新疆喀什市兵團(tuán)農(nóng)三師第一中學(xué) 袁紅霞

辯證審題，多方出擊

新疆喀什市兵團(tuán)農(nóng)三師第一中學(xué) 袁紅霞

數(shù)學(xué) 辯證 審題

數(shù)學(xué)王國里處處充滿了辯證法，尤其是數(shù)學(xué)解題更離不開辯證法.從審題這個初始環(huán)節(jié)就應(yīng)以辯證的眼光來看待新遇到的問題.唯有這樣，才有可能較圓滿地解答問題.下面先從一個極小的例子說起.

例1，用簡便的方法求出下列式子的值：①992②102

①解法1：992=（100-1）2

=1002-2×100×1+12

=10000-200+1=9801

解法2：992=992-12+12

=（99+1）（99-1）+1

=100×98+1=9801

②解法1：1022=（100+2）2

=1002+4×100+22

=10000+400+4=10404

解法2：1022=1022-22+22

=（102+2）（102-2）+4

=104×100+4=10404

說明：以上題中的解法1分別將99與102視為地地道道的完全平方形式，于是均采用完全平方公式的知識來解決；而對于各題的解法2，卻出奇地將99與102看成是一個代數(shù)式的殘余形式.大多數(shù)人的解法傾向于解法1，只有少數(shù)人采用解法2來完成解題.從這點(diǎn)上來看，人們側(cè)重了完全形式，時常忽略殘存形式.從而導(dǎo)致解題思路狹窄，降低了解題能力.為了進(jìn)一步闡述我們的觀點(diǎn)，不妨再舉一例試試.

由于審題角度不同，所引的輔助線也不相同，因此證明的方法也不一樣.

證法1，如圖1，作EG∥FC交BC于G.

（注：其中輔助線EG分別是△DAC與△BCF的公共“橫梁”，也是聯(lián)系已知條件的橋梁，更是構(gòu)造雙“A”型基本圖形的例子）.

圖1

圖2

證法2，作EG∥BC交AC于G（如圖2）

(注：所引輔助線EG顯然是△DAC與△FBC中的公用“橫梁”，且仍為已知條件和待證結(jié)論的橋梁，還是構(gòu)造雙“A”型基本圖形的范例).

證法3，作DG∥BF交AC于G（如圖3）

(注：可以看出輔助線DG是“A”型△CBF的“橫梁”，同時又是“A”型△ADG的“底邊”.是連接已知條件和所求式子的橋梁).

圖3

圖4

證法4，作DG∥AC交BF于G（如圖4）

(注：顯然輔助線 DG既是“A”型△BCF的“橫梁”，又是“Z”型圖型的一邊.因此，它是架起已知條件和所求式子的橋梁).

證法5，作AG∥BC交BF的延長線于G（如圖5）

（注：輔助線AG是凹四邊形ABCG的一邊，但同時它又是雙“Z”型AEBDG與AFBCG的公共邊.因而它是溝通已知條件與待證式之間的一座橋梁）.

圖5

證法6，作AG∥BF，交CB的延長線于G（如圖6）

圖6

(注：輔助線AG是雙“A”型△CAG與△DAG的“底邊”，它也起到了聯(lián)結(jié)已知條件和所求目標(biāo)式子的紐帶作用).

證法7，作BG∥AC交AD的延長線于G（如圖7）

圖7

（注：不難看出新引輔助線BG是雙“Z”型ABGEF和ABGDC的公共邊，它鋪設(shè)了已知條件和待證式子之間的一條通道）.

由上述幾種不同證法中獲悉，前四種證法當(dāng)中，皆把△ABC當(dāng)成一個完整的圖形，從而引輔助線都從△ABC的內(nèi)部來著手考慮；然而后面三種證法恰恰把△ABC視為凹四邊形ABGC或△AGC的殘缺部分，因此新添加的輔助線是從△ABC的形外部分入手的.這是全面審視△ABC所處的位置來做出的判斷.

此外，在如何添加輔助線的方法上，需要考慮的因素是該輔助線是否既能與線段AE,AD聯(lián)系上，又能與線段BD, DC聯(lián)系到一塊.即該輔助線必須滿足它是雙“A”型三角形的某一公共部分，或者是雙“Z”型圖形中的某一公共線段，再或者是“A”型與“Z”型混合型圖形的公共部分.若違反了這個原則，則所引的輔助線將不能幫助人們順利地達(dá)到證明目標(biāo).

此上是我們的一點(diǎn)膚淺感悟，懇請大家提出寶貴意見，指明方向，以求更加深刻地認(rèn)識事物.