郭紅梅,陳維毅,高志鵬

(太原理工大學(xué) 力學(xué)學(xué)院,山西省材料強度與結(jié)構(gòu)沖擊重點實驗室,太原 030024)

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第一眼位神經(jīng)興奮水平下人眼外肌收縮的本構(gòu)模型

郭紅梅,陳維毅,高志鵬

(太原理工大學(xué) 力學(xué)學(xué)院,山西省材料強度與結(jié)構(gòu)沖擊重點實驗室,太原 030024)

為得到人眼外肌收縮的本構(gòu)方程,修正眼球運動系統(tǒng)建模中眼外肌力學(xué)特性的描述,基于第一眼位的靜態(tài)平衡,結(jié)合優(yōu)化方法,并結(jié)合相關(guān)文獻中斜視手術(shù)實驗數(shù)據(jù),用眼外肌的三線模型得到第一眼位神經(jīng)興奮水平下人眼外肌收縮的本構(gòu)方程。用眼外肌的三線模型模擬左眼從鼻側(cè)30°向顳側(cè)20°的水平轉(zhuǎn)動,在此過程中左眼各眼外肌都保持在第一眼位神經(jīng)興奮水平，模擬了兩條水平直肌被剪斷的情況下,左眼被動轉(zhuǎn)動的情況；左眼從鼻側(cè)向顳側(cè)水平被動轉(zhuǎn)動過程中,左眼外直肌的主動力、被動力和總力均呈非線性減小的趨勢,內(nèi)直肌的主動力、被動力和總力均呈非線性增大的趨勢；當眼球處于鼻側(cè)20°到顳側(cè)5°的眼位范圍內(nèi)時,剪斷兩條水平直肌的模擬結(jié)果與前人文獻中的實驗結(jié)果吻合較好；當眼球處于鼻側(cè)20°到顳側(cè)5°的眼位范圍內(nèi)時,眼外肌收縮的本構(gòu)方程有一定的合理性,可用于相應(yīng)的眼球運動模型。本研究為臨床眼科手術(shù)中手術(shù)量的確定提供個性化的理論依據(jù)。

三線模型;本構(gòu)方程;眼球運動

第一眼位是指一個人的頭部豎直固定的情況下其眼睛正視前方的位置[1]。無論是在人眼疾病的診療中還是在眼球運動建模中,第一眼位都是非常關(guān)鍵的眼位[2]。眼外肌力在眼球運動過程中起重要的作用,探究眼外肌力隨眼球運動的變化規(guī)律對眼科臨床有重要的意義。研究第一眼位神經(jīng)興奮水平下6條眼外肌的本構(gòu)方程,可為眼球運動的有限元建模提供參考,進而為臨床眼外肌手術(shù)的術(shù)前預(yù)測[3-4]提供理論依據(jù)。

前人做了很多實驗來研究眼外肌力在眼球水平運動過程中的變化情況。通過侵害性的斜視手術(shù)以及正常志愿者非侵害性的眼外肌實驗,前人已經(jīng)確定了人眼水平固視運動中水平直肌的長度-張力關(guān)系[5-6]。在眼球的水平掃視運動中,水平直肌的等容張力也有報道[7-8]。前人的研究主要集中于水平直肌長度-張力特性的研究,其余4條眼外肌長度-張力特性數(shù)據(jù)的缺乏不利于眼球運動建模及眼外肌疾病中眼外肌手術(shù)量的確定。

對眼球運動建模的前提是要先弄清各眼外肌的長度-張力特性。前人建立的眼球運動模型很多都是用彈性的單線[9-10]來模擬眼外肌的,采取的都是簡化的眼外肌力學(xué)特性。SCHUTTE et al建立了只含4條直肌的眼球運動有限元模型,其中將眼外肌的剛度定義為常數(shù)[11]。近年來,WEI et al[12]對眼球運動的有限元建模中,上下直肌和上下斜肌的長度-張力關(guān)系主要是在水平直肌長度-張力關(guān)系的基礎(chǔ)上,用各眼外肌的橫截面積作比例系數(shù)得出的[12]。在現(xiàn)有的眼球運動模型中,只有水平直肌的長度-張力關(guān)系是由實驗得到的。除外直肌外,其余5條眼外肌的長度-張力關(guān)系(本構(gòu)方程)是本文要研究的主要內(nèi)容。在體實驗實施難度很大的情況下,力學(xué)建模[13-15]是研究生物材料的力學(xué)特性最常用的方法。本文用眼外肌的三線模型(即用3條含長度-張力關(guān)系且橫向相互約束的線來代替眼外肌條帶)[16-17]研究第一眼位神經(jīng)興奮水平下人6條眼外肌的本構(gòu)方程。

1 方法

圖1 第i條眼外肌的三線模型示意圖Fig.1 Diagram of the three-string model of the i-th EOM

圖2 建立有參考坐標系的雙眼運動模型Fig.2 Double-eye movement model with the reference coordinate system

眼外肌的三線模型如圖1所示[16-17],建立參考坐標系如圖2(LR:外直肌;MR:內(nèi)直肌)所示,左眼眼外肌的幾何參數(shù)如表1所示[16,18]。通過對參考文獻中的實驗數(shù)據(jù)[5]進行擬合得到外直肌在第一眼位神經(jīng)興奮水平下的長度-總力關(guān)系和各眼外肌的長度-被動力關(guān)系。假定在第一眼位神經(jīng)興奮水平下,其余5條眼外肌的總應(yīng)力-應(yīng)變曲線可通過對外直肌的總應(yīng)力-應(yīng)變曲線沿總應(yīng)力軸進行微小平移得到?；谘矍蛟诘谝谎畚坏撵o態(tài)平衡,通過優(yōu)化即可得到各眼外肌的總應(yīng)力本構(gòu)方程。模擬COLLINS[5]的眼外肌實驗,將模擬計算結(jié)果與實驗結(jié)果進行對比,驗證所得總應(yīng)力本構(gòu)方程的合理性。用經(jīng)過驗證的總應(yīng)力本構(gòu)方程減去被動應(yīng)力本構(gòu)方程即可得各眼外肌主動收縮的主動應(yīng)力本構(gòu)方程。

表1 左眼眼外肌關(guān)鍵點的坐標(上斜肌的起點指滑車)[16，18]

1.1 眼外肌的總應(yīng)力本構(gòu)方程

基于COLLINS[5]給出的外直肌的總力數(shù)據(jù),結(jié)合表1所示的外直肌的參數(shù)可推導(dǎo)出外直肌在第一眼位神經(jīng)興奮水平下的本構(gòu)方程:

σ1=12.82ε1+0.64exp(-6.53ε1)+0.51 .

(1)

式中:σ1表示外直肌沿長度方向的總應(yīng)力;ε1表示外直肌沿長度方向的應(yīng)變。

在外直肌的三線模型中,第j(j=1～3)條眼外肌線的本構(gòu)方程如下:

σ1j=12.82ε1j+0.64exp(-6.53ε1j)+0.51 .

(2)

根據(jù)前面方法部分的假定即可得其余5條眼外肌的本構(gòu)方程:

(3)

式中:σij0=12.82εij+0.64exp(-6.53εij)+0.51;dσij是待定的微小補充變量,i=1～6依次表示外直肌、內(nèi)直肌、上直肌、下直肌、上斜肌和下斜肌,j=1～3分別為表1所示的各眼外肌線的編號。

對于本文中的三線模型,假定每條眼外肌線的橫截面積均為相應(yīng)眼外肌橫截面積的1/3。因此,在第一眼位神經(jīng)興奮水平下,第i條眼外肌的總力。

(4)

基于前面的假設(shè),式(3)中待定的補充變量dσij相對于σij0應(yīng)該盡量小。因此,可用目標函數(shù)

(5)

來控制補充變量使其最小。

基于眼球在第一眼位的靜平衡,六條眼外肌的力必須滿足方程組(6)所表達的力矩平衡方程:

(6)

用Matlab中的quadprog函數(shù)求目標函數(shù)Φ在滿足方程組(6)時的最小值,進而可得第一眼位神經(jīng)興奮水平下六條眼外肌的總應(yīng)力。本構(gòu)方程如下:

(7)

式中:i=1～6依次表示外直肌、內(nèi)直肌、上直肌、下直肌、上斜肌和下斜肌;b1，b2，b3，b4，b5，b6依次為0.51，0.23，0.87，0.06，0.55，0.43。

1.2 眼外肌總應(yīng)力本構(gòu)方程的驗證

由于人眼外肌的在體實驗很難開展,只有COLLINS[5]的實驗數(shù)據(jù)可與本文的計算結(jié)果進行對照。所以本文用圖1給出的眼球運動模型結(jié)合1.1節(jié)所得眼外肌的總應(yīng)力公式及總力公式,模擬COLLINS[5]將左眼內(nèi)外直肌剪斷后剩余其余四條眼外肌對眼球的阻力實驗,計算將水平直肌剪斷后其余4條眼外肌對眼球的阻力矩,再除以眼球的半徑即可得相應(yīng)的阻力值,最后將模擬結(jié)果與COLLINS[5]的實驗結(jié)果進行對比。

1.3 眼外肌的被動應(yīng)力本構(gòu)方程

基于COLLINS文獻[5,19]中外直肌在第一眼位神經(jīng)興奮水平下的被動力數(shù)據(jù),可將三線模型中外直肌線的被動應(yīng)力σp1j表示為(j=1～3分別為表1所示各眼外肌線的編號):

σp1j=-0.72ε1j+0.29exp(9.03ε1j)-0.18 .

(8)

眼外肌的被動力主要依賴于眼外肌長度的變化,忽略其他因素的影響,認為眼外肌的被動力只與材料本身有關(guān),那么6條眼外肌中各眼外肌線的被動應(yīng)力本構(gòu)方程可依照式(8)描述為:

σpij=-0.72εij+0.29exp(9.03εij)-0.18 .

(9)

式中，i=1～6依次表示外直肌、內(nèi)直肌、上直肌、下直肌、上斜肌和下斜肌。

6條眼外肌中各眼外肌線的被動力為:

(10)

各條眼外肌的被動力可表示為:

(11)

1.4 眼外肌的主動應(yīng)力本構(gòu)方程

由前面所得6條眼外肌線的總應(yīng)力本構(gòu)方程式(7)減去相應(yīng)眼外肌線的被動應(yīng)力本構(gòu)方程式(9)即可得各眼外肌線的主動應(yīng)力本構(gòu)方程如下:

(12)

式中：i=1～6依次表示外直肌、內(nèi)直肌、上直肌、下直肌、上斜肌和下斜??；c1，c2，c3，c4，c5，c6依次為0.69，0.41，1.05，0.24，0.73，0.61。

各眼外肌線的主動力可由下式求得:

(13)

各眼外肌的主動力可由下式求得:

(14)

2 結(jié)果

2.1 眼外肌的總力及總應(yīng)力本構(gòu)方程的驗證結(jié)果

圖3 在第一眼位神經(jīng)興奮水平下左眼各眼外肌的總力Fig.3 Total forces of the EOMs of left eye in the primary innervations

從圖3(LR:外直肌;MR:內(nèi)直肌;SR:上直肌;IR:下直肌;SO:上斜肌;IO:下斜肌;N:鼻側(cè);T:顳側(cè))可以看出,當眼球在鼻側(cè)30°到顳側(cè)20°的轉(zhuǎn)動過程中,內(nèi)直肌和外直肌總力的變化幅度最大。左眼從鼻側(cè)30°向顳側(cè)20°水平轉(zhuǎn)動的過程中,外直肌的總力從440.96 mN非線性地減小為75.93 mN。與此相反,內(nèi)直肌的總力從5.65 mN非線性地增大到308.52 mN。上下直肌的總力在整個眼球運動過程中變化不明顯,各自維持在某一特定值附近。在圖3所示的眼球運動過程中,上直肌的總力在165 mN附近略微波動;下直肌的總力在100 mN附近有微小起伏;上斜肌的總力在180～240 mN之間呈緩慢增大的趨勢;與上斜肌的總力相比,下斜肌的總力上升趨勢較為明顯,從108.60 mN非線性地緩慢上升至216.21 mN。對比除水平直肌外其余4條眼外肌對眼球阻力的計算結(jié)果與COLLINS[5]的實驗結(jié)果,可以看出當眼球處于鼻側(cè)20°到顳側(cè)5°的眼位范圍內(nèi)時,模擬結(jié)果與COLLINS[5]的實驗結(jié)果吻合較好(圖4)。

圖4 除水平直肌外其余4條眼外肌對眼球的阻力Fig.4 Resistance forces from the other four EOMs,except for the horizontal recti

2.2 眼外肌的被動力

圖5 左眼各眼外肌的被動力Fig.5 Passive forces of the EOMs of left eye

從圖5中可以看出,內(nèi)外直肌的被動力在眼球水平運動過程中變化最為明顯。左眼從鼻側(cè)30°到顳側(cè)20°水平運動的過程中,外直肌的被動力從139 mN非線性地快速減小至1.63 mN;與此相反,內(nèi)直肌的被動力則從0.47 mN非線性地上升至75.75 mN;其余四條眼外肌的被動力變化都較小,上直肌的被動力幾乎一直維持在11 mN;下直肌的被動力基本維持在16 mN;上下斜肌的被動力則在6 mN到25 mN的小范圍內(nèi)變化。

2.3 眼外肌的主動力

圖6 在第一眼位神經(jīng)興奮水平下左眼各眼外肌的主動力Fig.6 Active forces of the EOMs of lefteye in the primary innervations

從圖6可以看出,左眼從鼻側(cè)30°向顳側(cè)20°水平運動的過程中,內(nèi)外直肌的主動力變化最為明顯,外直肌的主動力從301.96 mN非線性地減小為74.30 mN;內(nèi)直肌主動力的變化趨勢則正好相反,從5.18 mN非線性地增大到232.77 mN;其余4條眼外肌中,主動力變化最明顯的是下斜肌,下斜肌的主動力從169.32 mN逐漸增大到214.25 mN;上斜肌的主動力在170 mN到215 mN范圍內(nèi)小幅增長;上下直肌的主動力分別維持在150 mN和80 mN附近。

3 討論

6條眼外肌控制著眼球的運動,斜視等眼外肌疾病的治療與眼外肌的本構(gòu)方程有著直接的關(guān)系。而在斜視的治療過程中,第一眼位各眼外肌的力學(xué)特性尤為關(guān)鍵。在水平的內(nèi)斜視和外斜視手術(shù)中,可用內(nèi)外直肌的長度-張力關(guān)系[5]來估計眼外肌的手術(shù)量,但垂直斜視[19]及旋轉(zhuǎn)斜視[20]的手術(shù)治療還需要分別弄清上下直肌和上下斜肌的長度-張力關(guān)系。而前人的研究并沒有明確地給出這4條眼外肌的長度-張力特性。本文旨在研究第一眼位神經(jīng)興奮水平下6條眼外肌收縮的本構(gòu)方程,為眼外肌疾病中眼外肌手術(shù)量的確定提供理論依據(jù)。

本文假定在第一眼位神經(jīng)興奮水平下,其余5條眼外肌的總應(yīng)力-應(yīng)變曲線可通過對外直肌的總應(yīng)力-應(yīng)變曲線沿總應(yīng)力軸進行微小平移得到。以外直肌在第一眼位神經(jīng)興奮水平下的長度-張力數(shù)據(jù)[5]為基礎(chǔ),通過優(yōu)化方程和力矩平衡方程,得到第一眼位神經(jīng)興奮水平下,6條眼外肌的總應(yīng)力本構(gòu)方程。并應(yīng)用三線眼外肌眼球運動模型[16]及本文所得總應(yīng)力本構(gòu)方程及總力公式模擬當內(nèi)外直肌剪斷的情況下,其余4條眼外肌對眼球的阻力實驗[5],并將模擬計算出的結(jié)果與實驗結(jié)果進行對比(圖4)。再結(jié)合眼外肌的被動應(yīng)力本構(gòu)方程求出其主動收縮的本構(gòu)方程?？梢钥闯?圖4),雖然當眼球處于鼻側(cè)20°到顳側(cè)5°的眼位范圍內(nèi)時,兩種阻力結(jié)果非常接近,但隨眼球轉(zhuǎn)動角度的增大,兩者之間的誤差有增大的趨勢。當眼球轉(zhuǎn)到鼻側(cè)30°時,計算結(jié)果為106.34 mN,實驗結(jié)果為132.34 mN,二者誤差是26 mN;當眼球轉(zhuǎn)到顳側(cè)20°時,計算結(jié)果為107.91 mN,實驗值為152.84 mN,二者的誤差為44.93 mN。誤差可能是由于本文所采用的眼眶幾何參數(shù)與實驗[5]所用志愿者的眼眶幾何參數(shù)之間的差異造成的。

本文的計算結(jié)果(圖3,圖5和圖6)表明,在第一眼位神經(jīng)興奮水平下,內(nèi)外直肌力(無論是被動力、主動力還是總力)的變化幅度最大。這是因為在眼球的水平運動過程中,內(nèi)外直肌的長度變化遠大于其余4條眼外肌的長度變化。當眼球從鼻側(cè)30°向顳側(cè)20°轉(zhuǎn)動的過程中,外直肌的各種力呈非線性減小的趨勢,內(nèi)直肌的各種力呈非線性增大的趨勢。分析其原因,眼外肌被動力的變化主要依賴于相應(yīng)眼外肌長度的變化。那么,在眼球從鼻側(cè)向顳側(cè)水平地轉(zhuǎn)動過程中,外直肌的長度逐漸減小,內(nèi)直肌的長度逐漸增大,按照肌肉的被動受力規(guī)律可以直觀地判斷出,外直肌的被動力會隨外直肌長度的減小而減小,內(nèi)直肌的被動力會隨內(nèi)直肌長度的增大而增大。而眼外肌主動力的變化規(guī)律主要依賴于微觀上肌小節(jié)的收縮。

本文在第一眼位神經(jīng)興奮水平下,從外直肌的相關(guān)實驗數(shù)據(jù)得到其余5條眼外肌的本構(gòu)方程,并對其合理性進行了驗證。結(jié)果表明當眼球處于鼻側(cè)20°到顳側(cè)5°的眼位范圍內(nèi)時,本文所得眼外肌收縮的本構(gòu)方程有一定的合理性。所得眼外肌的本構(gòu)方程可為眼球運動建模中各眼外肌力學(xué)特性的選擇提供參考,進而通過建立相應(yīng)的眼球運動模型為臨床上眼外肌疾病患者眼外肌手術(shù)量的術(shù)前預(yù)測提供個性化的理論依據(jù)。

[1] BUCHBERGER M.Biomechanical modelling of the human eye[D].Doctoral Dissertation of Johannes Kepler Universit?t,2004.

[2] GAO Z P,GUO H M,CHEN W Y.Initial tension of the human extraocular muscles in the primary eye position[J].J Theor Biol,2014,353(21):78-83.

[3] GRAEF M,LORENZ B.Strabismus[J].Monatsschrift Kinderheilkunde,2015,163(3):230-240.

[4] JIAO Y,ZHU Y,ZHOU Z,et al.Strabismus surgery distribution during 10-year period in a tertiary hospital[J].Chinese Medical Journal,2014,127(16):2911-2914.

[5] COLLINS C C.Orbital mechanics[M].B-Y-R P,COLLINS CC,HYDE J E.(Eds.), The Control of Eye Movements,New York:Academic Press,1971:283-325.

[6] COLLINS C C,CARLSON M R,SCOTT A B,et al.Extraocular muscle forces in normal human subjects[J].Invest Ophthalmol Vis Sci,1981,5(20):652-664.

[7] LENNERSTRAND G,SCHIAVI C,TIAN S,et al.Isometric forces measured in human horizontal eye muscles attached to or detached from the globe[J].Graefe’s Arch Clin Exp Ophthalmol,2006,244:539-544.

[8] LENNERSTRAND G,BOLZANI R,BENASSI M,et al.Isometric forces development in human horizontal eye muscles and pulleys during saccadic eye movements[J].Acta Ophthalmol,2009,87:837-842.

[9] QUAIA C,OPTICAN L M.Dynamic eye plant models and the control of eye movement[J].Strabismus,2003,11(1):17-31.

[10] QUAIA C,SHAN X,TIAN J,et al.Acute superior oblique palsy in the monkey:effects of viewing conditions on ocular alignment and modelling of the ocular motor plant[J].Progress in Brain Research,2008,171:47-52.

[11] SCHUTTE S,BEDEM S V D.A finite-element analysis model of orbital biomechanics[J].Vision Res,2006,46(11):1724-1731.

[12] WEI Q,SUEDA S,PAI D K.Physically-based modeling and simulation of extraocular muscles[J].Prog Biophys Mol Biol,2010,103:273-283.

[13] 高志鵬,陳維毅.滑車組織在眼球內(nèi)旋運動時維持眼外肌力學(xué)優(yōu)勢的模擬研究[J].醫(yī)用生物力學(xué),2014,6(29):498-503.

[14] 樊瑜波.生物力學(xué)建模及應(yīng)用的幾個研究[J].醫(yī)用生物力學(xué),2013,28:12-14.

[15] LIU M C,WU X L,LIN C X,et al.Construction of a 3D finite element model of temporomandibular joints including the musculoskeletal system[J].Journal Med Biomech,2015,2(30):118-124.

[16] 陳維毅.眼球的運動模型及其臨床應(yīng)用的研究[D].太原工業(yè)大學(xué)博士學(xué)位論文,1996:9.

[17] 陳維毅,楊桂通,吳文周.人體眼球的運動模型及相應(yīng)的動力學(xué)方程組[J].中國生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)報,2000,3(19):266-271.

[18] PASCOLO P,CARNIEL R.From time series analysis to a biomechanical multibody model of the human eye[J].Chaos Solitons Fractals,2009,40:966-974.

[19] CAPUTO R,TINELLI F,BANCALE A,et al.Motor coordination in children with congenital strabismus:effects of late surgery[J].Eur J Paediatr Neuro,2007,11:285-291.

[20] FELIUS J,LOCKE K G,HUSSEIN M A,et al.Photographic assessment of changes in torsional strabismus[J].Journal of AAPOS,2009,13:593-595.

(編輯：朱 倩)

Contractile Constitutive Model of Human Extraocular Muscle in Primary Innervation

GUO Hongmei,CHEN Weiyi,GAO Zhipeng

(College of Mechanics, Shanxi Key Laboratory of Material Strength & Structural Impact,TaiyuanUniversityofTechnology,Taiyuan030024,China)

The purpose was obtaining the contractile constitutive equations of extraocular muscles (EOMs) in order to amend the description of the mechanical properties of EOMs in the modeling of oculomotor system and provide a quantitative prediction to clinical EOM surgery theoretically. Three-string model of EOM and an optimal method were used to obtain the contractile constitutive equations of EOMs in primary position on the basis of the static equilibrium and the previous data from strabismus surgery. The horizontal rotation of left eye was simulated from nasal 30° to temporal 20° by using the three-string model of EOMs, while the EOMs of left eye was kept in primary innervations. And the passively horizontal rotation of left eye, with two horizontal recti detached, was also simulated. The active force, passive force, and the total force of lateral rectus decreased nonlinearly during the simulated eye movement, whereas those of medial rectus increased nonlinearly. When eye rotated from nasal 20° to temporal 5°, the simulation results with two recti detached agreed well with the previous experimental data. When eye rotated from nasal 20° to temporal 5°, the obtained contractile constitutive equations of EOMs were reasonable to a certain degree. And the constitutive equations can be used to establish the corresponding eye movement model, which will provide a personalized theoretical direction to determination of the surgical amount of EOMs in clinical surgery.

three-string model;constitutive equation;eye movement

1007-9432(2016)05-0658-06

2016-03-03

國家自然科學(xué)基金資助項目：眼球功能相關(guān)疾患治療機理的力學(xué)生物學(xué)研究(11032008)，用膠原交聯(lián)術(shù)治療高度近視眼及圓錐角膜的力學(xué)生物學(xué)機理研究(31271005)

郭紅梅(1987-)，女，山西汾西人，博士，主要從事生物力學(xué)研究，(E-mail)guohongmeiguo@sina.com

陳維毅，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事生物力學(xué)研究，(E-mail) chenweiyi211@163.com

R318.01

A

10.16355/j.cnki.issn1007-9432tyut.2016.05.018