宋元鳳，李武明

(通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 通化 134002)

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實(shí)Clifford代數(shù)Cl3,0的實(shí)矩陣表示

宋元鳳，李武明

(通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 通化 134002)

從實(shí)Clifford代數(shù)CL3,0基元對(duì)應(yīng)的矩陣給出了實(shí)Clifford代數(shù)CL3,0的忠實(shí)的實(shí)矩陣表示. 然后，通過張量積給出了實(shí)Clifford代數(shù)CL3,0的另一個(gè)忠實(shí)的實(shí)矩陣表示.

矩陣表示；基元；張量積

Clifford代數(shù)是由英國數(shù)學(xué)家W. K.Clifford(1845-1879)引入的一類結(jié)合代數(shù)[1],其目的是為了把四元數(shù)[2]推廣到任意有限維的情形. 由于這類代數(shù)可以刻畫平面及高維的幾何對(duì)象, 也可以刻畫旋轉(zhuǎn), 反射和其他幾何變換, 所以Clifford稱這類代數(shù)為幾何代數(shù). 這種幾何代數(shù)也被其他人重新發(fā)現(xiàn)并推廣, 基于Clifford所做的貢獻(xiàn), 現(xiàn)在稱這類代數(shù)以及被推廣了的這類代數(shù)為Clifford代數(shù).

由于Clifford代數(shù)具有通用性的特點(diǎn)以及它有直觀的幾何解釋, 使得其在物理、黑洞、宇宙論、量子軌道、量子場理論、機(jī)器人、計(jì)算機(jī)視覺等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用[3-6].

1 CL3,0的實(shí)矩陣表示

并由此確定Clp,q的一個(gè)基:

1

e1,e2,…,ep+q

e1e2,e1e3,…,e1ep+q,e2e3,…,e2ep+q,…,ep+q-1ep+q

……

e1e2…ep+q

定義1 設(shè)Mat(n,f) 表示F上的n階矩陣代數(shù). 則一個(gè)代數(shù)同態(tài) φ:A→Mat(n,F)就是A的一個(gè)F-矩陣表示，稱Im(φ)是A的一個(gè)F-矩陣表示.

特別的，如果φ是單的，那么稱這個(gè)矩陣表示是忠實(shí)的.

下面利用文獻(xiàn)[8]的方法構(gòu)造實(shí)Clifford代數(shù)Cl3,0的實(shí)矩陣表示. 設(shè)1,e1,e2,e3,e12,e13,e23,e123是Cl3,0的一個(gè)基，令

則有

表1 乘數(shù)表

其中，Eij=EiEj.

命題1 實(shí)Clifford代數(shù)

{0,1,2,3,12,13,23,123},xα∈}=

其中，E0=I．Eij=EiEj,Eijk=EiEjEk.

還可以從另外的角度研究實(shí)Clifford代數(shù)Cl3,0的實(shí)矩陣表示.

Cl3,0??Mat(2,)?

由于Cl3,0??Mat(2,)，而二維實(shí)代數(shù)與2階全矩陣代數(shù)Mat(2,)都是單代數(shù)，所以實(shí)Clifford代數(shù)Cl3,0的實(shí)矩陣表示都是忠實(shí)的.

2 結(jié)束語

實(shí)Clifford代數(shù)的矩陣表示不僅是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本工具, 而且在理論物理、機(jī)器人、計(jì)算機(jī)視覺、信息處理、工程技術(shù)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用. 在這篇文章中給出了實(shí)Clifford代數(shù)CL3,0的實(shí)矩陣表示，豐富了這個(gè)領(lǐng)域的成果.

[1]W K Clifford. Applications of Grassmann's extensive algebra[J]. Amer. J. Math., 1878(1): 350-358.

[2]W R Hamilton. Elements of quaternions[M]. London: Longmans Green, 1866.

[3]W E Baylis. Clifford (Geometric) algebra with applications to physics, mathematics, and engineering[M]. Boston: Birkhauser, 1996.

[4]E B Corrochano, G Sobczyk. Geometric algebra with applications in science and engeneering[M]. Boston: Birkhauser, 2001.

[5]C Doran, A Lasenby. Geometric algebra for physicists[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 2003.

[6]C Perwass. Geometric algebra with applicating in engineering[M]. Heidelberg: Springer Verlag, 2009.

[7]P Lounesto. Clifford Algebras and Spinors[M]. New York: Cambridge University Press,1997.

[8]張桂穎，李武明.Clifford代數(shù)Clp,q(p+q=3)的可逆元[J].長春理工大學(xué)學(xué)報(bào),2012,35(4):154-156.

(責(zé)任編輯:陳衍峰)

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2016.08.011

2016-03-20

通化師范學(xué)院自然科學(xué)科研項(xiàng)目“實(shí)Clifford代數(shù)的實(shí)矩陣表示及其子群結(jié)構(gòu)”(201433)

宋元鳳,女,吉林輝南人,博士,講師.

O153

A

1008-7974(2016)04-0035-02