劉文光，顏 龍，郭隆清，賀紅林

(南昌航空大學(xué) 航空制造工程學(xué)院，南昌 330063)

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基于諧響應(yīng)的彈性懸臂梁裂紋識(shí)別分析

劉文光，顏 龍，郭隆清，賀紅林

(南昌航空大學(xué) 航空制造工程學(xué)院，南昌 330063)

針對(duì)彈性懸臂梁的裂紋識(shí)別問(wèn)題，探討了諧響應(yīng)分析在含裂紋梁損傷識(shí)別中的應(yīng)用。首先結(jié)合連續(xù)介質(zhì)彈性梁動(dòng)力學(xué)方程和有限元方法，建立了含裂紋梁的受迫振動(dòng)方程。然后，基于Abaqus平臺(tái)建立了若干種含V型表面裂紋的懸臂梁有限元模型，在此基礎(chǔ)上通過(guò)施加外部激勵(lì)進(jìn)行諧響應(yīng)理論分析。最后，探討了裂紋幾何參數(shù)和加載位置對(duì)諧振頻率及諧響應(yīng)幅值的影響。結(jié)果表明，裂紋深度、裂紋位置、裂紋數(shù)量以及加載位置對(duì)諧響應(yīng)變化規(guī)律有明顯影響，為懸臂梁的裂紋識(shí)別提供了思路。

諧響應(yīng)；裂紋；懸臂梁；參數(shù)識(shí)別

0 引言

梁是工程結(jié)構(gòu)的基本單元，大量應(yīng)用于航空航天等領(lǐng)域，如飛機(jī)的機(jī)翼、發(fā)動(dòng)機(jī)的葉片、直升機(jī)的旋翼、導(dǎo)彈的彈體等。而振動(dòng)是飛行器服役過(guò)程中必須承受的載荷形式之一，它貫穿于飛行器服役過(guò)程的各個(gè)階段。當(dāng)外部振動(dòng)載荷頻率與梁的固有頻率一致或接近時(shí)，梁不可避免地會(huì)產(chǎn)生共振問(wèn)題。在共振環(huán)境下，梁結(jié)構(gòu)很可能產(chǎn)生裂紋，甚至發(fā)生振動(dòng)斷裂。為了提高工程梁的安全可靠性，研究梁裂紋的識(shí)別方法顯得尤為重要。

基于振動(dòng)的損傷識(shí)別方法，其原理大多數(shù)是通過(guò)振動(dòng)試驗(yàn)得到系統(tǒng)的動(dòng)力參數(shù)，然后比較系統(tǒng)損傷前后動(dòng)力參數(shù)的變化規(guī)律，構(gòu)造損傷指針對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行損傷識(shí)別。最常使用的動(dòng)力參數(shù)有，固有頻率、振型及振型曲率、頻響函數(shù)以及模態(tài)應(yīng)變能等，其中固有頻率是最基本的振動(dòng)參數(shù)。早在1968年，Lifshitz等就率先提出通過(guò)對(duì)比結(jié)構(gòu)損傷前后固有頻率的變化來(lái)識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷[1]。隨后20世紀(jì)70年代，Cawley等利用固有頻率進(jìn)行損傷識(shí)別研究時(shí)發(fā)現(xiàn)，單損傷結(jié)構(gòu)在損傷前后任意兩階固有頻率的比值只與損傷發(fā)生的位置有關(guān)[2]。之后，Cerri等通過(guò)比較試驗(yàn)固有頻率與解析固有頻率的不同，求得了損傷位置[3]；張兆德等通過(guò)分析兩次實(shí)測(cè)固有頻率的變化規(guī)律，初步定位了海洋平臺(tái)的損傷[4]；莫淑華等分析含損傷的復(fù)合材料層合懸臂梁固有頻率時(shí)發(fā)現(xiàn)，利用固有頻率變化率也能識(shí)別復(fù)合材料的損傷[5]。事實(shí)表明，基于固有頻率的識(shí)別方法在含裂紋梁的損傷監(jiān)測(cè)方面具有很大的應(yīng)用價(jià)值。為此很多學(xué)者對(duì)含裂紋梁的固有頻率進(jìn)行了研究。吳國(guó)榮等推導(dǎo)了含裂紋梁的等效動(dòng)力學(xué)模型，建立了含裂紋梁的固有頻率方程[6]；Swamidas等應(yīng)用能量法和斷裂力學(xué)建立張開(kāi)式裂紋模型，求解了張開(kāi)裂紋和無(wú)損傷梁的固有頻率[7]；李學(xué)平等對(duì)含多裂紋等截面梁進(jìn)行振動(dòng)分析，改進(jìn)了梁的固有頻率計(jì)算方法[8]；趙迪等計(jì)算了含裂紋旋轉(zhuǎn)葉片結(jié)構(gòu)的固有頻率[9]；王振清等分析了含裂紋簡(jiǎn)支梁的振動(dòng)頻率隨溫度的變化趨勢(shì)[10]。

盡管基于固有頻率的含裂紋梁損傷識(shí)別理論與方法取得了很多的成果，但是多數(shù)研究者在計(jì)算含裂紋梁固有頻率時(shí)候都假定裂紋處于張開(kāi)狀態(tài)。這顯然與物理事實(shí)不符。工程中，結(jié)構(gòu)裂紋的開(kāi)合狀態(tài)實(shí)際上會(huì)隨梁的振動(dòng)而變化。為此，劉文光針對(duì)裂紋的呼吸行為，研究了裂紋擴(kuò)展與裂紋界面接觸對(duì)彈性梁固有頻率的影響[11]，推導(dǎo)了呼吸式裂紋梁的固有頻率方程[12]。之后提出了一種梁剛度隨振幅變化的彈性梁固有頻率計(jì)算模型，并結(jié)合等高線理論研究了一種基于固有頻率的懸臂梁裂紋參數(shù)識(shí)別方法。結(jié)果表明，只要能準(zhǔn)確地求得梁的固有頻率，就能夠較為理想的識(shí)別出裂紋所在的位置和裂紋的相對(duì)深度；但存在的問(wèn)題是，梁的低階固有頻率對(duì)裂紋位置和深度不夠敏感，需要精度極高的傳感設(shè)備方能精確測(cè)取，極大地增加了裂紋識(shí)別的成本。

本研究擬通過(guò)設(shè)計(jì)含不同裂紋損傷彈性梁的有限元模型，在諧響應(yīng)分析的基礎(chǔ)上，探討裂紋參數(shù)與響應(yīng)幅值、諧振頻率之間的內(nèi)在聯(lián)系，為基于固有頻率的裂紋識(shí)別研究提供新的思路。

1 基本理論

為方便起見(jiàn)，取Euler-Bernoulli梁為對(duì)象，即梁在變形前垂直于梁中心線的平面，在變形后依然垂直于梁的中心線，這種假設(shè)忽略了梁的剪切變形和截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響。

1.1 連續(xù)介質(zhì)彈性梁的自由振動(dòng)控制方程：

如圖1所示為一等截面的均質(zhì)直彈性梁，其彎曲自由振動(dòng)微分方程為[13]：

(1)

式中：t為時(shí)間，w為x處的橫向位移，S為x處的梁橫截面積，I為截面關(guān)于中性軸的慣性矩，E為材料的彈性模量，ρ為質(zhì)量密度。

圖1 等截面的均質(zhì)直彈性梁

假設(shè)梁的橫向固有振動(dòng)為

(2)

將式(2)代入式(1)，整理得

(3)

式中，W(4)(x)表示W(wǎng)(x)對(duì)x求四階導(dǎo)數(shù)。

式(3)左邊為關(guān)于位置x的函數(shù)，右邊全部為關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)。因?yàn)閤和t是彼此獨(dú)立的量，所以式子兩邊必定是同時(shí)等于同一常數(shù)，且非負(fù)。因此，式(3)可以分離為2個(gè)獨(dú)立的常微分方程：

(4)

(5)

(6)

(7)

式中：ω為待定固有頻率；ai，bj(i=1,2,3,4;j=1,2)為待定系數(shù)。其中ω和ai由梁的邊界條件確定。

懸臂梁的邊界條件為

結(jié)合梁兩端的邊界條件，可以確定懸臂梁的固有頻率ω方程為

(8)

求解該方程，可得到彈性梁的第n階固有頻率

(9)

基于方程(9)可以分析連續(xù)介質(zhì)彈性懸臂梁的諧振頻率，以確定梁諧響應(yīng)分析的頻帶寬度。

1.2 含裂紋彈性梁的受迫振動(dòng)控制方程

結(jié)合工程應(yīng)用，通過(guò)有限元法可以建立含裂紋懸臂梁的動(dòng)力學(xué)模型。忽略阻尼的影響，將Euler-Bernoulli梁轉(zhuǎn)化為有限元梁模型，則無(wú)裂紋梁的受迫振動(dòng)微分方程為

(10)

式中：[M]e表示梁?jiǎn)卧|(zhì)量矩陣，[Kwc]e表示梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?，{F(t)}e表示梁?jiǎn)卧┘拥耐廨d荷向量，{q(t)}e是梁?jiǎn)卧a(chǎn)生的位移向量，t是時(shí)間。

假定裂紋的存在只會(huì)對(duì)梁的剛度產(chǎn)生影響，而不會(huì)影響梁的質(zhì)量，可得到梁模型中含裂紋單元的振動(dòng)微分方程

(11)

式中：{qc(t)}e是梁模型中含裂紋單元的位移向量，[Kc]e是梁模型中含裂紋單元的剛度矩陣，并且其表達(dá)式可以寫(xiě)為

(12)

其中，

(13)

式中：[T]為初等變換矩陣，[C0](e)為無(wú)裂紋梁的單元柔度矩陣，[Cc](e)為裂紋單元的局部柔度矩陣，[C](e)為含裂紋梁?jiǎn)卧目側(cè)岫染仃嚒?/p>

將含裂紋單元組裝在無(wú)裂紋梁的系統(tǒng)中，即可得到含裂紋懸臂梁的運(yùn)動(dòng)微分方程

(14)

式中：[M]是組裝后的整體質(zhì)量矩陣，[K]為整體剛度矩陣，{F(t)}是整體外力向量，而[q]是系統(tǒng)的整體位移向量。

將外力向量定義為

(15)

(16)

結(jié)合方程(14)～(16)可得整個(gè)含裂紋懸臂梁的運(yùn)動(dòng)控制微分方程：

(17)

對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)(即[M]和[K]確定)，在外力的作用下，求解方程(17)就能得到系統(tǒng)的響應(yīng)。

2 含裂紋懸臂梁的有限元建模

2.1 含裂紋懸臂梁的幾何描述

幾何建模時(shí)，設(shè)計(jì)了單裂紋、雙裂紋以及不同深度裂紋多種工況模型，以探討裂紋幾何參數(shù)變化對(duì)彈性梁諧響應(yīng)的影響規(guī)律，裂紋位置如圖2所示，其中：a表示裂紋深度，L為梁長(zhǎng)、b為梁寬、h為梁高，LC為裂紋距固支端的距離。為方便幾何建模，假定梁為均質(zhì)矩形截面梁，梁的幾何尺寸L×b×h為500 mm×20 mm×29 mm，裂紋為V型表面裂紋，張開(kāi)角為3°。數(shù)值計(jì)算時(shí)，取梁的彈性模量E=206.8 MPa，泊松比μ=0.3，密度ρ=7.78×103kg/m3。

圖2 含裂紋懸臂梁的幾何模型

2.2 有限元建模

基于Abaqus軟件建立的含裂紋懸臂梁有限元網(wǎng)格模型如圖3所示。有限元網(wǎng)格模型選用的是三維實(shí)體四面體單元C3D10，在對(duì)裂紋梁進(jìn)行網(wǎng)格劃分時(shí)，V型裂紋區(qū)域需要細(xì)化網(wǎng)格，本研究采用分割實(shí)體的網(wǎng)格劃分技巧，即畫(huà)一個(gè)小圓圈將裂紋區(qū)域圍住，裂紋梁被分割成小圓圈部分和小圓圈外面的其他部分，將分隔出的這一小部分實(shí)體單獨(dú)劃分網(wǎng)格，網(wǎng)格的密度比其他區(qū)域的密度要大得多。劃分網(wǎng)格時(shí)，小圓圈部分的網(wǎng)格密度為0.2 mm，其余部分網(wǎng)格密度為2 mm。

圖3 含裂紋懸臂梁的有限元模型

3 裂紋對(duì)懸臂梁諧響應(yīng)的影響

因?yàn)榱鸭y數(shù)量、裂紋深度以及裂紋位置等對(duì)懸臂梁的受迫響應(yīng)具有明顯影響，因此研究其內(nèi)在規(guī)律對(duì)探討基于諧響應(yīng)的懸臂梁裂紋識(shí)別方法具有重要的意義。計(jì)算時(shí)，首先求取每個(gè)模型的前10階固有頻率并算平均值，并確定受迫響應(yīng)分析所加載荷幅值為100 N(方向如圖2所示)。然后對(duì)無(wú)損傷懸臂梁進(jìn)行自由模態(tài)分析，發(fā)現(xiàn)第二階彎曲模態(tài)(模態(tài)頻率為96 Hz左右)對(duì)于裂紋參數(shù)變化比較敏感，所以確定第二階模態(tài)頻率為諧振頻率，進(jìn)而設(shè)置外部載荷頻率搜索區(qū)間為0～120 Hz。

3.1 裂紋深度對(duì)諧響應(yīng)的影響

假定裂紋離固支端375 mm(圖2a)，裂紋深度a逐漸由4 mm增加到20 mm，自由端加載。結(jié)果表明，無(wú)損傷懸臂梁的前10階固有頻率的平均值為1 322.32 Hz，且無(wú)損傷彈性梁載荷加載點(diǎn)的振幅在第二階固有頻率為96.56 Hz時(shí)，響應(yīng)幅值達(dá)最大值4.81 mm(圖4)。

從圖4中可以看出，盡管裂紋深度發(fā)生變化，懸臂梁諧響應(yīng)幅值最大處對(duì)應(yīng)的頻率都在96 Hz附近，觀察局部放大圖發(fā)現(xiàn)，諧響應(yīng)曲線的峰值會(huì)隨裂紋深度的增加稍稍往左移動(dòng)(當(dāng)裂紋深度a=4 mm時(shí)，波峰在96.5 Hz；而當(dāng)a=20 mm時(shí)，波峰在95.3 Hz)。研究表明，懸臂梁的第二階固有頻率隨著裂紋深度的增加而減?。欢译S著裂紋深度的增加，諧響應(yīng)曲線的峰值逐漸增大(當(dāng)裂紋深度a=4 mm時(shí)，諧響應(yīng)峰值為4.81 mm；當(dāng)a=20 mm時(shí)，峰值為5.22 mm)。原因在于裂紋深度的增加導(dǎo)致了梁的剛度下降，使得懸臂梁的振幅增大。

圖4 裂紋深度對(duì)諧響應(yīng)的影響

圖5 外部激勵(lì)力對(duì)諧響應(yīng)的影響

諧響應(yīng)規(guī)律不僅與懸臂梁模型有關(guān)，而且與加載位置有關(guān)。為探討加載位置對(duì)諧響應(yīng)曲線的影響，分析時(shí)改變外部載荷的激勵(lì)位置為離固支端300 mm(圖2b)。計(jì)算結(jié)果表明，諧響應(yīng)幅值最大位置同樣出現(xiàn)在96 Hz左右(圖5)。分析發(fā)現(xiàn)，一方面諧響應(yīng)幅值會(huì)隨著裂紋深度的增加而增大，另一方面諧響應(yīng)最大值發(fā)生位置隨著裂紋的增加逐漸往左移動(dòng)。結(jié)論說(shuō)明，載荷位置變化不改變諧響應(yīng)幅值隨頻率的變化規(guī)律，但是影響響應(yīng)幅值對(duì)裂紋大小的敏感性。也就是說(shuō)，在裂紋附近加載進(jìn)行諧響應(yīng)分析，因?yàn)轫憫?yīng)幅值很小，對(duì)裂紋不甚敏感，不適于懸臂梁的裂紋識(shí)別。

3.2 裂紋位置對(duì)諧響應(yīng)的影響

如圖2a所示，保持裂紋深度a=4 mm不變，假定裂紋位置LC由165 mm逐漸變化到415 mm等不同位置，在自由端加載。結(jié)果如圖6所示，隨著裂紋遠(yuǎn)離固定端(即LC增大)，梁的諧振頻率逐漸增大，使得諧響應(yīng)曲線圖的波峰逐漸往右移動(dòng)，且諧響應(yīng)幅值逐漸減小。

圖6 裂紋位置對(duì)諧響應(yīng)的影響

3.3 裂紋數(shù)量對(duì)諧響應(yīng)的影響

為討論裂紋數(shù)量對(duì)諧響應(yīng)規(guī)律的影響，在梁表面設(shè)置2處裂紋，分別位于LC1=250 mm和LC2=375 mm，裂紋深度a逐漸由4 mm變化到20 mm，在自由端加載。諧響應(yīng)計(jì)算結(jié)果如圖7、表1所示。結(jié)果表明，隨著裂紋深度變化，含雙裂紋懸臂梁的諧響應(yīng)幅值所對(duì)應(yīng)的諧振頻率在很大區(qū)間內(nèi)變化。裂紋深度增加，諧振頻率的位置往左移動(dòng)，固有頻率由96.3 Hz逐漸減小到85.5 Hz；此外，除了對(duì)應(yīng)的諧振頻率改變外，響應(yīng)最大值也發(fā)生了改變，隨著裂紋深度增加，響應(yīng)幅值由4.84 mm增大到7.41 mm。研究結(jié)論顯示，隨著裂紋深度增加，雙裂紋懸臂梁的諧振頻率、諧響應(yīng)幅值敏感性增加明顯。

圖7 裂紋數(shù)量對(duì)諧響應(yīng)的影響

進(jìn)一步比較圖4、圖7發(fā)現(xiàn)，不管是雙裂紋還是單裂紋的懸臂梁，當(dāng)裂紋深度由4 mm增加到20 mm時(shí)，其諧振頻率值都會(huì)隨著裂紋深度的增加而減小，諧響應(yīng)幅值隨著裂紋深度的增加而增大。而對(duì)于不同裂紋數(shù)量的懸臂梁，這種影響規(guī)律有一定差異，比如，含雙裂紋懸臂梁的諧振頻率并不總是在96 Hz附近，其變化范圍較大，基于這個(gè)規(guī)律，可用于識(shí)別懸臂梁是否含有單裂紋或者雙裂紋。

表1 不同裂紋深度的雙裂紋懸臂梁諧振頻率及諧響應(yīng)幅值

4 結(jié)論

1)距固支端LC=375 mm的單裂紋，自由端加載，當(dāng)裂紋深度由4 mm增加到20 mm時(shí)，懸臂梁的諧振頻率由96.56 Hz減小至95.3 Hz，響應(yīng)幅值由4.81 mm增加至5.22 mm；改變加載位置對(duì)懸臂梁的諧振頻率沒(méi)有影響，但是對(duì)響應(yīng)幅值影響明顯，當(dāng)加載位置距固支端300 mm時(shí)，對(duì)應(yīng)裂紋深度下的響應(yīng)幅值由5 mm左右下降到1 mm左右。

2)裂紋深度4 mm的單裂紋，自由端加載，當(dāng)裂紋位置LC由165 mm增加415 mm時(shí)，懸臂梁的諧振頻率由95.85 Hz增加至96.49 Hz，響應(yīng)幅值由4.861 mm減小至4.812 mm。

3)裂紋位置分別為L(zhǎng)C1=250 mm、LC2=375 mm的雙裂紋，自由端加載，當(dāng)裂紋深度由4 mm增加到20 mm，懸臂梁的諧振頻率由96.3 Hz逐漸減小至85.5 Hz，響應(yīng)幅值由4.84 mm逐漸增加至7.41 mm。

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Analysis on Crack Identification of an Elastic Cantilever Beam by Harmonic Response

LIU Wen-guang, YAN Long，GUO Long-qing，HE Hong-lin

(SchoolofAeronauticalManufacturingEngineering,NanchangHangkongUniversity,Nanchang330063,China)

According to the problem of crack damage in the elastic cantilever beam, a damage identification method of cracked beam was discussed by harmonic response. Combined with the elastic continuum beam dynamics and the finite element method, the forced vibration equation of the cracked beam was set up. Then several finite element models of the cantilever beam with V type crack were constructed, and the harmonic response analysis were carried out through acting external force on the models to discuss the relation of the crack parameters and the harmonic response. The impacts of loading position on the response magnitude were also discussed in the end. Results indicate that the impacts of crack depth, crack position, crack number and loading position on the change law of harmonic response are obvious, and it provides a new idea for crack identification of cantilever beam.

harmonic response; crack; cantilever beam; parameter identification

2016年4月6日

2016年5月20日

國(guó)家自然科學(xué)基金 (51565039)

劉文光(1978年-)，男，博士，副教授，主要從事飛行器結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)與疲勞壽命預(yù)測(cè)等方面的研究。

TH212；TH213.3

A

10.3969/j.issn.1673-6214.2016.03.003

1673-6214(2016)03-0143-05