●張安軍

(臺州市白云中學(xué) 浙江臺州 318000) ●俞昌頁 (臺州市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 浙江臺州 318000)

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一次市數(shù)學(xué)拓展課的觀摩與思考*

●張安軍

(臺州市白云中學(xué) 浙江臺州 318000) ●俞昌頁 (臺州市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 浙江臺州 318000)

為進(jìn)一步完善課程體系、更好地幫助每一位學(xué)生實(shí)現(xiàn)全面而有個性的發(fā)展，浙江省臺州市舉行了拓展性課程研討會.會上3位教師展示了富有特色的拓展課:基于教材，自然生長問題，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維；探尋知識的來源，培養(yǎng)學(xué)生的公理化思維水平；玩游戲，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法.文章對3位教師的拓展課進(jìn)行整理，并對拓展性課程的拓展主體、拓展方向等進(jìn)行思考.

基礎(chǔ)性課程；拓展性課程；課堂教學(xué)；理性思維

2015年浙江省教育廳在《關(guān)于深化義務(wù)教育課程改革的指導(dǎo)意見》中指出，拓展性課程是指學(xué)校提供給學(xué)生自主選擇的學(xué)習(xí)內(nèi)容，明確要求各地和學(xué)校要積極探索拓展課程的開發(fā)、實(shí)施、評價和共享機(jī)制，體現(xiàn)地域和學(xué)校特色，突出拓展性課程的興趣性、活動性、層次性和選擇性，滿足學(xué)生的個性化學(xué)習(xí)需求.初中數(shù)學(xué)拓展性課程肩負(fù)著實(shí)現(xiàn)素質(zhì)教育的責(zé)任和義務(wù)，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)向數(shù)學(xué)教育轉(zhuǎn)變的重要途徑之一.為了更好地幫助每一位學(xué)生實(shí)現(xiàn)全面而有個性的發(fā)展，浙江省臺州市初中數(shù)學(xué)深化課程改革研討會開設(shè)了一次拓展性課程會議，廣大教師對于“數(shù)學(xué)拓展課程”雖不陌生，但在認(rèn)識上還存在一定的模糊.例如，數(shù)學(xué)拓展課程的目的是為了提高中考分?jǐn)?shù)，還是發(fā)展人的思維呢？是專為數(shù)學(xué)的優(yōu)秀生而開發(fā)，還是為成績一般的學(xué)生或困難生開發(fā)？拓展的內(nèi)容是在中考范圍內(nèi)，還是適當(dāng)超過新課標(biāo)？數(shù)學(xué)拓展課程是不是“難題+趣題”？筆者有幸參加了此次會議，對開設(shè)的拓展課加以整理和思考，在一定程度上回答一線教師對拓展課的疑惑.

1 立足教材，自然生發(fā)問題，培養(yǎng)批判精神

當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教材都是專家們經(jīng)過幾番修改形成的數(shù)學(xué)體系，一些數(shù)學(xué)基本事實(shí)直接引用或告知，學(xué)生也很少質(zhì)疑教材中的內(nèi)容，加上某些課堂也是“搬運(yùn)式”的，以“定義或基本事實(shí)—定理或推論—例題或習(xí)題”的模式灌輸給學(xué)生，長此以往，學(xué)生缺少了反省、質(zhì)疑和批判.若教師能在學(xué)完一些章節(jié)后，讓學(xué)生重新溫習(xí)章節(jié)中的一些根本性內(nèi)容，有意識地挖掘教材中的資源，在最平常的地方提出一些問題，則可以引發(fā)學(xué)生的思考，經(jīng)歷問題提出的過程，培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑精神和批判思維.

案例1 推導(dǎo)等式的性質(zhì)

問題1 觀察等式a=b和a-b=0，你能從數(shù)的運(yùn)算方法加以推導(dǎo)，得出有第1個式子成立就有第2個式子也成立嗎？

分析 因?yàn)閍=b，所以a=b+0(任何一個數(shù)加0仍等于這個數(shù))，再根據(jù)減法運(yùn)算的定義，2個數(shù)的和可化為“其中一個加數(shù)等于和減去另一個加數(shù)”，因此式子a-b=0成立.反之若a-b=0,則根據(jù)減法運(yùn)算的定義，同樣有a=b+0，因?yàn)?加任何數(shù)等于這個數(shù)，所以a=b.

問題2 思考：“等式性質(zhì)1：等式2邊加(或減)同一個數(shù)或式子，結(jié)果仍相等”能否用上面的結(jié)論進(jìn)行推導(dǎo)(即a=b?a+c=b+c或a-c=b-c)？

分析 因?yàn)閍=b，所以

(a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b=0，

從而

a+c=b+c.

若2個數(shù)的差等于0，則這2個數(shù)相等.反之也成立.

分析 若a=b,則對于任意的數(shù)c，

ac-bc=(a-b)c=0×c=0，

從而

ac=bc，

反之也成立.若c≠0，則由a=b可得

a÷c-b÷c=0,

從而

a÷c=b÷c,

反之也成立.

教學(xué)解讀 當(dāng)學(xué)生學(xué)完了“一元一次方程”后，教師常引領(lǐng)學(xué)生溫習(xí)方程的解法以及利用方程模型解應(yīng)用題，注重基礎(chǔ)知識和基本技能的鞏固和提高，很少對方程的解法依據(jù)進(jìn)行追根溯源.在這次拓展課中，案例1中的教師先回顧解一元一次方程，然后提出解一元一次方程的依據(jù)是什么，學(xué)生們熟練回答是等式的基本性質(zhì)，教師繼續(xù)追問：等式的基本性質(zhì)是依靠什么得到？天平實(shí)驗(yàn)的方法可靠嗎？是否存在判斷誤差？帶著這樣的疑問，對解方程的依據(jù)進(jìn)行新的探索，從數(shù)的運(yùn)算和運(yùn)算律角度去探究等式性質(zhì)，把等式性質(zhì)建立在運(yùn)算及其運(yùn)算律的基礎(chǔ)上，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑精神和批判性思維.

該教師從數(shù)的運(yùn)算出發(fā)，推導(dǎo)等式性質(zhì)1和性質(zhì)2，等式的這2個性質(zhì)均可用有理數(shù)的四則運(yùn)算和運(yùn)算律進(jìn)行推導(dǎo).解方程利用等式性質(zhì)，學(xué)生對此習(xí)以為常，教材中等式性質(zhì)的得出利用“平衡的天平的2邊都加(或減)同樣的量，天平還保持平衡.等式就像天平，它具有與上面的事實(shí)同樣性質(zhì)”[1].實(shí)驗(yàn)教學(xué)是直觀的，但沒有運(yùn)算推導(dǎo)嚴(yán)瑾.該教師追溯解方程的源頭，用質(zhì)疑的眼光和批判的精神，從運(yùn)算出發(fā)，重新構(gòu)建等式性質(zhì).這遠(yuǎn)比重復(fù)的解方程練習(xí)、針對各種應(yīng)用題類型增大練習(xí)量、以數(shù)量求質(zhì)量、形成所謂“題海戰(zhàn)術(shù)”更重要.靠“題海戰(zhàn)術(shù)”無疑可以提高學(xué)生解題的熟練程度，提高考試的分?jǐn)?shù)，但從培養(yǎng)數(shù)學(xué)英才角度來看，方程和等式性質(zhì)這個工具更有價值，該工具的合理性何在，工具的來源是什么——引導(dǎo)學(xué)生提出反思、質(zhì)疑，培養(yǎng)他們的批判精神，因此基于學(xué)生所學(xué)的內(nèi)容自然地生長，讓部分學(xué)有余力且喜歡數(shù)學(xué)的學(xué)生在拓展課上換一種視角、用懷疑的眼光審視所學(xué)的內(nèi)容，追根溯源，培養(yǎng)理性精神.

2 探尋知識的來源，發(fā)展學(xué)生的公理化思維

受初中學(xué)生的知識基礎(chǔ)、認(rèn)知水平等多方面因素的限制，現(xiàn)行的初中數(shù)學(xué)教材在《幾何原本》5條公設(shè)和5條公理的基礎(chǔ)上擴(kuò)大了公理(或稱“基本事實(shí)”)，例如人教版《數(shù)學(xué)》8年級上冊“全等三角形”一章中，全等三角形的判定條件有“SSS、SAS、ASA、AAS”，把判定三角形全等的條件都當(dāng)作基本事實(shí).當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)全等三角形一章后，已經(jīng)掌握全等三角形的各個判定，并能利用全等的判定條件作為工具，證明線段、角相等.然而對于三角形全等，即“SSS、SAS、ASA、AAS”的判定方法之間到底有什么關(guān)系，它們彼此之間是獨(dú)立的還是可以互相推出，如何得到這些判定方法——以四基為載體，對三角形全等的判定進(jìn)行探尋，讓學(xué)生不僅知其然并知其所以然.教師基于學(xué)生已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，對教材中的基本事實(shí)進(jìn)行知識尋根，并引導(dǎo)學(xué)生證明幾個基本事實(shí)，發(fā)展學(xué)生的公理化思維水平.

案例2 證明三角形全等

問題1 如圖1和圖2，在△ABC和△DEF中，若AB=DE,∠B=∠E,BC=EF,試說明：△ABC≌△DEF.

圖1 圖2

分析 由∠B=∠E，知當(dāng)∠B與∠E疊合時，角的頂點(diǎn)及2條邊互相重合.又AB=DE，從而點(diǎn)A與點(diǎn)D重合.因?yàn)锽C=EF，所以點(diǎn)C與點(diǎn)F重合.因此，這2個三角形的所有部分對應(yīng)重合，即2個三角形全等.

問題2 如圖3，在△ABC和△DEF中，若AB=EF,AC=FD,BC=ED,試證明：△ABC≌△DEF.

圖3 圖4

證法1 利用疊合、等腰三角形性質(zhì)、邊角邊定理.

如圖4，將△ABC中最長的邊BC與其相等的邊DE重合，使得頂點(diǎn)A與點(diǎn)F位于DE的2側(cè),聯(lián)結(jié)FA.因?yàn)锳B=BF，所以

∠1=∠2,

同理可得

∠3=∠4,

從而

∠1+∠3=∠2+∠4,

即

∠BAC=∠BFC,

故

△ABC≌△FBC,

即

△ABC≌△FED.

證法2 利用疊合、垂直平分線性質(zhì),具體略.

問題3 如圖5，在△ABC和△DEF中，若∠B=∠E,∠C=∠D,BC=ED,試說明：△ABC≌△DEF.

圖5 圖6

證明 將△ABC中邊BC與其相等的邊DE重合，∠B與∠E重合.當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時，由SAS定理知，△ABC≌△FED.當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A不重合時，點(diǎn)F可能落在邊AB上，也有可能在線段BA的延長線上.如圖6，不妨假設(shè)點(diǎn)F落在邊AB上，取BF′=EF，這樣由邊角邊定理知△BCF′≌△FED,從而∠EDF=∠BCF′；另一方面，點(diǎn)F′在邊AB上，可得∠BCA>∠BCF′，這樣與已知∠BCA=∠EDF矛盾.同樣地，當(dāng)點(diǎn)F落在線段AB延長線上時也得到矛盾，故只有EF=BA,從而△ABC≌△FED.

教學(xué)解讀 教師通過對“全等形”和三角形全等判定方法的回顧，提出“你們是如何得到這些判定方法的？思考過這些判定方法之間的關(guān)系嗎？”等問題，從而激起學(xué)生對已學(xué)過的知識進(jìn)行反思和質(zhì)疑，并以此為契機(jī)，對知識尋根探源.然后，教師在課堂上借助學(xué)生能夠理解、也能接受、且易于操作的“疊合”(重合)來驗(yàn)證三角形“SAS”的判定，然后再利用“SAS”或“疊合”,在操作、演示的過程中結(jié)合已學(xué)過的公理證明“SAS、ASA、AAS”，同時進(jìn)行說理或論證訓(xùn)練，初步建構(gòu)公理化體系.

該教師在數(shù)學(xué)拓展課中，對全等三角形的判定沒有停留在會證明、會利用全等來解決邊、角相等，而是讓學(xué)生經(jīng)歷知識探源的過程，尋根溯源，培養(yǎng)學(xué)生敢于質(zhì)疑、勇于挑戰(zhàn)的精神，對教材中全等的判定的基本事實(shí)進(jìn)行追問：“為什么‘SAS,SSS,ASA,AAS’能成立？它們之間有什么關(guān)系？”借助圖形的運(yùn)動變化進(jìn)行疊合，通過幾何變換和疊合來驗(yàn)證三角形全等的各種判定，從而三角形的各種判定都可以由“疊合”圖形變換推出，統(tǒng)一了三角形的諸判定，化繁為簡，化多為少，用邏輯推理的方式建立起公理化體系，初步培養(yǎng)學(xué)生的公理化思維水平.

3 玩游戲，領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想方法

有價值的數(shù)學(xué)不一定是數(shù)學(xué)問題，它可以是來自生活或?qū)嵺`中的問題，也可以是有趣的游戲.實(shí)際上有價值的數(shù)學(xué)要以數(shù)學(xué)活動為載體，活動中要蘊(yùn)含典型的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)課堂的靈魂，學(xué)生在活動中通過重復(fù)操作積累經(jīng)驗(yàn)，在反復(fù)操作中抽象、概括、提升數(shù)學(xué)思想方法.游戲是一種有趣的活動載體，可以作為拓展性課程，在課堂上讓學(xué)生在玩中學(xué)、學(xué)中玩，融游戲于課堂中，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中充滿積極情感體驗(yàn).心理學(xué)研究表明：學(xué)生在不同狀態(tài)下的學(xué)習(xí)效果是截然不同的.如果學(xué)生具有積極的心理狀態(tài)，他們的思維就敏捷，記憶力強(qiáng)，對學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚的興趣.在數(shù)學(xué)拓展課中利用游戲這一特點(diǎn)，開設(shè)拓展課程，表面上是精彩紛呈地玩耍，其實(shí)質(zhì)玩的是數(shù)學(xué)思想與方法，數(shù)學(xué)準(zhǔn)確計(jì)算與嚴(yán)密推理等.通過游戲的活動形式最終提升學(xué)生的思維.

案例3 通過游戲?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)

游戲1 有2疊數(shù)量相等的撲克牌,甲、乙輪流在其中任意一疊取撲克牌(每次取牌數(shù)量不限,但不能不取),規(guī)定：取到最后一張牌者為勝.這個游戲的輸贏和取牌的先后有關(guān)系嗎？為什么？

游戲2 有2疊數(shù)量不等的撲克牌,甲、乙輪流在其中任意一疊取撲克牌(每次取牌數(shù)量不限,但不能不取),規(guī)定：取到最后一張牌者為勝.這個游戲的輸贏和取牌的先后有關(guān)系嗎？為什么？

游戲3 用12(或11)張撲克牌擺成一個圓圈，甲、乙輪流從中取1張或2張牌，若取走的是2張,則這2張必須相鄰，規(guī)定：取走最后一張牌者為勝.這個游戲的輸贏和取牌的先后有關(guān)系嗎？為什么？

游戲4 有一排燃著的蠟燭，游戲規(guī)則為：1)甲、乙輪流任意選其中一支燃著的蠟燭，把它吹熄，同時所選的蠟燭及相鄰的2支都被一起吹熄，每次輪流到只給1次吹的機(jī)會；2)吹滅最后一支蠟燭者為勝.這個游戲的輸贏和吹蠟燭的先后有關(guān)系嗎？為什么？

教學(xué)解讀 教師利用多媒體技術(shù)創(chuàng)設(shè)吹蠟燭游戲，為了破解這個游戲，設(shè)置3個層層遞進(jìn)的游戲，游戲3對后取牌者有利，后取牌者只要在先取牌者后面保持?jǐn)?shù)量相等地取牌，這樣后取牌者沿直徑方向把圓形撲克牌化歸成2疊數(shù)量相等的撲克牌，轉(zhuǎn)化成游戲1；同樣，2疊數(shù)量不等的撲克牌對先取牌者有利，先取牌者只要取走較多一疊中多余的牌，化不等為相等也轉(zhuǎn)化成游戲1；而游戲1特殊化是2疊數(shù)量相等各1張，對后取牌者有利.把這種同一經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)活動應(yīng)用到不同背景的游戲中去，在這一過程中教師注重每一次游戲后的反思和總結(jié)，積累更一般、更有效、更抽象的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).這樣用相同的經(jīng)驗(yàn)和方法去做不同的事情，通過活動經(jīng)驗(yàn)概括、抽象、重復(fù)操作應(yīng)用，上升到數(shù)學(xué)思想方法，并同時把這種有效的數(shù)學(xué)思想方法和策略遷移到數(shù)學(xué)解題中去.

讓玩耍的好奇變成深刻的思考，揭密游戲中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與方法，在玩耍和對策中提升人的思維品質(zhì).通過游戲的形式改善學(xué)習(xí)，或者通過游戲體驗(yàn)，把這一體驗(yàn)性的操作及其活動經(jīng)驗(yàn)介紹給同伴，分享游戲奧秘，介紹做游戲的經(jīng)驗(yàn)，把游戲中的活動經(jīng)驗(yàn)通過抽象、概括提煉更一般的數(shù)學(xué)思想方法，然后把數(shù)學(xué)思想方法遷移到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上，進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)，從而促進(jìn)學(xué)生更好地學(xué)習(xí).有人說:“教育的本質(zhì)，就是一個人把在學(xué)校所學(xué)全部忘光后剩下的東西.”那么數(shù)學(xué)教育中忘光后剩下的又是什么呢？對于這一點(diǎn)，日本數(shù)學(xué)教育家米山藏國曾說：“學(xué)生們在初中或高中所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識,在進(jìn)入社會后,幾乎沒有什么機(jī)會應(yīng)用,因而作為知識的數(shù)學(xué),通常在出校門的1～2年就忘掉了,然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作,那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法,卻長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著重要的作用.”追尋數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)該是有思想的教學(xué)，有了思想才有課堂的生命力.拓展課中通過玩游戲領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想方法，并把這種思想方法遷移到解數(shù)學(xué)題中去，讓學(xué)生學(xué)會解題、學(xué)會學(xué)習(xí).

4 對拓展性課程的思考

4.1 為什么要開設(shè)拓展性課程

義務(wù)教育課程分為基礎(chǔ)性課程和拓展性課程.基礎(chǔ)性課程指國家和地方課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的統(tǒng)一學(xué)習(xí)內(nèi)容；拓展性課程指學(xué)校提供給學(xué)生自主選擇的學(xué)習(xí)內(nèi)容.基礎(chǔ)性課程是大眾化、統(tǒng)一格式、統(tǒng)一內(nèi)容的課程；而拓展性課程讓不同的學(xué)生有不同的發(fā)展，加強(qiáng)自主性、選擇性，尊重學(xué)生的個性化發(fā)展.拓展性課程是為了改善學(xué)生學(xué)習(xí)或生活的環(huán)境，增加學(xué)生的自主選擇性，讓學(xué)生感覺到在校生活充滿樂趣，它在基礎(chǔ)性課程保底的基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)展.拓展性課程不是為不同的學(xué)生開小灶，而是為不同的學(xué)生提供和創(chuàng)設(shè)不同層次的服務(wù).同時拓展性課程是基礎(chǔ)性課程必要的補(bǔ)充,例如基礎(chǔ)性課程中的課題學(xué)習(xí)，教師通過層層鋪墊，一問一答，像平常課一樣指引或牽著學(xué)生學(xué)習(xí)，沒有讓學(xué)生經(jīng)歷問題意識，沒有放手讓學(xué)生自主實(shí)踐，沒有引導(dǎo)對教材中的問題進(jìn)行深層次的反思或質(zhì)疑等，這些都是基礎(chǔ)性課程的缺陷.因此,拓展性課程在不增加學(xué)生負(fù)擔(dān)的情況下，要基于不同層次的學(xué)生開設(shè)相應(yīng)的課程，從而更好地改善基礎(chǔ)性課程.

4.2 拓展性課程主體的定位

拓展性課程主體性的定位，即為誰而開設(shè)？是為數(shù)學(xué)困難生而開設(shè)，還是為數(shù)學(xué)的優(yōu)秀生而開設(shè)？上述案例從某一個方面也較好地回答了這些問題.根據(jù)《浙江省教育廳關(guān)于深化課程改革的指導(dǎo)意見》：拓展課是學(xué)校提供給學(xué)生自主選擇的學(xué)習(xí)內(nèi)容，是滿足學(xué)生差異化、個性化的發(fā)展，同時強(qiáng)調(diào)義務(wù)教育的基礎(chǔ)性、全面性和公平性，開發(fā)和培育每一位學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能和特長，讓每一位學(xué)生愉快地學(xué)習(xí)、幸福地成長.因此拓展性課程服務(wù)于每一個學(xué)生，對于數(shù)學(xué)困難生同樣可以開設(shè)拓展性課程，對他們進(jìn)行學(xué)業(yè)指導(dǎo)、學(xué)法指導(dǎo)，介紹學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)他們更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，對部分?jǐn)?shù)學(xué)困難生還可以進(jìn)行學(xué)業(yè)干預(yù)；對于數(shù)學(xué)英才生，開設(shè)拓展性課程對他們進(jìn)行數(shù)學(xué)觀念的引領(lǐng)，從而達(dá)到數(shù)學(xué)核心修養(yǎng)的提升，如案例1～2；對于數(shù)學(xué)成績中等或者平常的學(xué)生，同樣可以開設(shè)數(shù)學(xué)拓展性課程，如案例3，以游戲?yàn)檩d體，通過玩游戲活動，提升數(shù)學(xué)思想方法，并把這種思想方法遷移到數(shù)學(xué)解題中去.

4.3 拓展性課程的拓展方向和拓展內(nèi)容

數(shù)學(xué)拓展課和義務(wù)教育基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程有什么區(qū)別？數(shù)學(xué)拓展課應(yīng)拓展什么？拓展課程是不是就是“難題+趣題”？課本上的內(nèi)容已經(jīng)讓學(xué)生耗去不少精力，拓展課所開發(fā)的內(nèi)容是否會給學(xué)生增加更多的負(fù)擔(dān)呢？這些問題都縈繞開設(shè)拓展課的教師們，案例1～3從某一方面作了較好地回答：如案例1～2中，學(xué)生在學(xué)習(xí)完等式性質(zhì)和解方程后，加強(qiáng)對等式性質(zhì)的再認(rèn)識，教師讓學(xué)生反過來思考：等式性質(zhì)這個工具很好用，這個工具從哪里來，從而培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑的精神和思維的批判性；又如學(xué)習(xí)三角形全等后，讓學(xué)生通過對全等三角形判定的基本事實(shí)進(jìn)行證明，發(fā)展學(xué)生的公理化思維水平.質(zhì)疑和批判性思維是人的理性思維必不可少的品質(zhì)，在數(shù)學(xué)史中因質(zhì)疑和批判推動數(shù)學(xué)向前發(fā)展，如古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的希帕索斯對可公度的質(zhì)疑，使他發(fā)現(xiàn)無理數(shù)；英國大主教貝克萊對牛頓微分的質(zhì)疑，導(dǎo)致微積分建立嚴(yán)格的理論體系.在基礎(chǔ)課程中，沒有讓學(xué)生經(jīng)歷反思、質(zhì)疑和批判，而

除了基于學(xué)生所學(xué)內(nèi)容外，也可創(chuàng)設(shè)有價值的數(shù)學(xué)活動，以數(shù)學(xué)活動為載體，對學(xué)生進(jìn)行一般觀念和思想的引領(lǐng)，那么數(shù)學(xué)觀念引領(lǐng)從哪里找？從數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化中去找.幾千年來，數(shù)學(xué)家為人類貢獻(xiàn)了他們的思想和思維方式,數(shù)學(xué)家曾經(jīng)遇到的困難，現(xiàn)在的學(xué)生或多或少也遇到過，這也是歷史相似性.從數(shù)學(xué)文化上吸取營養(yǎng)，吸取思想方法，他們是怎么想的？對我們有什么啟發(fā)？這就是文化的融合和數(shù)學(xué)欣賞，包括當(dāng)下拓展課程中的數(shù)學(xué)趣題、數(shù)學(xué)游戲都是從數(shù)學(xué)文化中來.

數(shù)學(xué)拓展性課程作為基礎(chǔ)教育的補(bǔ)充，在發(fā)展和完善人的思維、形成人們認(rèn)識世界的態(tài)度和方法、滿足差異化和個性化的發(fā)展等方面起著重要的作用.學(xué)生因課程而生發(fā)，教師因課程的開設(shè)而成長，開設(shè)拓展性課程也是開創(chuàng)我們的未來，讓我們在課程的理念和現(xiàn)實(shí)的教學(xué)中間努力而求索.

[1] 人民教育出版社.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)(7年級上冊)[M].北京：人民教育出版社，2012.

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浙派名師名校長培養(yǎng)工程第二輪課題(123)

張安軍(1975-)男，浙江臺州人，中學(xué)高級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

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