江西省上饒市鄱陽縣石門街中學(xué)(333100)

李曉華●

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芻議初中數(shù)學(xué)“最值”問題的一些體會(huì)

江西省上饒市鄱陽縣石門街中學(xué)(333100)

李曉華●

解“最值”問題，可將問題分成幾類，然后有針對性地來解決.有以下幾種方法來解決.

一、利用絕對值的概念來解決相關(guān)問題

例1 求|x+2|+|x-1|+|x-5|的最小值.

遇到這樣的問題我們可以利用絕對值的定義來解決.

二、利用特殊不等式a2+b2≥2ab來解決

例如：要修建一個(gè)容積為8立方米，深為2米的長方體無蓋的水池.如果水池底和水池壁的造價(jià)分別為每平方米120元和每平方米80 元，問此水池的最低造價(jià)是多少元？

三、利用典型例題來解決幾何中的最值問題

初中數(shù)學(xué)幾何中，在講到軸對稱知識時(shí)，有這樣的一個(gè)例題：如圖，直線l的同側(cè)有A和B兩點(diǎn),試在l上找一點(diǎn)P，使得PA+PB的和最小.

分析 通過學(xué)習(xí)，我們知道只要在l的另一側(cè)找到A點(diǎn)的對稱點(diǎn)A′，連接B和A′，與直線l的交點(diǎn)就是我們所找的P點(diǎn).它是利用軸對稱和三角形三邊的相關(guān)知識來證明的.利用這個(gè)經(jīng)典例題，進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化,我們可以解決許多類似的題目.

通過上述例題的研究，我們發(fā)現(xiàn)課本中的例題還是有比較好的利用價(jià)值的.我們在平時(shí)要善于思考總結(jié).接著我們再來看此例題的延展.

四、利用某些線段的特殊性求解最小值

在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.因此斜邊上的中線是一條比較特殊的線段，利用這一特性，我們可以解決相關(guān)問題.

例如，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，3為半徑畫⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，且P在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)P作⊙O的切線與x軸相交于點(diǎn)A點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)B點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長度在發(fā)生變化，請寫出線段AB長度的最小值，并說明理由.

分析 本問題中,要求線段AB的最小值，而A、B點(diǎn)都隨切線的改變而改變，不好直接求其最小值.而在Rt△OAB中，線段AB為斜邊，取AB的中點(diǎn)C，連結(jié)OC，這樣就利用直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OC=0.5AB，從而求出OC的最小值就可以解決斜邊AB的最小值.又因?yàn)椤袿與邊相切，連結(jié)O與切點(diǎn)P，所以半徑OP⊥AB. 由圖可以知，Rt△OAB中，斜邊上的中線OC與斜邊上的高OP重合時(shí), 即OC=OP時(shí)，OC最短，此時(shí)AB也最短，得到 AB最小值為6.

當(dāng)然，除了上面提到的幾種類型外，還有像在幾何問題中有時(shí)可用平面展開圖的方法來解決距離最短問題等等.所以，解“最值”問題的方法多種多樣，變化無窮的.

初中數(shù)學(xué)中的“最值”問題一直是一個(gè)讓學(xué)生感到比較困難的課題，通過以上例題的探究，我們能感知到解此類問題還是有一定方法可循的.我們平時(shí)應(yīng)多注意對知識的積累，遇到問題深入思考，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)習(xí)慣，我們完全有能力學(xué)好數(shù)學(xué).

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