汪妍++劉智++于巍

[摘要]文章針對(duì)線性代數(shù)傳統(tǒng)教學(xué)方式方法中存在的問(wèn)題，對(duì)本校部分專(zhuān)業(yè)的線性代數(shù)課程進(jìn)行了教學(xué)改革。在課堂教學(xué)改革中增加了對(duì)Matlab工具的講解和具體上機(jī)操作，提高了學(xué)生實(shí)際應(yīng)用能力；在課后教學(xué)改革中引入了CAI軟件，實(shí)現(xiàn)了大面積因材施教，同時(shí)減輕了教師的重復(fù)性勞動(dòng)。本次教學(xué)改革取得了預(yù)期的成果，獲得了師生的認(rèn)可。

[關(guān)鍵詞]線性代數(shù)；CAI；教學(xué)改革

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2016.31.244

1選題背景

線性代數(shù)作為一門(mén)重要的工科專(zhuān)業(yè)必修數(shù)學(xué)課程，是多門(mén)后續(xù)課程的基礎(chǔ)課，在培養(yǎng)大學(xué)生的計(jì)算能力、抽象思維能力和邏輯推導(dǎo)能力等方面發(fā)揮著重要的作用。隨著科技的迅速發(fā)展，僅研究單個(gè)變量之間的關(guān)系已不能滿足解決實(shí)際問(wèn)題的需要，還需進(jìn)一步研究多個(gè)變量之間的關(guān)系，然而涉及多個(gè)變量關(guān)系的各種實(shí)際問(wèn)題大多可以線性化，伴隨計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，線性化問(wèn)題可以通過(guò)線性代數(shù)這一工具解決。因此，今天線性代數(shù)已經(jīng)在圖像處理、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域中起著重要的理論基礎(chǔ)作用。然而從一般高校線性代數(shù)教學(xué)實(shí)際來(lái)看，從教學(xué)內(nèi)容和方法上都注重理論體系完整，強(qiáng)調(diào)線性代數(shù)的基本定義、定理、性質(zhì)及其證明，反而對(duì)線性代數(shù)的應(yīng)用不夠重視。因此，有必要探索新的教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到線性代數(shù)在工程中的應(yīng)用性，逐步提高學(xué)生的線性代數(shù)應(yīng)用能力和計(jì)算能力，進(jìn)而提高學(xué)生的就業(yè)能力和創(chuàng)業(yè)能力。

目前，線性代數(shù)的教學(xué)模式改革已被很多國(guó)家所關(guān)注。美國(guó)大學(xué)數(shù)學(xué)教育從1990年就開(kāi)始了一次大的改革，成立了線性代數(shù)課程研究組（Linear Algebra Curriculum Study Group，LACSG）。1992年美國(guó)科學(xué)基金會(huì)又資助了一個(gè)ATLAST（Augment the Teaching of Linear Algebra using Software Tools）計(jì)劃，即用軟件工具（MATLAB）增強(qiáng)線性代數(shù)教學(xué)，強(qiáng)調(diào)了計(jì)算機(jī)對(duì)線性代數(shù)的重要性。到今天，國(guó)外所有線性代數(shù)教材都用了數(shù)學(xué)軟件，并且充實(shí)了大量的應(yīng)用實(shí)例，但國(guó)產(chǎn)的幾乎所有教材卻還都是20年前的老面孔。

在我國(guó)，線性代數(shù)課中不談?dòng)?jì)算機(jī)、教線性代數(shù)的老師幾乎不使用計(jì)算機(jī)，已經(jīng)成為我國(guó)線性代數(shù)教育界與發(fā)達(dá)國(guó)家的明顯差距。于是我國(guó)的線性代數(shù)課程出現(xiàn)了這樣一種奇怪的狀況——理論抽象愈來(lái)愈深，而很少應(yīng)用于實(shí)際計(jì)算，它成了一門(mén)學(xué)生感到抽象、枯燥的課程。由于缺乏感性的認(rèn)識(shí)和實(shí)際應(yīng)用的推動(dòng)，后續(xù)課程又往往怕麻煩而避開(kāi)矩陣方程，教出來(lái)的學(xué)生當(dāng)然是理論上害怕矩陣、實(shí)踐中不會(huì)用矩陣算題的。因此，線性代數(shù)應(yīng)用能力的培養(yǎng)必然是線性代數(shù)課程體系改革的重點(diǎn)內(nèi)容，是教育改革的必然趨勢(shì)。

2實(shí)踐教學(xué)改革工作

2.1分析需求，確定任務(wù)

要保證高的教學(xué)水平，必須研究課程內(nèi)容該如何滿足專(zhuān)業(yè)課的需要。我們?cè)谶M(jìn)行這項(xiàng)工作時(shí)，以量大面廣的機(jī)械、電子、計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)為對(duì)象，通過(guò)分析其后續(xù)課程在矩陣建模和計(jì)算方面的需求，以確定線性代數(shù)課程的任務(wù)。我們找到了這幾個(gè)專(zhuān)業(yè)大學(xué)三年級(jí)前能用到線性方程的十多門(mén)課程：高等數(shù)學(xué)、化學(xué)、電路、理論力學(xué)、材料力學(xué)、數(shù)字信號(hào)處理、計(jì)算方法、物理、傳熱學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、信號(hào)與系統(tǒng)、機(jī)械振動(dòng)等。但在實(shí)際教材及教學(xué)過(guò)程中，這些課程基本上都不會(huì)用矩陣進(jìn)行計(jì)算，原因就在于目前線性代數(shù)所教的內(nèi)容與后續(xù)課程的需求脫節(jié)。

根據(jù)以上分析，教改中我們將課程的實(shí)踐目標(biāo)定位為：學(xué)完線性代數(shù)課程以后，學(xué)生應(yīng)該會(huì)做不低于6 階的復(fù)數(shù)矩陣運(yùn)算，會(huì)解6元以上的代數(shù)方程組，會(huì)解6階三元以上的超定方程組，這是我們?yōu)榫€性代數(shù)制訂的課程要求。怎樣在不增加太多學(xué)時(shí)的前提下達(dá)到這個(gè)要求，唯一的方法就是引入計(jì)算機(jī)和軟件工具。

2.2教學(xué)資源的準(zhǔn)備

因現(xiàn)有線性代數(shù)任課教師的計(jì)算機(jī)水平參差不齊，所以我們先后為教改小組的教師們配發(fā)了《線性代數(shù)實(shí)踐及MATLAB入門(mén)》、《工程線性代數(shù)（MATLAB版）》等教材，并利用暑假時(shí)間對(duì)教師進(jìn)行培訓(xùn)，只有先提高了教師的計(jì)算機(jī)水平，能夠熟練運(yùn)用軟件工具解決各類(lèi)線性代數(shù)問(wèn)題，才能進(jìn)一步提高學(xué)生建模應(yīng)用和解題計(jì)算的能力。學(xué)生方面，我們分別選取2013級(jí)、2014級(jí)計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)、2015級(jí)電氣工程自動(dòng)化專(zhuān)業(yè)作為實(shí)驗(yàn)班進(jìn)行教學(xué)改革實(shí)踐。

2.3課堂教學(xué)改革實(shí)踐

在教學(xué)過(guò)程中主要采用的策略是：在重視線性代數(shù)基本理論掌握的同時(shí)，在教學(xué)過(guò)程中專(zhuān)門(mén)安排一定課時(shí)講解Matlab工具的使用，側(cè)重Matlab計(jì)算思維方式的訓(xùn)練，讓傳統(tǒng)教學(xué)與科學(xué)工程計(jì)算相互融合。采取的主要措施如下：

2.3.1確定目標(biāo)，依次教學(xué)

由于線性代數(shù)是大一第二學(xué)期開(kāi)設(shè)，新生對(duì)計(jì)算機(jī)工程計(jì)算的思維并不具備，因此在上第一節(jié)課時(shí)就具體介紹線性代數(shù)教學(xué)的主要任務(wù)及需要具備的工具條件，并在課程教學(xué)中，根據(jù)課程內(nèi)容進(jìn)度，基本每章都安排2學(xué)時(shí)講解相關(guān) Matlab 工具的具體使用并上機(jī)操作。

2.3.2注重理論銜接，強(qiáng)化應(yīng)用思維

由于面對(duì)新生，在回憶高中教學(xué)內(nèi)容基礎(chǔ)上，依次引進(jìn)行列式與矩陣內(nèi)容，分析高中階段的解法，現(xiàn)在課程的解決方法及 Matlab 的工程解法，在對(duì)比學(xué)習(xí)中縮短各階段學(xué)習(xí)的思維跳躍。

2.3.3強(qiáng)化理論基礎(chǔ)，突出應(yīng)用培訓(xùn)

理論是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，沒(méi)有堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，在實(shí)用中是無(wú)法實(shí)現(xiàn)突破的，因此在線性代數(shù)教學(xué)中仔細(xì)分析相應(yīng)定義、定理及具體示例的推導(dǎo)過(guò)程，但弱化理論證明，如求矩陣的逆運(yùn)算和秩比較復(fù)雜，而在 Matlab 中，矩陣的逆運(yùn)算只需用函數(shù)“inv”來(lái)實(shí)現(xiàn)，矩陣的秩只需用函數(shù)“rank”就可實(shí)現(xiàn)，讓復(fù)雜煩瑣的任務(wù)交給計(jì)算機(jī)處理，大大簡(jiǎn)化了線性代數(shù)的計(jì)算過(guò)程的復(fù)雜度。因此在課堂訓(xùn)練中，對(duì)于同一題目，大多由兩組同學(xué)進(jìn)行解答，一組在黑板上用傳統(tǒng)方法進(jìn)行演算，另一組在講臺(tái)上用電腦通過(guò)投影儀利用Matlab工具進(jìn)行解答，然后老師再分析這兩種方案的各自特點(diǎn)。

2.3.4拓展思維，積極創(chuàng)新

學(xué)習(xí)基礎(chǔ)理論的目的是為解決具體應(yīng)用，因此在講授線性代數(shù)過(guò)程中，也不忘記拓展學(xué)生思維，因?yàn)镸atlab除了能解決矩陣問(wèn)題，還有更多應(yīng)用，如圖像處理、數(shù)據(jù)分類(lèi)與聚集仿真、小波分析與模式識(shí)別等算法的解決，這些都可以通過(guò)程序設(shè)計(jì)解決。

2.4課后教學(xué)改革實(shí)踐

在注重提高學(xué)生應(yīng)用能力和計(jì)算能力的同時(shí)，也不能忽視對(duì)基本理論的掌握，為此，我們引入了北京信息工程學(xué)院課題組開(kāi)發(fā)的線性代數(shù)課程的CAI軟件：《線性代數(shù)練習(xí)題庫(kù)管理系統(tǒng)》（下文簡(jiǎn)稱(chēng)LAMES）。該系統(tǒng)以學(xué)生通過(guò)計(jì)算機(jī)自己進(jìn)行課下練習(xí)為核心，系統(tǒng)為用戶提供了1200多道6種類(lèi)型三種不同難度的練習(xí)題，覆蓋面較廣，對(duì)每道題都提供了多級(jí)幫助、參考解答和答案，系統(tǒng)還對(duì)教師提供課件編輯、打印試卷及對(duì)學(xué)生練習(xí)結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)和統(tǒng)計(jì)的輔助教學(xué)功能。它為學(xué)生提供了一個(gè)良好的練習(xí)環(huán)境，給教學(xué)提供了一個(gè)得力的助手。

LAMES系統(tǒng)由練習(xí)子系統(tǒng)、編輯子系統(tǒng)、統(tǒng)計(jì)子系統(tǒng)及打印子系統(tǒng)四個(gè)模塊組成。在練習(xí)子系統(tǒng)中用戶可以根據(jù)需要選擇章、類(lèi)型、難度、題量、每題得分，并可隨機(jī)給出一份練習(xí)題；在編輯子系統(tǒng)中用戶可以方便地對(duì)題庫(kù)和試卷進(jìn)行管理；統(tǒng)計(jì)子系統(tǒng)主要用于統(tǒng)計(jì)成績(jī)、題庫(kù)信息、成績(jī)排序；打印子系統(tǒng)可根據(jù)用戶需求組合和打印試卷。

將CAI軟件引入教學(xué)改革實(shí)踐具有以下優(yōu)點(diǎn)：

第一，實(shí)現(xiàn)大面積因材施教，線性代數(shù)CAI軟件可以對(duì)每個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)策略作出及時(shí)判斷和反應(yīng)，并可對(duì)不同程度的學(xué)生給出具體幫助。使學(xué)生真正成為教學(xué)主體，教學(xué)不再是被動(dòng)的灌輸。線性代數(shù)CAI軟件提供良好的學(xué)習(xí)和練習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生自己主動(dòng)練習(xí)，從而調(diào)動(dòng)了他們的積極性和主動(dòng)性，提高了學(xué)習(xí)效率。

第二，線性代數(shù)CAI軟件可以減輕教師的重復(fù)性勞動(dòng)（復(fù)習(xí)性輔導(dǎo)、上習(xí)題課、批改作業(yè)等），從而使教師把更多的精力用于更有創(chuàng)造性的活動(dòng)中。

3應(yīng)用與評(píng)價(jià)

此次教學(xué)改革實(shí)踐起始于2011年，實(shí)踐對(duì)象為2013級(jí)、2014級(jí)計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)、2015級(jí)電氣工程自動(dòng)化專(zhuān)業(yè)學(xué)生。對(duì)各年級(jí)實(shí)驗(yàn)班學(xué)生的問(wèn)卷調(diào)查結(jié)果顯示：通過(guò)改革后的教學(xué)模式，76.14%的學(xué)生激發(fā)了學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣；63.64%的學(xué)生認(rèn)為提高了個(gè)人計(jì)算能力；75%的學(xué)生認(rèn)為提高了個(gè)人自主學(xué)習(xí)能力。

而從近幾年學(xué)生課程考試成績(jī)、校教學(xué)督導(dǎo)組課堂及教學(xué)檢查情況通報(bào)、教務(wù)處期中教學(xué)檢查通報(bào)、學(xué)生對(duì)教學(xué)的反饋意見(jiàn)、后繼課程的評(píng)價(jià)可以看到，通過(guò)教學(xué)環(huán)節(jié)的優(yōu)化、課程資源的建設(shè)及教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)手段的改革，線性代數(shù)課的教學(xué)效果有了非常大的提高，受到了各級(jí)領(lǐng)導(dǎo)及全校師生的一致認(rèn)可。

4拓展空間及發(fā)展前景

在線性代數(shù)中教會(huì)了學(xué)生用軟件工具解題，后續(xù)其他課程中就有了進(jìn)行推廣的基礎(chǔ)。當(dāng)然后續(xù)課程的老師也要再學(xué)習(xí)，其教程也要進(jìn)行改造。所以提高大學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和科學(xué)計(jì)算能力是一項(xiàng)很大的系統(tǒng)工程，需要領(lǐng)導(dǎo)機(jī)關(guān)和廣大教師長(zhǎng)期的、持之以恒的努力，而線性代數(shù)課程的改革則是其中關(guān)鍵的、必不可少的第一步。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳懷琛，龔杰民.線性代數(shù)實(shí)踐及MATLAB入門(mén)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2005.

[2]陳懷琛，高淑萍，楊威.工程線性代數(shù)（MATLAB版）[M].北京：電子工業(yè)出版社，2007.

[3]張穎.MATLAB在線性代數(shù)教學(xué)中的若干應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016（9）.

[4]馬志輝.高校線性代數(shù)課程教學(xué)改革的探討與思考[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016（9）

[5]田曉娟，王利東.加強(qiáng)線性代數(shù)計(jì)算能力培養(yǎng)的教學(xué)模式探討[J].科教文匯（上），2015（6）：43-44，55.