●楊玉坡

(英雄山中學 山東泰安 271000)

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善于“捕捉”特征 尋找解題途徑*

●楊玉坡

(英雄山中學 山東泰安 271000)

一個數(shù)學問題，往往表現(xiàn)出或隱含著諸如：數(shù)字、位置、圖形、結(jié)構(gòu)、差異等特征，解題時若善于“捕捉”這些特征，則有利于尋找到快速解決問題的途徑.

捕捉;特征;尋找;解題;途徑

一個數(shù)學問題，無論是條件、結(jié)論，還是數(shù)字、直觀圖像、整體結(jié)構(gòu)等，往往表現(xiàn)出或隱含著某種特征.解題時，若善于分析、捕捉這些特征，并由此進行分析、變換、聯(lián)想、構(gòu)造，不僅有利于提高解題決策的敏捷性、尋找到快速解題的途徑，而且可以有效地優(yōu)化問題解決的過程.下面從幾個方面來闡述，供參考.

1 “數(shù)字”特征

數(shù)學離不開“數(shù)字”，巧合的數(shù)字、共性的特征，看似偶然，往往暗含著對解題起導向作用的必然.只要善于觀察、分析，從數(shù)字本身的變化、數(shù)字與數(shù)字之間的聯(lián)系就能尋找解題的切入點[1].

例1 已知正數(shù)a,b滿足ab=4，求證：

即

( )

(2012年重慶市數(shù)學高考文科試題第5題)

分析 17°,47°暗含了特征47°-17°=30°，也暗含了本題可轉(zhuǎn)化利用30°進行解題.

故選C.

點評 本題若分析不到位，則很難發(fā)現(xiàn)和利用數(shù)字(角)特征“47°-17°=30°”，從而解題思維受阻或無從下手.

2 “位置”特征

與圖形(像)有關(guān)的一些數(shù)學問題都有它特定的位置關(guān)系，從與眾不同的位置關(guān)系上尋找解題的切入點，可以明確解題方向，甚至可以收到不攻自破的解題效果.

例3 若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln(x+1)的切線，則b=______．

(2016年全國數(shù)學高考理科試題第6題)

分析 從2條曲線的公切線入手，建立方程組求解.

解 設(shè)曲線y=lnx+2上切點的橫坐標為x1，則切線方程為

設(shè)曲線y=ln(x+1)上切點的橫坐標為x2，則切線方程為

依題意可得

解得

故

b=lnx1+1=1-ln2．

點評 解決本題的關(guān)鍵是抓住“直線y=kx+b是2條曲線的公切線”這一位置特征.

例4 已知變量x，y滿足約束條件

若直線y=k(x-1)將可行域分成面積相等的2個部分，則目標函數(shù)z=kx-y的最大值為______.

圖1

z=kx-y=-3x-y.

平移直線-3x-y=0，易知當直線z=-3x-y經(jīng)過直線x-y+3=0與直線x+y-1=0的交點C(-1,2)時，z=-3x-y取得最大值，且zmax=1.

點評 本題若不能夠發(fā)現(xiàn)直線恒過定點這一位置關(guān)系，則很難處理好直線y=k(x-1)將可行域分成面積相等的2個部分，也就無法順利解題.

3 “圖形”特征

一些抽象的數(shù)量關(guān)系，若轉(zhuǎn)化為具體的圖形問題，從圖形特征中尋找解題的切入點，則思路直觀、清晰，有利于快速解題.

( )

分析 若用代數(shù)方法，設(shè)出直線l的方程，與雙曲線方程聯(lián)立后，利用判別式Δ≥0求解，則過程冗繁.若充分利用圖形特征，則可使問題快速解決.

于是

即

e2>4,

亦即e>2.故選D.

點評 若能對所求數(shù)學問題既分析其代數(shù)含義又挖掘其幾何背景，也就是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結(jié)合起來，在代數(shù)與幾何的結(jié)合中找出解題思路，則十分方便.求解圓錐曲線的離心率時，常利用平面圖形的性質(zhì)，利用圖形特征使問題化難為易.

(2014年山東省數(shù)學高考理科試題第5題)

點評 本題將新定義的問題巧妙地遷移、轉(zhuǎn)化為“直線與圓的位置關(guān)系”問題求解，可以看出這種構(gòu)造應(yīng)用具有創(chuàng)造性.

4 “結(jié)構(gòu)”特征

數(shù)學問題條件或結(jié)論中常常隱含著某種特殊的關(guān)系，善于洞察并加以分析、加工和轉(zhuǎn)化，可迅速找到問題解決的切入點.

例7 設(shè)x,y為實數(shù)，且滿足

則x+y=______.

分析 條件中2個方程左邊的結(jié)構(gòu)形式相同，為此構(gòu)造函數(shù)f(x)=x3+2 017x，并討論其單調(diào)性和奇偶性即可達到解題的目的.

解 由已知，方程組可變形為

f(x-1)=f(1-y),

即

x-1=1-y，

亦即

x+y=2.

點評 若按常規(guī)方法求解此題，難度較大，甚至無法入手.這里通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性轉(zhuǎn)化求解，方法巧妙，且過程簡潔.

1)求證：點P的縱坐標為定值，并求出這個值；

解 1)因為點P為P1P2的中點，所以

2)由x1+x2=1，得

y1+y2=f(x1)+f(x2)=1.

1+1+…+1+2f(1)=

即

點評 本題在求和時，運用了第1)小題所得等式f(x)+f(1-x)=1得到通項的特征，即

由于距首末2項等距的2項相加和為定值，從而可以用倒序相加法求和.

5 “差異”特征

條件是解題的基礎(chǔ)和依據(jù)，結(jié)論是解題的目標.善于捕捉條件和結(jié)論之間的“差異”關(guān)系，并以此啟動和確定解題的切入點.

分析 條件中給出了2個“不等量”關(guān)系，結(jié)論探求的是“等量”關(guān)系.通過對這一差異 “點”的分析，獲知解題的切入點就是化“不等”為“等”.

解 因為Sn≤n2+n-1，所以

S1=a1≤12+1-1=1，

即a1≤1.

(1)

又a1>0，從而

(2)

故由式(1)和式(2)可得a1=1.

由Sn≤n2+n-1，即

(3)

因為

[12+22+…+(n-1)2]d2=

從而

(2n-1)d2+6d-8(n+1)≥0，

即

d-2≥0,

即d≥2，

(4)

故由式(3)和式(4)可得d=2.

點評 本題通過對“等”與“不等”的差異點進行分析和轉(zhuǎn)化，使得不等式中的夾逼法則(如果實數(shù)x,a滿足a≤x≤a(即x≥a且x≤a)，則必有x=a)在本題中起了重要的作用.

[1] 尹承利．例說尋找解題切入點的途徑[J]．中學數(shù)學研究，2003(5)：25-27．

?2016-09-30；

2016-10-31

楊玉坡(1981-)，男，山東泰安人，中學一級教師.研究方向：數(shù)學教育.

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1003-6407(2016)12-18-04