王歡

由一道中考題說起

王歡

例題如圖1，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，點(diǎn)D在AB邊上，DE⊥AC于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)F在線段EC上，點(diǎn)G在射線CB上，以F，C，G為頂點(diǎn)的三角形與△EDC有一個(gè)銳角相等，F(xiàn)G交CD于點(diǎn)P.問：線段CP可能是△CFG的高線還是中線？或兩者都有可能？請(qǐng)說明理由.

圖1

這道是2015年杭州中考題的第22題第2小問，主要考查了等腰三角形的判定、三角形的有關(guān)概念，都是我們“平面圖形的認(rèn)識(shí)”里的內(nèi)容.

近年來，中考命題突出了能力考查，簡(jiǎn)答題在形式和內(nèi)容上都發(fā)生了很大變化.題目“源于教材，高于教材，活于教材”，“題在書外，理在書中，預(yù)料之外，情理之中”.題目設(shè)置更加靈活，角度多變，不再是教材知識(shí)的簡(jiǎn)單搬家.所以，我們?cè)诮獯鸫祟愵}型時(shí)也應(yīng)掌握一定的解題方法和技巧：

1.認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵字詞和條件.

2.分析條件和問題，理清題目中的知識(shí)點(diǎn).

3.抓住知識(shí)點(diǎn)，解決問題.

下面，老師就借助這道中考題，引導(dǎo)同學(xué)探討如何來解決中考中的解答題.

【分析】主要條件有：①∠ACB=90°；②DE⊥AC；③以F，C，G為頂點(diǎn)的三角形與△EDC有一個(gè)銳角相等.

注意的字詞：①BC＞AC；②點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)F在線段EC上，點(diǎn)G在射線CB上.

問題是：判斷CP是△CFG的什么線？

尤為引起疑問的一個(gè)條件是：“以F， C，G為頂點(diǎn)的三角形與△EDC有一個(gè)銳角相等”.△FCG和△EDC的哪個(gè)銳角相等？

一個(gè)引起疑問字詞是：“D在AB上”，CD是什么線？是一般的線段還是特殊的線段？

通過嘗試和思考可以畫出三種示意圖，發(fā)現(xiàn)此題可以分成三種情況討論，其中圖2，圖3中CD是一般線段，圖4中CD恰好是∠ACB的角平分線.這樣，答案就非常明顯了.

圖2

圖3

【解答】①如圖2，若∠CFG=∠ECD，此時(shí)線段CP是△CFG的FG邊上的中線.

證明：∵∠CFG+∠CGF=90°，∠ECD+∠PCG=90°，又∵∠CFG=∠ECD，

∴∠CGF=∠PCG，∴CP=PG，

∵∠CFG=∠ECD，

∴CP=FP，∴PF=PG=CP，

∴線段CP是△CFG的FG邊上的中線.

②如圖3，若∠CFG=∠EDC，此時(shí)線段CP為△CFG的FG邊上的高線.

證明：∵DE⊥AC，∴∠EDC+∠ECD=90°，

∵∠CFG=∠EDC，∴∠CFG+∠ECD=90°，

∴∠CPF=90°，

∴線段CP為△CFG的FG邊上的高線.

③如圖4，當(dāng)CD為∠ACB的平分線時(shí)，CP既是△CFG的FG邊上的高線又是中線.

圖4