范船良
學(xué)好幾何從明晰幾何概念開始
——記“平面圖形的認(rèn)識(一)”中部分概念
范船良
幾何是數(shù)學(xué)中的一個分支,它將引領(lǐng)我們正確地識別圖形,進(jìn)一步了解和掌握圖形的更多性質(zhì),更重要的是它將提升我們的空間想象能力和嚴(yán)密的邏輯推理能力,這是我們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)中不可或缺的一面.幾何概念是指人們思維中對幾何圖形的認(rèn)知(它包括定義、公式、結(jié)論等).有些同學(xué)對幾何問題判斷不準(zhǔn),思維混亂,推斷說理無根無據(jù),其根本原因是因?yàn)闆]有學(xué)好幾何的基本概念.因此要學(xué)好幾何,一開始就要十分重視概念的學(xué)習(xí).接下來,就以“平面圖形的認(rèn)識(一)”中部分概念為例談?wù)勅绾蚊魑鷰缀胃拍睿云鸬绞痉兜淖饔?
一、學(xué)習(xí)幾何概念首先要能正確地?cái)⑹鱿嚓P(guān)的定義,此時要善于摳字眼、抓主干
1.要摳字眼,抓關(guān)鍵詞.例如,互補(bǔ)角、鄰補(bǔ)角的關(guān)鍵詞是“補(bǔ)”,補(bǔ)成一個平角(只要補(bǔ)成180°即可),而其中的“鄰”則又有了對位置上的要求.又如平角的關(guān)鍵詞是“角”,角是有頂點(diǎn)的.
再如平行的關(guān)鍵詞是“平”,平是指兩條直線在同一個平面內(nèi).
例1下列說法中,正確的是().
A.互補(bǔ)的兩個角若相等,則這兩個角都是直角
B.直線是平角
C.不相交的兩條直線互相平行
D.和為180°的兩個角是鄰補(bǔ)角
【正解】A.
2.句子的主干部分就是概念的要點(diǎn),如“點(diǎn)到直線的距離”可以把句子劃分為:(①從直線外一點(diǎn)到這條直線的)(②垂線段的)長度叫作(③點(diǎn)到直線的)距離.句子的主干部分就是概念的要點(diǎn),即“長度叫作距離”.再從長度與距離的定語可明確什么樣的(①、②)長度叫作什么樣的(③)距離.
例2判斷:直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中,垂線段最短,把這條垂線段叫作這點(diǎn)到這條直線的距離.().
【正解】×.
二、學(xué)習(xí)幾何概念要能用字母和符號表示圖形的名稱、關(guān)系,反映出概念的本質(zhì)
例如,在碰到角平分線時,寫出OC是∠AOB的平分線的式子:∠AOC=∠BOC=而更容易理解和掌握.
例3下列說法中正確的是().
A.在∠ABC一邊的延長線上取一點(diǎn)D
B.延長直線a、b交于點(diǎn)C
C.反向延長∠AOB的平分線
D.已知線段AB=10 cm,在AB上取一點(diǎn)C,使AC=7 cm,CB=4 cm
【解析】∠ABC一邊本身就是射線,可向一方無限延伸,不需要延長.而D中的畫圖語句與兩線段的和不相符,不可操作.故選C.
另外,還要善于分類比較.把容易混淆的概念集中在一起研究,分清其區(qū)別和聯(lián)系,做到準(zhǔn)確地理解概念的實(shí)質(zhì).例如,在表示線段、射線、直線時,一般應(yīng)在字母的前面注明“線段”“射線”或“直線”.找線段時可找線段的兩個端點(diǎn),找射線時應(yīng)找一個端點(diǎn)及延伸方向,而任意兩點(diǎn)確定一條直線.
例4圖1中共有_______條線段,_______條直線,能用字母表示的射線有_______條.
圖1
【解析】同一個圖形的符號表達(dá)形式可以不同,例如以點(diǎn)A、B為端點(diǎn)的線段可以表示為線段AB,也可以表示為線段BA,表示的是同一條線段,又如射線AB與射線AC算同一條射線,其他類同.正確填法是:3,1,4.
三、學(xué)習(xí)幾何概念一定要能正確地畫出反映概念的圖形,能畫出不同形式、不同位置的圖形
例5如圖2,已知△ABC,
圖2
(1)量取線段BC的中點(diǎn)D,并連結(jié)AD;
(2)過點(diǎn)A畫BC的垂線,垂足為E;
(3)過E畫AB的平行線交AC于點(diǎn)F;
(4)畫∠ABC的平分線,交AC于G.
【解析】“連結(jié)AD”是指畫線段AD;“垂線”在幾何概念中專指“垂直的直線”,而不是指垂線段或垂直的射線;其中的“角平分線”是專指射線,而不是其他線.這說明對概念的理解不能有任何的偏差.
例6判斷:若AC=BC,則點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn).().
【解析】題中的點(diǎn)C可以在線段AB上,也可以在線段AB外,故此判斷為“×”.
例7平面內(nèi)有兩個角∠AOB=50°,∠AOC=20°,OA為兩角的公共邊,則∠BOC為().
A.30°B.70° C.30°或70°D.無法確定
【解析】根據(jù)題意可知要分兩種情況,一種是OC在∠AOB內(nèi)部,另一種是OC在∠AOB外部.畫出圖形并結(jié)合圖形計(jì)算可得∠BOC等于70°或30°,故選C.
四、學(xué)習(xí)幾何概念要能在復(fù)雜的圖形中正確地識別表示某個概念的那部分基本圖形,也能把幾個簡單的圖形組合成一個較復(fù)雜的圖形
例8如圖3,能表示點(diǎn)到直線(或線段)的距離的線段有().
A.2條B.3條C.4條D.5條
圖3
【解析】本題考查的是點(diǎn)到直線的距離的基本圖形,例如圖中有表示點(diǎn)C到線段AB距離的線段CA和點(diǎn)C到線段AD距離的線段CD,其他也可以這樣類似地去找基本圖形,本題答案:D.
五、學(xué)習(xí)幾何概念要能運(yùn)用概念進(jìn)行簡單的判斷、推理和計(jì)算,要在運(yùn)用中強(qiáng)化和鞏固概念,進(jìn)而形成概念系統(tǒng)化
例9在例8圖中∠C與∠DAB相等的理由是___________________.
【解析】在本章中,要學(xué)會用“因?yàn)椤浴钡姆绞竭M(jìn)行簡單推理,關(guān)鍵是弄清“因”與“果”的關(guān)系,逐步形成思維的邏輯性和條理性.例如,這兩個角沒有直接的關(guān)系,但都與∠B互余,因此填的理由應(yīng)為:同角的余角相等.
例10如圖4,已知直線AB與CD相交于點(diǎn)O,OE、OF分別是∠BOD、∠AOD的平分線.
(1)∠DOE的補(bǔ)角有______________;
(2)若∠BOD=62°,求∠AOE和∠DOF的度數(shù);
(3)判斷射線OE與OF之間有怎樣的位置關(guān)系?并說明理由.
圖4
【解析】本題考查余角與補(bǔ)角、角平分線的定義、角度的計(jì)算,熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖,找出圖中各角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.填(1)中的空(求補(bǔ)角而不是求鄰補(bǔ)角),必須概念清晰,才能有條理思考問題,而對于(2)、(3)則要掌握用符號來進(jìn)行有條理的推理的格式.
答案:(1)∠COE,∠AOE;(2)∠AOE= 149°,∠DOF=59°;(3)互相垂直.
一位清華大學(xué)學(xué)生在學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)交流中就提及數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是從概念的學(xué)習(xí)開始的,要更好地了解和掌握概念有一個辦法就是適量做一些與概念有關(guān)的判斷題和選擇、填空題,這會從各個不同的角度來辨析它.要學(xué)好幾何就讓我們從正確理解幾何概念開始吧.
(作者單位:江蘇省吳江區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué))