)[4]研究了影響RV減速器運(yùn)動(dòng)精度的主要影響因素和具體表現(xiàn);文獻(xiàn)[5]針對(duì)RV減速器的重要部件曲軸進(jìn)行了模態(tài)分析,并提出了改進(jìn)意見.

由于曲軸同時(shí)作為第二級(jí)擺線行星傳動(dòng)的輸入與輸出,其偏心距及偏心距誤差對(duì)機(jī)構(gòu)輸出的傳動(dòng)誤差影響較大,加上曲軸數(shù)量較多造成曲軸偏心距誤差.這個(gè)誤差存在3種形式,即同向正分布,同向負(fù)分布和異向分布,故曲軸偏心距誤差對(duì)整體傳動(dòng)誤差的影響更為復(fù)雜.本文采用MATLAB理論計(jì)算的方式研究了針對(duì)某型RV減速器曲軸偏心距及其誤差對(duì)整體傳動(dòng)誤差造成的影響,該研究方法可為其他RV減速器曲軸偏心距及偏心距誤差的設(shè)計(jì)提供一定參考.

1 RV傳動(dòng)原理與基本技術(shù)參數(shù)

RV減速器由一個(gè)行星齒輪減速器的前級(jí)和一個(gè)擺線針輪減速器的后級(jí)組成.如圖1所示是某型RV減速器的整體結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖,其基本參數(shù)如表1所示.輸入軸與外部機(jī)構(gòu)相聯(lián)，漸開線行星輪與曲軸通過花鍵連成一體.如果輸入軸順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),它將帶動(dòng)漸開線行星輪在繞中心輪軸線公轉(zhuǎn)的同時(shí)還逆時(shí)針方向自轉(zhuǎn),并通過曲軸帶動(dòng)擺線軸作偏心運(yùn)動(dòng).此時(shí)擺線輪因受固定的針輪與之嚙合的齒的約束,在其軸線繞針輪軸線公轉(zhuǎn)的同時(shí),還將反方向自轉(zhuǎn),即順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng).

圖1 RV減速器的組成結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Composition structure of diagram RV reducer表1 某型減速器基本技術(shù)參數(shù)Tab.1 Basic technical parameters of the reducer

參數(shù)名稱數(shù)據(jù)針齒中心圓直徑dp/mm128128針齒直徑Drp/mm6擺線輪齒數(shù)zc/個(gè)39中心輪齒數(shù)z1/個(gè)21行星輪齒數(shù)z2/個(gè)42針齒齒數(shù)zp/個(gè)40電動(dòng)機(jī)輸出轉(zhuǎn)速/(r·min-1)525電動(dòng)機(jī)輸出功率/kW0.4

2 曲軸偏心距對(duì)傳動(dòng)精度的影響

由文獻(xiàn)[6]可知，擺線針輪行星機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)誤差加權(quán)系數(shù)大；對(duì)傳動(dòng)誤差影響大;而漸開線行星機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)誤差加權(quán)系數(shù)小,對(duì)傳動(dòng)誤差影響小.且曲軸與減速器的整體傳動(dòng)誤差Δφz[6]有如下關(guān)系:

(1)

式中:Δφ1為擺線輪行星機(jī)構(gòu)引起的傳動(dòng)誤差;Δφ2為行星架輸出機(jī)構(gòu)引起的傳動(dòng)誤差.

根據(jù)概率理論:

(2)

(3)

在概率統(tǒng)計(jì)意義下,行星架輸出機(jī)構(gòu)引起的傳動(dòng)誤差為

均值:

(4)

方差[6]:

(5)

式中:s為曲柄軸偏心距;μrw為星架組件三孔中心幾何中心相對(duì)于行星架軸頸中心線的偏心公差;μrz為行星架支撐大軸頸徑跳誤差.

在概率統(tǒng)計(jì)意義下,計(jì)算擺線針輪行星機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)誤差為

均值:

(6)

方差[6]:

(7)

將式(2)—(7)代入式(1),并通過MATLAB計(jì)算得到機(jī)構(gòu)整體傳動(dòng)誤差隨曲軸偏心距變化的示意圖,如圖2所示.

從圖2中可以看出,曲軸偏心距在1.31mm時(shí),減速器整體傳動(dòng)誤差達(dá)到最小值,約為0.018 57°,考慮到制造加工工藝要求選取曲柄軸偏心距為1.3mm.而當(dāng)偏心距從1.2mm增大到1.3mm左右時(shí),傳動(dòng)誤差不斷減小,從1.3mm繼續(xù)增大時(shí),傳動(dòng)誤差不斷增大.造成這種現(xiàn)象的原因是當(dāng)偏心距過小時(shí),擺線輪與滾針間間隙過大,實(shí)際承載傳動(dòng)時(shí)出現(xiàn)了瞬時(shí)嚙合輪齒數(shù)量不足,傳動(dòng)中有速度波動(dòng),產(chǎn)生扭振和噪聲,影響傳動(dòng)的平穩(wěn)性;而當(dāng)偏心距過大時(shí),擺線輪與滾針間隙過大,造成兩者干涉,產(chǎn)生扭振和噪聲,影響傳動(dòng)精度.

圖2 傳動(dòng)誤差變化曲線Fig.2 Curve of Transmission error

3 曲軸偏心距誤差對(duì)傳動(dòng)精度的影響

3.1 曲柄數(shù)學(xué)模型的建立

對(duì)于RV減速器而言各種原始誤差中對(duì)機(jī)構(gòu)輸出轉(zhuǎn)角誤差影響最大的是輸出盤上曲軸孔的偏心誤差,其次是擺線輪[7-9].本次研究以偏心距誤差為首要影響因素,以某型RV減速器為基礎(chǔ),分析其兩根曲軸偏心距誤差對(duì)機(jī)構(gòu)輸出轉(zhuǎn)角誤差的影響,并簡(jiǎn)化其他因素造成的影響.

在RV傳動(dòng)中，曲軸的受力分析實(shí)際上可簡(jiǎn)化為單自由度的平行四桿機(jī)構(gòu)傳動(dòng)[10],其中曲軸的偏心距相當(dāng)于曲軸l1和l3,曲軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度相當(dāng)于曲軸l1和l3轉(zhuǎn)角α和β,擺線輪上兩曲軸軸承孔中心距相當(dāng)于連桿l2,輸出機(jī)構(gòu)上兩曲軸軸承孔的中心距相當(dāng)于機(jī)架l4.因此可將RV傳動(dòng)的誤差分析轉(zhuǎn)化為平行四桿機(jī)構(gòu)的誤差分析,其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖3所示.

圖3 四桿機(jī)構(gòu)誤差分析示意簡(jiǎn)圖Fig.3 Brief diagram of four bar mechanism error analysis

平行四桿機(jī)構(gòu)的誤差分析就是計(jì)算在給定α和β角情況下的位置角誤差,即連桿(擺線輪)相對(duì)于輸出桿的角度誤差γ.在考慮曲軸偏心距誤差對(duì)RV減速器傳動(dòng)精度造成的影響時(shí),先假定只有兩曲軸的偏心距存在偏差,其他幾何尺寸是固定的.曲軸的偏心距誤差即為平行四桿機(jī)構(gòu)的曲軸長(zhǎng)度誤差.研究偏心距誤差時(shí),先分二種情況進(jìn)行討論:一種是剛性誤差,即未加載荷時(shí),僅由偏心距加工誤差引起的RV減速器輸出轉(zhuǎn)角誤差;另一種是彈性誤差,即在加載荷之后,考慮疊加上在軸承作用力下發(fā)生彈性位移造的誤差,分析這種變形引起的RV減速器輸出轉(zhuǎn)角誤差.彈性變形的情況還可繼續(xù)分為周向彎曲變形和扭轉(zhuǎn)變形,應(yīng)分別算出周向彎曲變形和扭轉(zhuǎn)變形引起的輸出軸轉(zhuǎn)角誤差.綜合考慮剛性誤差和彈性誤差的平行四桿傳動(dòng)的模型如圖4所示.

圖4 四桿機(jī)構(gòu)誤差分析綜合示意圖Fig.4 Comprehensive diagram of four bar mechanism error analysis

當(dāng)各桿長(zhǎng)存在偏差時(shí),其實(shí)際尺寸發(fā)生了變化，以桿1為例，桿1的等放偏心距為l′1,l′1=l1+l11(l11為桿1與桿2的鉸接副的彈性位移),當(dāng)鉸接副中存在間隙時(shí),在關(guān)節(jié)力的作用下,各鉸接副中兩半鉸中心Pi和Pj(即相鄰桿的端點(diǎn))發(fā)生位移,其位移矢量可寫為

(8)

式中:Δp為鉸接副的半徑間隙；fp為鉸鏈p中桿j作用于桿i的關(guān)節(jié)力方向上的單位矢量.

所以當(dāng)各桿長(zhǎng)存在偏差、各鉸接副中存在間隙時(shí),這個(gè)四桿機(jī)構(gòu)就不再構(gòu)成平行四邊形,根據(jù)機(jī)構(gòu)誤差分析示意圖,其矢量方程為

(9)

經(jīng)過計(jì)算可得

由于Δβ很小,簡(jiǎn)化可得:

(11)

式中:

由于分析時(shí)依次考慮曲軸的剛性精度和彈性精度,因此計(jì)算誤差的一元二次方程應(yīng)該有兩種,一種是只考慮偏心距誤差,忽略鉸接處受力而產(chǎn)生的彈性位移;另一種則既考慮鉸接處的彈性位移,又考慮偏心距誤差.

由文獻(xiàn)[9-10]可知,曲柄轉(zhuǎn)角回差和曲軸轉(zhuǎn)角有關(guān),故在分析偏心距誤差對(duì)傳動(dòng)精度的影響之前應(yīng)先找到影響最大的曲柄轉(zhuǎn)角,然后在這一固定的轉(zhuǎn)角位置處分析偏心距誤差的影響,即α從0°到180°變化過程中,尋找轉(zhuǎn)角誤差的最大值.求解式(11),并通過MATLAB繪出其圖像,如圖5所示.

圖5 轉(zhuǎn)角α與轉(zhuǎn)角誤差的關(guān)系Fig.5 Relationship between the angleα and the angle error

從圖5可看出,在α=70o時(shí),轉(zhuǎn)角誤差最大,故重點(diǎn)研究α=70o的情況.造成這種現(xiàn)象的原因是由于RV減速器存在回差和轉(zhuǎn)矩波動(dòng),擺線針輪用于計(jì)算傳動(dòng)比的瞬時(shí)中心不斷改變,導(dǎo)致擺線針輪位置不連續(xù),瞬時(shí)傳動(dòng)比與曲柄角具有某種變化關(guān)系.因此,在計(jì)算轉(zhuǎn)角誤差時(shí),隨著轉(zhuǎn)角α的變化,轉(zhuǎn)角誤差具有如圖5所示的變化趨勢(shì).

3.2 曲軸剛性精度分析

由前文可知，曲軸的剛性誤差,即是未加載荷時(shí)僅由偏心距加工誤差引起的RV減速器的輸出轉(zhuǎn)角誤差.圖6為曲軸在不加載情況下的精度分析模型.

圖6 四桿機(jī)構(gòu)剛性精度分析示意簡(jiǎn)圖Fig.6 Brief diagram of four bar mechanism error analysis on rigid precision

由于只考慮曲軸的剛性精度,故l′1=l1+l11,l′3=l3+l33(l33為桿2與桿3的鉸接副的彈性位移),將其代入式(10)經(jīng)過整理可得:

(12)

求解式(12),并通過MATLAB繪出其三維圖像如圖7所示.

圖7 剛性精度下偏心距誤差對(duì)傳動(dòng)誤差的影響三維圖Fig.7 3D map of eccentricity error and the transmission error of the accuracy on rigid precision

由圖7可知,傳動(dòng)誤差變化的三維曲面為下凹面,當(dāng)兩根曲軸偏心距誤差數(shù)值同時(shí)趨向-0.1mm時(shí),傳動(dòng)誤差數(shù)值逐漸偏小.為了更加清晰地觀察,通過MATLAB繪制了其等高線圖,如圖8所示.

圖8 剛性精度下偏心距誤差對(duì)傳動(dòng)誤差的影響等高線圖Fig.8 Contour map of eccentricity error and the transmission error of the accuracy on rigid precision

綜合對(duì)比圖7和8可知,整個(gè)傳動(dòng)誤差變化的三維曲面為下凹面.明顯看出整個(gè)傳動(dòng)誤差在曲軸的負(fù)向分布偏心距區(qū)域較平坦.要使轉(zhuǎn)角誤差最小,則曲軸1偏心距誤差應(yīng)控制在-0.05～0 mm,曲軸2偏心距誤差應(yīng)控制在-0.02～0.01 mm之間.轉(zhuǎn)角誤差最大的區(qū)域分別為兩偏心距誤差同正最大處和兩偏心距異向分布之差最大處.轉(zhuǎn)角誤差較小的區(qū)域凸向兩曲軸負(fù)向分布偏心距誤差區(qū)域.即當(dāng)偏心距誤差同向負(fù)向分布時(shí),有益于提高傳動(dòng)精度.

3.3 曲軸彈性精度分析

曲軸的彈性精度分析,需要考慮曲軸在彈性誤差和剛性誤差共同作用下的變形.圖4即為曲軸在綜合情況下的精度分析模型.曲軸在受力的情況下,鉸接副處發(fā)生了彈性位移.由偏心距(l1+l′11)(l′11為曲軸的剛性變形),鉸接副處的彈性位移l11以及等效偏心距l(xiāng)′1構(gòu)成了一個(gè)三角形,由余弦定理可求得等效偏心距l(xiāng)′1為

(13)

曲軸2的情況與曲軸1相同.在分析彈性誤差和剛性誤差對(duì)轉(zhuǎn)角誤差的影響時(shí),即可把等效偏心距l(xiāng)′1和l′3帶入式(11)進(jìn)行求解,通過MATLAB繪出其三維圖像,如圖9所示.

圖9 彈性精度下偏心距誤差對(duì)傳動(dòng)誤差的影響三維圖Fig.9 3D map of eccentricity error and the transmission error of the accuracy on elastic precision

由圖9可知,整個(gè)傳動(dòng)誤差變化的三維曲面呈漏斗狀,為了更加清晰地觀察,通過MATLAB繪制了其等高線圖,如圖10所示.

綜合對(duì)比圖9和圖10可知,機(jī)構(gòu)傳動(dòng)誤差的變化曲面為明顯的中心凹面,轉(zhuǎn)角誤差最大的區(qū)域分別為兩偏心距誤差同正最大處和兩偏心距異向分布之差最大處.要使轉(zhuǎn)角誤差最小,則曲軸1偏心距誤差控制在-0.05～0 mm,曲軸2偏心距誤差應(yīng)控制在-0.05～0.05 mm之間.保證兩曲軸偏心距誤差應(yīng)在區(qū)域①內(nèi)可以得到較小的輸出誤差,即獲得良好的傳動(dòng)精度.由此可知,在加工曲軸時(shí),將兩根曲軸同時(shí)加工,可以提高系統(tǒng)的傳動(dòng)精度.

圖10 彈性精度下偏心距誤差對(duì)傳動(dòng)誤差的影響等高線圖Fig.10 Contour map of eccentricity error and the transmission error of the accuracy on elastic precision

4 結(jié)論

(1) 機(jī)器人用高精度RV減速器的曲軸對(duì)于機(jī)構(gòu)整體傳動(dòng)精度具有較大影響,為了保證RV減速器的傳動(dòng)精度、承載能力、總體回差和傳動(dòng)效率等要求,必須控制曲軸的設(shè)計(jì)精度,包括其偏心距及其誤差.

(2) 分析了曲軸的偏心距及偏心距誤差對(duì)RV減速器傳動(dòng)精度的影響,建立了曲軸偏心距及其誤差影響的數(shù)學(xué)模型，并通過MATLAB進(jìn)行了仿真分析.

(3) 本文為研究曲軸偏心距及其誤差對(duì)整體傳動(dòng)精度的影響提供了理論基礎(chǔ),該研究方法為提高RV減速器的整體傳動(dòng)精度、承載能力、總體回差等性能提供一定的參考.

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Analysis on crankshaft errors for high-precision robotic RV reducer

XI Ying,HUA Bin-bin,ZHENG Yu-xin,BU Wang-hui,LI Meng-ru

(School of Mechanical Engineering,Tongji University,Shanghai 201804)

Due to the manufacturing and assembly errors from crankshafts of high-precision robotic RV reducer,the design precision should be controlled for transmission precision in terms of loading capacity,overall hysteresis and transmission efficiency.By analyzing the crankshaft eccentricity and eccentricity errors on RV reducer precision,related mathematical models are established using MATLABTM simulation.As such,it is indicated from results that the crankshaft eccentricityis especially 1.3mm.In particular,the negative error distributionenhances the precision,whereas the loading reduces the hysteresis clearance.

RV reducer ; crankshaft ; transmission precision; eccentricity error

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51475331)，中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(0800219310，0800219309)

奚 鷹(1957-)，男博士，教授.E-mail:yingxi@#edu.cu

TP 242.2

A

1672-5581(2016)02-0168-06