熊智敏,王黨衛(wèi),馬曉巖

(空軍預(yù)警學(xué)院 三系,武漢 430019)

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中段彈頭IMM-EKF跟蹤方法及性能分析

熊智敏,王黨衛(wèi),馬曉巖

(空軍預(yù)警學(xué)院 三系,武漢 430019)

為了提高中段彈頭跟蹤收斂速度以及跟蹤精度,提出了一種基于交互多模型(IMM)的擴展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter,EKF)的跟蹤算法。基于中段彈頭加速度變化特點,建立了目標(biāo)的中段系統(tǒng)動力學(xué)模型及量測模型,通過引入速度測量值,使用IMM-EKF算法對中段目標(biāo)進行跟蹤。仿真結(jié)果表明,通過交互多模的非線性濾波算法,可以使中段跟蹤收斂速度大為加快,速度測量值的引入也使得跟蹤精度有所提高,并在彈頭中段與再入段銜接處有較好的跟蹤性能；驗證了IMM-EKF跟蹤中段彈頭的有效性。

中段彈頭跟蹤;交互多模型;擴展卡爾曼濾波

彈道導(dǎo)彈預(yù)警探測是關(guān)乎國家戰(zhàn)略安全的重要課題,對其精確跟蹤是當(dāng)前雷達技術(shù)領(lǐng)域的一個熱點和難點。在彈道導(dǎo)彈發(fā)射到最終著地過程中中段飛行是雷達探測該類目標(biāo)最為有利的跟蹤階段,導(dǎo)彈中段運動在導(dǎo)彈整個運動過程中飛行時間最長,僅受地球引力的作用,沒有空氣阻力和其他攝動力,彈頭從彈體分離后常呈現(xiàn)加速飛行的特點,目標(biāo)運動狀態(tài)和雷達量測狀態(tài)均非線性變化。同時,近年來,變軌技術(shù)的不斷成熟,導(dǎo)彈中段飛行時也可進行機動,加速度會產(chǎn)生明顯的變化,這使得彈頭的運動軌跡更為復(fù)雜,利用雷達對其精確跟蹤更為困難。

雷達對中段彈頭的跟蹤是一個連續(xù)的非線性濾波過程,目前雷達對這類目標(biāo)常用的跟蹤算法主要有量測流線型迭代的EKF、解耦的Kalman濾波器、α-β濾波器、混合α-β濾波器、耦合的Kalman濾波器以及自適應(yīng)Kalman濾波器等[1-4]。文獻[1～2]通過使用分段常加速模型描述彈頭的目標(biāo)運動,并進而在笛卡爾坐標(biāo)系下進行目標(biāo)跟蹤。由于跟蹤濾波過程中使用單一目標(biāo)運動模型,因此,難以實現(xiàn)彈頭變加速度運動特性的精確描述,進而導(dǎo)致跟蹤收斂、精度下降的問題。文獻[3～4]則提出了通過狀態(tài)的可變維濾波器實時估計和自適應(yīng)Kalman濾波跟蹤方法,但由于狀態(tài)的可變維濾波器實時估計需要精確的彈道參數(shù),因此,跟蹤濾波的魯棒性較差。為了更為精確地描述彈頭運動狀態(tài),文獻[5～8]采用了基于地球動力學(xué)系數(shù)J2的標(biāo)準(zhǔn)橢球地球重力模型,通過位置、速度函數(shù)可表示彈頭的加速度的特性,進而使用Singer模型和“當(dāng)前”統(tǒng)計模型(CS)模型來實現(xiàn)中段彈頭的精確跟蹤。然而,Singer模型僅適用于勻加速運動的描述,對變加速運動描述誤差較大,而CS模型則與之相反,對變加速運動的描述更為精確,對勻加速的描述誤差較大,因此,單獨使用一種運動模型難以實現(xiàn)中段彈頭的精確跟蹤。

交互多模(interaction multiple model,IMM)算法是廣義偽Bayes基礎(chǔ)上提出的一種基于Markov轉(zhuǎn)移概率的跟蹤算法,通過多個目標(biāo)運動模型的交互來提高復(fù)雜運動目標(biāo)的跟蹤精度。IMM算法的主要思想是基于當(dāng)前各個模型與實際運動匹配程度,通過改變各模型自濾波值在最終濾波值中的比重,來提高不同運動狀態(tài)的跟蹤精度,因此,該算法為提高中段彈頭的精確跟蹤提供了可能。文獻[9]提出了基于Singer模型和CS模型的IMM-UPF中段彈頭跟蹤濾波算法,同時在目標(biāo)模型和跟蹤算法2個方面進行交互,并獲得了較高的跟蹤精度。但需要指出的是,文獻[9]提出的方法交互更為復(fù)雜,且對模型精確度的依賴程度更高。針對上述問題,為了提高中段彈頭跟蹤收斂速度以及減少誤差,本文建立了標(biāo)準(zhǔn)橢球地球重力模型下彈頭中段運動加速度數(shù)學(xué)模型和雷達球坐標(biāo)系量測方程,并結(jié)合中段彈頭的運動特點,通過引入速度測量值,提出了基于Singer模型和CS的IMM-EKF中段彈頭跟蹤濾波算法。類似于文獻[9]已有算法,本文提出方法通過2種不同運動模型進行中段彈頭的交互跟蹤,實現(xiàn)了對存在變加速機動的中段彈頭目標(biāo)的準(zhǔn)確跟蹤,但與之不同,本文提出算法由于速度測量值的引入加快了跟蹤濾波算法的收斂速度,使得濾波過程對初始值變化不敏感,算法更為穩(wěn)健。

1 中段彈頭運動及測量模型

1.1 運動模型

彈道導(dǎo)彈發(fā)射飛行一段時間后彈頭從彈體分離并進入中段飛行階段,在地球重力作用下呈加速飛行狀態(tài)。由于雷達對彈頭的跟蹤作用距離較長,且地球?qū)嶋H為橢球形狀,因此,通過在標(biāo)準(zhǔn)橢球地球重力模型中加入地球形狀動力學(xué)系數(shù),用來實現(xiàn)彈頭運動模型的精確描述。為了使用橢球地球重力模型對中段彈頭軌跡進行建模,建立圖1所示的雷達站心坐標(biāo)系(earth-fixed coordinate system)OeXeYeZe,是常用非慣性系,其中Oe為站心,OeXe和OeYe分別指向東和北,OeZe垂直于地面,也稱為東北天坐標(biāo)系(ENU),是常用非慣性系。假定雷達站地理精度為L,大地緯度為B,大地高程為H。P為目標(biāo)彈頭位置,r為彈頭到站心距離向量,雷達站ENU下位置矢量rr=(xryrzr)T,地球半徑Re=6 378 137m。

圖1 雷達站心坐標(biāo)系

設(shè)ρ為地心到雷達站距離矢量,ρ=(00Re+H)T,于是,可得到站心坐標(biāo)系(ENU)下目標(biāo)加速度模型[9]:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

很明顯,由式(6)可以看出,由于中段飛行過程中彈頭運動軌跡是一個近似橢圓的部分弧段,且其加速度量隨彈頭位置的改變而變化,通過彈頭加速度模型可看出其可表示為彈頭空間坐標(biāo)與速度的函數(shù),即加速度是由速度與位置的非線性函數(shù)所決定,這表明彈頭中段存在變加速運動可能。

1.2 量測模型

(7)

對式(7)進行離散化得到:

(8)

(9)

式中:I3×3為單位矩陣,O3×3為零矩陣。其中量測方程為非線性形式[10]:

Z(k)=h(Xk)+ω(k)=

(10)

(11)

(12)

(13)

因此,量測噪聲協(xié)方差矩陣可以表示為

(14)

(15)

2 基于IMM-EKF算法目標(biāo)跟蹤

目標(biāo)跟蹤是一個典型的非線性濾波問題,目標(biāo)運動模型準(zhǔn)確度是決定濾波性能的關(guān)鍵因素。Singer模型是一種零均值、一階時間相關(guān)的機動加速度運動模型,其將目標(biāo)的機動看作為隨機噪聲驅(qū)動所造成的,且假設(shè)機動加速度服從一階的時間相關(guān)過程,可描述勻加速運動的機動目標(biāo)運動狀態(tài)。另一方面,CS模型則假設(shè)目標(biāo)加速度服從修正的瑞利分布,能更為精確描述目標(biāo)發(fā)生機動變化的真實情形,實現(xiàn)高機動目標(biāo)的精確跟蹤。而按照前文所給出的中段彈頭加速度模型,彈頭加速度會隨彈頭空間位置變化而變化,其運動模型較為復(fù)雜,不同空間位置表現(xiàn)出不同的加速度特性,既包含了勻加速運動狀態(tài)又包含了變加速度機動運動狀態(tài),因此,對其跟蹤時采用單一運動模型不能完整表達彈頭運動方程的特點,應(yīng)采用不同的運動模型對不同運動狀態(tài)進行描述?；谶@一考慮,本文提出了基于Singer和CS模型的IMM-EKF中段彈頭跟蹤濾波算法。

(16)

此處,采用含速度測量誤差[12]:

(17)

Y(k)=Fj(k)Y(k-1)+DaE(k)+ωj(k)

(18)

式中:j=1,2;ωj(k)為k時刻過程噪聲,其是均值為零、協(xié)方差矩陣為Qj的離散時間白噪聲序列;D為常數(shù)矩陣;aE(k)為離散加速度;Fj(k)為模型j的過程矩陣,可分別由Singer模型和CS模型來得到。

對于Singer模型而言,由于加速度a(k)的中段Singer模型對應(yīng)的離散時間動態(tài)方程為

(19)

(20)

(21)

交互多模(IMM)算法[13,16]是廣義偽Bayes基礎(chǔ)上提出的一種基于Markov轉(zhuǎn)移概率的跟蹤算法,通過多個目標(biāo)運動模型的交互來提高復(fù)雜運動目標(biāo)的跟蹤精度。IMM算法使用多個運動模型匹配目標(biāo)真實運動模式,基于多個濾波器殘差似然函數(shù)確定每個模型在濾波輸出中的比重,通過加權(quán)求和的方式確定最終的濾波結(jié)果。其主要分為模型交互輸入、多模型并行濾波、模型概率更新以及濾波輸出4個步驟。

設(shè)Y0j(k-1/k-1)為k-1時刻模型j的濾波值,其濾波協(xié)方差為P0j(k-1/k-1),模型j在k-1時刻濾波值在最終濾波輸出中的比重為μj(k-1),假設(shè)共有r個運動模型。則k時刻模型交互輸入為

(22)

[Yi(k-1/k-1)-Y0j(k-1/k-1)]×

[Yi(k-1/k-1)-Y0j(k-1/k-1)]′}

(23)

然后進行模型概率的更新,設(shè)k時刻模型j的濾波殘差為γj(k),其協(xié)方差為Sj(k),則k時刻模型j的可能性為

(24)

設(shè)Y(k/k),P(k/k)分別為k時刻交互式的輸出,則有:

(25)

Y(k/k)][Yj(k/k)-Y(k/k)]′}

(26)

整個IMM算法利用這一遞推過程完成,其算法流程如圖2所示[13]。

IMM算法具有模塊化的特點,對應(yīng)不同應(yīng)用環(huán)境可以采用線性和非線性的濾波算法。量測信息反映在濾波模型概率中,并利用模型概率的變化完成自適應(yīng)調(diào)整。然而采用單模型跟蹤在對非機動、輕微機動和機動較強相結(jié)合的目標(biāo)跟蹤時效果會差,收斂較慢。由于單模型對環(huán)境要求較高,IMM算法的引入能夠使得跟蹤算法在模型間快速切換,有更好的適應(yīng)性,尤其在復(fù)雜運動的情況下,IMM算法的優(yōu)越性更加突出。

圖2 IMM流程圖

3 仿真結(jié)果和分析

為了證實本文所提方法的有效性,設(shè)彈頭中段初始時刻位置觀測量為(-506 148m,-224 446m,56 195m),速度初始量為(1 773m/s,-61m/s,1 760m/s),并利用彈道導(dǎo)彈在中段的運動微分方程和Runge-Kutta積分法[14]生成0～400s時段的仿真彈道,圖3(a)給出了彈頭三維軌道曲線,圖3(b)給出了彈頭速度變化曲線,該彈頭運動模式是變加速過程,其速度是先由快再到慢再到快的過程。

另一方面,設(shè)定觀測雷達位于坐標(biāo)原點,其測距誤差均方差為σR=100m,測角誤差均方差σθ=σφ=0.3mrad,跟蹤數(shù)據(jù)率為10Hz。更進一步,通過給定的誤差方差,基于高斯分布模型隨機產(chǎn)生各觀測時刻距離、方位角誤差數(shù)據(jù),并疊加于仿真彈道,生成雷達對彈頭的測量數(shù)據(jù)。此外,為了對比分析本文提出方法的性能,分別采用EKF與IMM-EKF方法對雷達測量的彈頭數(shù)據(jù)進行跟蹤濾波,并選取均方誤差值(RMSE)δ作為評價指標(biāo),其定義為

圖3 仿真彈道曲線

圖4(a)給出了基于Singer模型濾波均方誤差值,圖4(b)給出了提出的基于CS模型濾波均方誤差值。

圖4 單模型對彈頭跟蹤濾波距離均方差變化曲線

由于彈頭中段運動的過程中加速度變化是連續(xù)的且最大加速度值有限,其機動屬性不確定。Singer模型對于運動目標(biāo)介于勻速及勻加速的運動狀態(tài)跟蹤效果較好。但從仿真結(jié)果可以看出,在進入再入段時,彈頭速度突變,跟蹤效果較差。但是利用CS模型基于當(dāng)前速度的特點,其對彈頭速度反映比較精確,針對進入再入段速度突變情況有較好的反應(yīng)能力。

圖5(a)給出了模擬的彈頭理論軌跡(以下稱為真實軌跡)和仿真的測量軌跡(以下稱為量測軌跡),圖5(b)給出了提出的IMM-EKF算法200次蒙特卡洛仿真濾波得到的濾波軌跡(以下稱為濾波軌跡)和真實軌跡對比圖。可以看出,經(jīng)過提出算法濾波后,濾波軌跡較之量測軌跡誤差明顯減小,更接近于真實軌跡。為了更進一步證實提出的算法,圖6(a)給出了傳統(tǒng)EKF算法(基于勻速運動模型和定義的6維觀測量進行濾波,該算法以下稱為傳統(tǒng)算法)對上述彈道數(shù)據(jù)200次蒙特卡洛濾波仿真距離均方誤差曲線,圖6(b)則給出了提出的IMM-EKF算法蒙特卡洛濾波仿真距離均方誤差曲線。很明顯,對比圖6(a)和圖6(b)結(jié)果可以看出,隨著觀測時段的增加,2種算法濾波獲得的軌跡均方誤差均逐漸減小,且提出的算法明顯優(yōu)于傳統(tǒng)算法,這表現(xiàn)為收斂速度更快,且收斂時跟蹤誤差更小。

圖5 軌跡比較

更進一步,為了測試引入速度測量值對跟蹤性能的影響,在跟蹤過程中不考慮速度測量值,即僅使用位置參數(shù)作為觀測向量,使用提出的IMM-EKF算法對上述量測數(shù)據(jù)進行跟蹤濾波,并與傳統(tǒng)EKF算法的結(jié)果進行對比。圖6給出了提出的IMM-EKF算法不考慮速度測量值時的濾波結(jié)果以及與傳統(tǒng)EKF算法濾波結(jié)果進行對比。由圖6仿真結(jié)果可以看出,隨著觀測時段的增加,算法濾波獲得的軌跡均方誤差均逐漸減小,且提出算法明顯優(yōu)于傳統(tǒng)算法,這表現(xiàn)為收斂速度更快,且收斂時跟蹤誤差更小。提出的IMM-EKF算法不考慮速度測量值時同樣能保持較高的跟蹤精度,但較之考慮速度測量值時收斂速度變慢,這表明本文引入速度測量值能加快濾波收斂速度。引入速度測量值要比不引入速度測量值時的均方根誤差小,且收斂速度快,這是由于速度觀測值提供了有關(guān)目標(biāo)運動的更進一步信息,從而使跟蹤性能得到改善。

圖6 考慮和不考慮速度測量值時3種算法跟蹤濾波距離均方差變化曲線

另一方面,為了測試觀測向量初始狀態(tài)對提出算法的性能影響,在生成的彈頭數(shù)據(jù)初始值中加入距離和速度測量附加誤差,并設(shè)定附加距離誤差均方差σR=150m,附加測速誤差方差σv=0.436m/s。隨后,利用設(shè)定的附加誤差均方差,通過高斯分布模型分別隨機產(chǎn)生附加測量誤差,分別疊加于前文仿真產(chǎn)生的0時刻軌道數(shù)據(jù),并使用提出的IMM-EKF算法和傳統(tǒng)算法進行跟蹤濾波,2種算法濾波跟蹤濾波結(jié)果如圖7所示。

圖7 改變距離與速度誤差時2種算法跟蹤濾波均方誤差曲線

從仿真結(jié)果來看,在彈道初始距離與速度值的測量中增加附加誤差后,傳統(tǒng)EKF算法跟蹤收斂速度變慢,且跟蹤末端存在發(fā)散現(xiàn)象。而與此不同,本文提出的IMM-EKF算法在該情況下收斂速度仍然較快,且在跟蹤末端時刻未出現(xiàn)發(fā)散問題,這說明提出的IMM-EKF算法對觀測向量初始值的改變更不敏感,具有更強的魯棒性。

4 結(jié)束語

針對中段彈頭跟蹤問題,本文基于彈頭中段飛行時加速度變化特點,通過引入速度測量值,提出了一種IMM-EKF跟蹤濾波算法,通過CS模型與Singer模型的相交互,應(yīng)用擴展卡爾曼濾波實現(xiàn)對中段彈頭的可靠跟蹤。研究表明,觀測向量中速度測量值的引入有效加快了跟蹤算法的收斂速度,而通過2個模型的交互,可提高跟蹤精度,且增強了跟蹤過程的魯棒性。此外,需要指出的是,本文采用的交互模型個數(shù)和模式有限,僅對2種模型進行交互,在現(xiàn)有跟蹤技術(shù)基礎(chǔ)上進行了跟蹤仿真實驗,對于更復(fù)雜的機動彈道,現(xiàn)有跟蹤算法的適用性還有待研究。

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Tracking Midcourse Target and Error Analysis

XIONG Zhi-min,WANG Dang-wei,MA Xiao-yan

(The Third Department,Air Force Early Warning Academy,Wuhan 430019,China)

In order to improve the convergence rate and precision of midcourse target tracking,an algorithm based on IMM(Interaction Multiple Model)-EKF(Extended Kalman Filter) was proposed.Based on the variation characteristic of acceleration of midcourse target,three-dimensional target-motion-model and measurements model were built by using velocity measured-value.A comparative analysis between IMM-EKF and traditional EKF was carried out.The simulation results show that IMM-EKF algorithm can improve the convergence rate of midcourse target tracking,and the tracking precision can also be improved by using velocity measured-value.The proposed filtering method has better tracking performance in midocurse,and it is effective.

midcourse target tracking;interaction multiple model;extended Kalman filter

2016-06-21

國家自然科學(xué)基金項目(61179015;61401503)

熊智敏(1992- ),女,碩士研究生,研究方向為彈道導(dǎo)彈建模與跟蹤算法。E-mail:397862505@qq.com。

TN957

A

1004-499X(2016)04-0017-07