于昕濤　趙寶山

臺灣數(shù)學研究現(xiàn)況（上）

于昕濤趙寶山

前期研究概況

1970年以前，臺灣僅有9人獲得數(shù)學博士學位(均為留洋博士)，島內(nèi)只有幾所大學有數(shù)學系，真正從事數(shù)學研究的人極少，且多集中在臺灣中研院數(shù)學研究所。“國科會”（以下稱臺灣科技主管部門）于1965年在臺灣大學出資設立“數(shù)學研究中心”，新竹清華大學和臺灣中研院數(shù)學研究所作為合辦機構，通過擴充研究設施、培育人才、舉辦各種類型的數(shù)學研討會、邀請海外知名專家來臺講學、補助島內(nèi)研究人員赴海外出席國際會議等方式，以此鼓勵島內(nèi)數(shù)學優(yōu)秀青年鉆研數(shù)學，充實師資。1973年又創(chuàng)辦《中國數(shù)學雜志》，提供研究成果的發(fā)表園地。這些措施收到良好成效，奠定了島內(nèi)數(shù)學界研究基礎，特別是在代數(shù)、幾何、分析數(shù)學、應用數(shù)學四大類具有較強的地位。

從1965年起，臺灣“數(shù)學研究中心”連續(xù)舉辦暑期數(shù)學研討會，初期由海外有成就的數(shù)學家回臺灣主持密集課程，以后由于留學海外的臺灣學生陸續(xù)返回，島內(nèi)從事數(shù)學工作的人數(shù)日益增多，自上世紀80年代起改為由島內(nèi)數(shù)學界主持此類研討會，并集中發(fā)表一年來自己的研究成果，相互學習。1985年，該中心舉辦首屆臺美微分方程研討會，1988年又召開臺法微分方程研討會，極大促進與外國同行間的數(shù)學交流。

1983年，該中心改由臺灣科技主管部門直屬，其任務也重新確立為制定島內(nèi)數(shù)學學科的研究發(fā)展方向與重點，逐年策劃及推動數(shù)學領域的長期合作研究，協(xié)助推動改進有關數(shù)學人才培育及數(shù)學教育，吸引海外已有成就而仍積極從事研究的數(shù)學專家學者回臺灣講學研究，舉辦學術性聯(lián)系活動及對相關研究機構提供服務。

根據(jù)臺灣科技主管部門下屬“數(shù)學研究中心”的規(guī)劃安排，將離散過程和大離差及其有關問題及應用作為臺灣中研院和東吳大學的研究重點，數(shù)值計算研究作為臺灣大學、政治大學、臺灣中研院和淡江大學的研究重點，哈地空間和偏微分方程的分析及隨機研究方法作為新竹清華大學、中央大學、成功大學、臺灣大學的研究重點，李氏群離散子群的算術與幾何性質(zhì)研究作為新竹清華大學的研究重點，非線性偏微分方程式研究作為新竹交通大學、新竹清華大學的研究重點，計算器復雜問題研究作為中央大學和臺灣中研院的研究重點。

1986年，該機構改名為“數(shù)學研究推動中心”，隸屬于臺灣科技主管部門下屬“自然科學發(fā)展處”，由該處聘請中心主任，負責提交每年的服務計劃(包括申請學術聯(lián)系費、圖書服務費等)，以協(xié)調(diào)推動島內(nèi)數(shù)學研究發(fā)展，并在每年度結束時，上交計劃成果報告。中心主任定期與各學術小組召集人溝通、協(xié)調(diào)，并主動規(guī)劃訪問各校教授和學術帶頭人，組織開展相關交流活動諸事宜。

這些措施極大促進了島內(nèi)數(shù)學研究快速發(fā)展。根據(jù)1985年的統(tǒng)計，全臺灣共有19所大學先后設立了數(shù)學系或應用數(shù)學系，并設有13個數(shù)學研究所或應用數(shù)學研究所。而僅在1988—1989年的兩年間，就有20所高校新設立了數(shù)學系/所。到1992年，島內(nèi)大專院校數(shù)學系、所的教師與研究人員共有480人，其中獲博士學位者有250人左右，經(jīng)常向臺灣科技主管部門申請研究資助的有95位數(shù)學博士。

表1　2013年臺灣數(shù)學領域SCI論文的世界排名

設立“理論科學研究中心”

為盡快提升臺灣數(shù)學及理論物理學研究水平，1997年8月，臺灣科技主管部門接受楊振寧、丘成桐等多位著名學者的建議，在新竹清華大學校內(nèi)設立“理論科學研究中心”（也稱“北區(qū)中心”），另在臺南市成功大學校內(nèi)設立“南區(qū)中心”，近年又在臺灣大學成立“臺北辦公室”，其任務是吸引杰出的數(shù)學家與理論物理學家加入該中心，鼓勵開展數(shù)學領域與物理領域跨領域合作以及區(qū)域性合作研究，提倡與全球科學家進行國際交流、合作，并以成為亞太地區(qū)最卓越的數(shù)學與物理研究中心為目標。該中心2014年經(jīng)費預算為8000萬元新臺幣，比2013年增加了500萬元。

目前，該中心設有數(shù)學組及理論物理組，每組各有其組主任、科學顧問委員會及學術委員會。其中，數(shù)學組現(xiàn)任代理主任（原主任為來自美國賓夕法尼亞州立大學的李文卿教授）許世壁主攻生物數(shù)學和動態(tài)系統(tǒng)，另一共同主任于靖主攻數(shù)論、代數(shù)和表現(xiàn)理論，數(shù)學組聘請來自島內(nèi)各大學和中研院的著名數(shù)學家（也稱“中心科學家”），如陳宜良（主攻非線性偏微分方程、科學計算）、鄭經(jīng)斅（主攻非線性偏微分方程）、陳冠宇（主攻概率論、統(tǒng)計）、許順吉（主攻概率論、統(tǒng)計）、林文偉（主攻科學計算）、張德?。ㄖ鞴ノ⒎謳缀?、幾何分析）、邱鴻麟（主攻微分幾何、幾何分析）、張介玉（主攻數(shù)論、代數(shù)、表現(xiàn)理論）、朱家杰（主攻科學計算）、班榮超（主攻動態(tài)系統(tǒng)）、石至文（主攻動態(tài)系統(tǒng)）等人，另有十余名博士后及助理研究人員，每年還有數(shù)十位來自各地的訪問學者，他們共同組成十幾個重點研究團隊，除開展各領域研究外，同時也注重探討新的數(shù)學問題，開拓新的研究領域，以達到自我的突破并與國際接軌，為此不斷招聘新的專題研究計劃主持人，要求具有大學數(shù)學系教授或研究員以上資格，并在過去5年內(nèi)曾連續(xù)執(zhí)行臺灣科技主管部門專題研究計劃。

對于三相 SPWM，U相、V相、W 相互差2π/3，均可通過計算得到。根據(jù)以上分析，將采樣計算設計成周期中斷程序，中斷程序流程如圖7所示。

除了各小組個別規(guī)劃該領域的活動外，該中心數(shù)學組還常常開展對外學術交流，舉辦國際性學術會議，邀請島內(nèi)外訪問學者參與重點小組的學術活動。一些著名數(shù)學家還在中心內(nèi)開設長、短期研究生課程，開放給全臺灣所有研究生選修。

自2010年起，該中心數(shù)學組開始統(tǒng)籌舉辦“數(shù)學特別年”活動。每年選定一個主題，結合他們正在承擔的專題研究計劃的人力財力，共同籌組一些具有系統(tǒng)性、規(guī)模較大且有深度的活動，以便更有效地運用中心資源，讓更多人受益，并藉此提升學術品質(zhì)，加強相關領域?qū)W者間的互動與合作。2010年是“數(shù)論特別年”，2011 年的主題是幾何，2012年是應用數(shù)學，2013年則是“代數(shù)幾何與表示論特別年”。

在這一年，由該中心出面邀請外國知名專家學者來臺開設短期課程，并舉辦國際會議，如邀請國際最著名的數(shù)學大師、法蘭西學院的Jean-Pierre Serre教授（全世界唯一獲得菲爾茲獎、沃爾夫獎和阿貝爾獎這三個數(shù)學大獎的學者）來臺灣舉辦講座，同時舉辦“算術幾何與數(shù)論特別周”，邀請島內(nèi)外著名學者專家做學術演講。其中美國普林斯頓大學的張壽武教授做了4小時的特殊系列演講，英國劍橋大學的John Coates教授則開展3周的短期培訓課程，令臺灣同行及學生受益良多。

2014 年又是“數(shù)論特別年”，該中心邀請了加拿大多倫多大學的Kumar Murty教授、美國普林斯頓大學的Manjul Bhargava教授先后來臺講授專題短期課程，并與韓國浦項科技大學合辦數(shù)論研討會，舉辦迄今臺灣最大的數(shù)論會議，主題是計算在數(shù)論中的應用，邀請了許多世界級的大師參與。

該中心數(shù)學組自2012年開始舉辦“與名師相會”系列活動，邀請世界級數(shù)學大師來此訪問，介紹其學術貢獻，并同時向其請教做學問及處事之道。活動內(nèi)容除了演講之外，還有一場論壇，由聽眾自由提問。2013年邀請了英國劍橋大學John Coates教授、法國法蘭西學院的Jean-Pierre Serre教授、美國哈佛大學的姚鴻澤教授，以及臺灣大學的于靖教授共4位名師。2014年受邀的學者為法國巴黎第七大學的Jean-Michel Bismut教授、香港大學的莫毅明教授、美國普林斯頓大學的Manjul Bhargava教授及臺灣中研院的劉太平研究員。

2013年，該中心數(shù)學組還與北京清華大學數(shù)學科學中心簽訂合作備忘錄，同年12月在該中心所舉辦的第三屆華人應用數(shù)學家大會即是此共同合作的活動之一。

數(shù)學研究現(xiàn)狀

如今，臺灣的數(shù)學研究在國際上已小有名氣，特別是在數(shù)值域理論、調(diào)和分析、算子理論和非線性分析理論的研究方面，其論文發(fā)表的質(zhì)與量上皆已達國際一流水準，未來仍會有重要的成果出現(xiàn)。

根據(jù)臺灣科技主管部門下屬“數(shù)學研究推動中心”最新公布的《數(shù)學學門學門規(guī)劃問卷調(diào)查》結果，目前島內(nèi)最活躍的大學數(shù)學系/所約有30余個，擁有專職教授/研究員300多人，副教授/副研究員及助教/助理研究員合起來也有近200人，另外還有數(shù)十位兼職研究人員，每年培養(yǎng)大學生約2000余人，碩士/博士300余人。

這些研究者大多根據(jù)不同地域或研究興趣，分別組合成不同的研究團隊。例如，在古典分析領域，有淡江大學和中央大學合作組成的研究團隊；在泛函分析領域，有新竹交通大學和中山大學合作組成的研究團隊；在調(diào)和分析領域，有新竹清華大學和中央大學合作組成的研究團隊；在非線性分析與凸分析領域，有臺師大、彰師大、成功大學和中山大學合作組成的研究團隊等。

臺灣中研院數(shù)學研究所歷史悠久，其前身是1947?7月成?于昆明的中央研究院數(shù)學研究所，所長為姜?夫，著名研究人員員有陳?身、華羅庚、蘇步青等人，研究范圍為數(shù)論、抽象代數(shù)、級數(shù)論、微分幾何學、?樸學、數(shù)理統(tǒng)計等。

1948年底，該所原有18位研究和行政人員中有4人攜部分圖書資料赴臺。所長姜立夫最初在臺灣大學數(shù)學系做教授，1949年爆發(fā)臺大學運事件后，姜立夫立即回大陸到廣州嶺南大學教書，從此再也沒有回到臺灣，由中研院總干事、前中央大學數(shù)學系系主任周鴻經(jīng)兼任數(shù)學所代理所長。當時因條件所限，只能安頓于臺灣大學的一間教室內(nèi)，除購置圖書及與海外學人保持聯(lián)系外，所內(nèi)研究工作一時陷于停頓。

表2　 臺灣數(shù)學領域重要期刊論文發(fā)表情況

直至1957年臺灣中研院在南港新址“復建”，數(shù)學所才重新開展工作，任用40歲的航空工程專家林致平擔任所長，雖然當時經(jīng)費拮據(jù)，編制又少，但仍培訓了不少年輕數(shù)學人才，為今后的發(fā)展奠定了基礎。

此后，劉世超和許振榮先后繼任所長。1970年，前臺灣大學數(shù)學系教授周元燊接任所長。在他們的艱苦努力下，極力向臺當局爭取擴增員額和經(jīng)費，并開展機率論及統(tǒng)計學的研究，同時也適時實行數(shù)學推廣及支持島內(nèi)數(shù)學教育的改革。1978年，由曾在美國普林斯頓高等研究院工作，后來在圣母大學、韋恩州立大學、西北大學、加州大學圣芭芭拉分校任教的樊圻繼任所長。此時正值臺灣經(jīng)濟起飛，研究經(jīng)費大幅增長，編制員額也逐年增加，該所開始強調(diào)重視基礎研究。

以后經(jīng)過劉豐哲、李國偉、黃啟瑞、劉太平幾位所長的努力，該所的研究領域擴張迅速，圖書及硬件設施也具一定規(guī)模，目前主要研究方向為：數(shù)學分析、數(shù)論與代數(shù)、幾何、概率論、組合數(shù)學及其應用、流體力學與計算數(shù)學等，其研究成果都經(jīng)常在相關領域的重要雜志及國際會議上發(fā)表。

該所現(xiàn)位于臺灣大學總校區(qū)內(nèi)的天文數(shù)學館內(nèi)，現(xiàn)任所長劉太平，目前有3位特聘研究員、20位研究員、4位副研究員，主要研究方向為數(shù)學分析、數(shù)論與代數(shù)、幾何、機率論、組合數(shù)學及其應用、流體力學與計算數(shù)學，近年在幾何分析、李代數(shù)和偏微分方程等方面皆取得國際一流的成果。

臺灣中研院統(tǒng)計科學研究所成立于1987年，現(xiàn)任所長鄭清水，目前有特聘研究員4名、研究員21名、副研究員5名、助研究員8名，以及26名博士后，研究方向涵蓋數(shù)理統(tǒng)計及方法論、概率論及其應用、系統(tǒng)生物統(tǒng)計（生物信息學與遺傳學）、工業(yè)統(tǒng)計、教育和行為統(tǒng)計與心理計量、空間及環(huán)境統(tǒng)計、機器與統(tǒng)計學習理論、功能性腦圖像統(tǒng)計分析、財務數(shù)學、時間序列分析、實驗設計、廣義相關圖、社會網(wǎng)絡等。

以上這些數(shù)學研究機構每年共向臺灣科技主管部門申請數(shù)學類專題研究計劃約300余項，經(jīng)費近2億元新臺幣，主持人數(shù)300多人，擔任助理的碩士生/博士生約400余人。若按數(shù)學領域劃分，申請專題研究計劃數(shù)量最多的依序為：微分方程、數(shù)學分析、離散數(shù)學、數(shù)值分析與計算數(shù)學、代數(shù)與數(shù)論、幾何與拓撲學、概率論，但排序歷年不盡相同。

最近幾年，臺灣數(shù)學研究人員平均每年發(fā)表論文數(shù)量約占全球數(shù)學論文總篇數(shù)的2%左右，平均每年被SCI收錄的論文數(shù)量約4000多篇，世界排名第18位，相對影響系數(shù)約為1.07。每年發(fā)表論文最多的機構包括臺灣中研院數(shù)學所、新竹清華大學數(shù)學系、新竹交通大學應用數(shù)學系、臺灣師大數(shù)學系、臺灣大學數(shù)學系、成功大學數(shù)學系、淡江大學數(shù)學系、彰化師大數(shù)學系、中原大學應用數(shù)學系、中山大學數(shù)學系、中央大學數(shù)學系、中興大學應用數(shù)學系、中正大學數(shù)學系、東吳大學商業(yè)數(shù)學系、政治大學數(shù)學系等。

目前臺灣數(shù)學界存在的主要問題是研究人員數(shù)量很少；除了幾率、離散數(shù)學、偏微分方程外，許多領域里的研究人員都是孤軍奮戰(zhàn)。由于缺乏資金和行政支持，許多學者在教學與研究的雙重壓力下，不得不選擇其一，使本來就少的人力更加缺少。

根據(jù)歷年《臺灣科技年鑒》、《“國科會”年報》及臺灣科技主管部門下屬“數(shù)學研究推動中心”發(fā)表的各種簡訊、報告等資料揭示，目前臺灣數(shù)學研究的領域主要有：邏輯、數(shù)論、有限群論、不可交換環(huán)、代數(shù)幾何、交換代數(shù)、李代數(shù)、代數(shù)拓樸、微分拓樸、微分幾何、調(diào)和分析、泛函分析、復變函數(shù)論、微分方程、幾率、統(tǒng)計、離散數(shù)學、數(shù)值分析、計算理論、控制理論等。

數(shù)論與代數(shù)

在數(shù)論方面，多變數(shù)的模型式與大域函數(shù)體的超越數(shù)論是臺學者研究的兩個主要領域。在代數(shù)方面，有限維單代數(shù)所形成的Brauer群、Kac-Moody李代數(shù)的表現(xiàn)理論具有多項式恒等式的不可交換環(huán)也都有人研究。在分析方面，研究范圍主要集中在算子理論與非線性泛函分析。在其它方面，如代數(shù)拓樸的同論理論、偏微分方程中的超線性橢圓形方程、離散數(shù)學的設計、圖論以及幾率方面的大離差等方面也有一定的研究。

近年來，臺灣在算術幾何的發(fā)展一直圍繞著由“理論科學研究中心”與臺灣中研院數(shù)學所組成的研究團隊在進行，在函數(shù)體超越理論、Diophantine幾何、值分布論、局部體動態(tài)系統(tǒng)，以及?？臻g算術方面都取得了重要的創(chuàng)新成果，是臺灣最活躍的數(shù)學研究領域之一。研究人員年齡分布適當，在過去10?里這個領域已在臺灣培育了大量博士后研究人才，目前博士生的培養(yǎng)也已經(jīng)進入軌道，做出了很好的博士論文。

表現(xiàn)數(shù)論分為代數(shù)表現(xiàn)與群表現(xiàn)兩個研究主題，經(jīng)過10?的演化，現(xiàn)在已逐漸成為臺灣代數(shù)研究的活躍領域，現(xiàn)在代數(shù)表現(xiàn)的研究主力是在臺灣大學與成功大學，群表現(xiàn)的研究主力是在新竹清華大學與新竹交通大學，有許多年輕而高素質(zhì)的研究人員做出出色的工作，預期未來可以獲得突破性的成果。

在傳統(tǒng)代數(shù)與數(shù)論方面，臺灣只有個別人在研究交換代數(shù)，在臺灣大學有研究團隊在研究有限群作用與不變量，過去20年來曾獲得領先國際的成果，是臺灣代數(shù)研究的一個專門特色。傳統(tǒng)數(shù)論在臺灣是以基礎的解析方法為主，處理特殊模函數(shù)及函數(shù)不等式。其中涉及模函數(shù)方面的研究在臺灣也持續(xù)了20多年。非交換環(huán)論方面在臺灣大學與成功大學都有研究團隊，以往一直是臺灣代數(shù)研究的主要方向。這些傳統(tǒng)的領域，仍有不少古典的研究問題吸引臺灣學者投入。