李良山，楊育紅，王 蘭

(信息工程大學(xué) 信息系統(tǒng)工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

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衛(wèi)星通信中一種快速RPEM 算法

李良山，楊育紅，王 蘭

(信息工程大學(xué) 信息系統(tǒng)工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

記憶多項(xiàng)式預(yù)失真能夠有效地補(bǔ)償衛(wèi)星信道的非線性失真，但存在收斂速度慢的缺點(diǎn)．將RPEM算法應(yīng)用于衛(wèi)星記憶多項(xiàng)式預(yù)失真中，提出了一種快速收縮遞歸預(yù)測(cè)誤差算法．該算法通過利用Shrinkage方法和L1范數(shù)與L2范數(shù)差值最小化公式，獲得了噪聲自由先驗(yàn)誤差與噪聲自由后驗(yàn)誤差的關(guān)系，推導(dǎo)了一種最佳遺忘因子，有效地提高了收斂速度．仿真結(jié)果表明，收縮遞歸預(yù)測(cè)誤差算法能夠有效地抑制信號(hào)的星座扭曲和頻譜再生，解決了非線性失真的問題，同時(shí)在幾乎不增加計(jì)算復(fù)雜性的基礎(chǔ)上，能夠獲得較快的收斂速度和較好的穩(wěn)定性．

衛(wèi)星通信;非線性;預(yù)失真;信道

當(dāng)衛(wèi)星通信鏈路預(yù)算足夠好時(shí)，高階幅度相移鍵控(Amplitude Phase Shift Keying，APSK)調(diào)制能夠進(jìn)一步地增加系統(tǒng)的頻譜利用率，因而得到廣泛應(yīng)用．但其具有較大的包絡(luò)起伏，對(duì)功率放大器的非線性比較敏感，信號(hào)通過該信道時(shí)容易引起非線性失真，產(chǎn)生碼間串?dāng)_．隨著通信帶寬的提高，也會(huì)出現(xiàn)記憶效應(yīng)．為了保證良好的通信性能，必須解決信道記憶非線性失真的問題．

星載功率放大器記憶非線性失真的補(bǔ)償技術(shù)主要分為兩類: 預(yù)失真技術(shù)[1-4]和非線性均衡技術(shù)[5-6]．非線性均衡技術(shù)能夠有效地降低碼間串?dāng)_，但不能保證頻譜和功率的有效利用，因而可以在發(fā)射端進(jìn)行預(yù)失真補(bǔ)償[7]．Volterra模型預(yù)失真器能夠很好地補(bǔ)償功率放大器的非線性失真，但其具有較多的抽頭系數(shù)，隨著階數(shù)的增加計(jì)算復(fù)雜度呈非線性遞增[2]．文獻(xiàn)[8]指出，可以采用記憶多項(xiàng)式模型代替Volterra模型，以降低運(yùn)算復(fù)雜度，且能夠保證系統(tǒng)性能．

對(duì)于預(yù)失真器的自適應(yīng)算法，傳統(tǒng)的算法主要有最小均方(Least Mean Squares，LMS)算法、遞推最小二乘(Recursive Least Squares，RLS)算法和遞歸預(yù)測(cè)誤差方法(Recursive Prediction Error Method，RPEM)算法．文獻(xiàn)[9]研究了一種較低復(fù)雜度的RLS預(yù)失真算法，在減少計(jì)算復(fù)雜度的基礎(chǔ)上達(dá)到傳統(tǒng)RLS算法預(yù)失真性能．文獻(xiàn)[10]給出了基于Wiener模型的濾波LMS算法和濾波RPEM算法．其研究表明，LMS算法具有較低的計(jì)算復(fù)雜度，但收斂速度慢，穩(wěn)態(tài)誤差大，而RPEM算法具有較快的收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差．文獻(xiàn)[11]提出了基于Volterra模型功率放大器的Volterra濾波LMS、RPEM預(yù)失真算法，相比而言，RPEM算法具有較快的收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差．文獻(xiàn)[12]提出了基于多項(xiàng)式預(yù)失真的一種變步長(zhǎng)修正最小均方(Variable Step-Size Modified Least Mean Squares，VSSMLMS)算法，相比LMS算法和NLMS算法，有效地提高了預(yù)失真的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差．

針對(duì)衛(wèi)星信道中預(yù)失真算法收斂速度慢的問題，筆者將RPEM算法應(yīng)用于衛(wèi)星記憶多項(xiàng)式預(yù)失真中，提出了收縮遞歸預(yù)測(cè)誤差方法(SHrinkage Recursive-Prediction Error Method，SH-RPEM)算法．該算法通過利用Shrinkage方法和L1范數(shù)與L2范數(shù)差值最小化的公式，獲得了無噪聲先驗(yàn)誤差與無噪聲后驗(yàn)誤差，并用無噪聲后驗(yàn)誤差能量最小化的方法推導(dǎo)了一種最佳遺忘因子．仿真結(jié)果表明，SH-RPEM算法在解決非線性失真的同時(shí)，能夠獲得較快的收斂速度．

1 系統(tǒng)模型

圖1為高階APSK調(diào)制下的衛(wèi)星通信系統(tǒng)等效模型，信源產(chǎn)生的信息序列分別經(jīng)過APSK調(diào)制、平方根升余弦發(fā)送濾波器(Square Root Raised Cosine filter， SRRC)、預(yù)失真、高功率放大器(High Power Amplifier， HPA)和信道后到達(dá)接收端，再經(jīng)過匹配濾波器和判決后得到所需的信息比特序列．

圖2 間接預(yù)失真工作原理

圖1 衛(wèi)星通信系統(tǒng)模型

圖2給出了衛(wèi)星通信系統(tǒng)間接預(yù)失真工作原理，其中預(yù)失真為奇數(shù)階記憶多項(xiàng)式模型[12]，且多項(xiàng)式訓(xùn)練模塊與預(yù)失真的結(jié)構(gòu)完全相同．HPA為Wiener模型，由無記憶Saleh模型的行波管放大器(Traveling Wave Tube Amplifier， TWTA) 非線性模塊g(·)和線性濾波模塊H級(jí)聯(lián)組成，并分別引起衛(wèi)星信道的非線性失真和記憶效應(yīng)失真．預(yù)失真的目的是使信號(hào)x(n)與z(n)呈線性關(guān)系．

首先，信號(hào)x(n)經(jīng)過記憶多項(xiàng)式預(yù)失真后形成信號(hào)y(n)，則輸入輸出之間滿足

其中，K和M分別為記憶多項(xiàng)式的最高階次與記憶深度，k為奇數(shù)，θkm為預(yù)失真參數(shù)．

進(jìn)一步，預(yù)失真輸出信號(hào)y(n)經(jīng)過線性濾波模塊H后輸出為

其中，H(z-1)=h0+h1z-1+…+hkhz-hkh，hk0為線性濾波模塊的權(quán)系數(shù)，k0=0，1，2，…，kh，kh為正整數(shù)．

TWTA會(huì)產(chǎn)生幅度-幅度(AM-AM)和幅度-相位(AM-PM)效應(yīng)，使得輸入信號(hào)y1(n)和輸出信號(hào)z(n)之間呈非線性關(guān)系．即 z(n)= A[ρ(n)] expj(φ0(n)+ Φ[ρ(n)])，其中， A[ρ(n)]= a1ρ(n) (1+ b1ρ2(n))，Φ[ρ(n)]= a2ρ2(n) (1+ b2ρ2(n))，分別描述AM-AM和AM-PM特性; ρ(n)和φ0(n)分別為y1(n)的幅值和相位，a1，a2，b1，b2取值為 a1=2，b1=1，a2= π/3，b2=1．

再者，Wiener功率放大器輸出信號(hào)z(n)分別經(jīng)過加性高斯白噪聲v(n)和記憶多項(xiàng)式訓(xùn)練模塊后有

2 預(yù)失真算法

2.1 VSSMLMS算法

為了解決多項(xiàng)式預(yù)失真中LMS算法收斂速度慢和穩(wěn)態(tài)誤差大的缺點(diǎn)，文獻(xiàn)[12]提出了一種新的收斂速度快穩(wěn)態(tài)誤差小的VSSMLMS算法，結(jié)合圖2可知，VSSMLMS算法權(quán)系數(shù)迭代公式為

VSSMLMS算法利用輸入信號(hào)瞬時(shí)能量Z(n)2和瞬時(shí)誤差信號(hào)之間的關(guān)系建立了一種變步長(zhǎng)因子，相比LMS算法，能夠獲得較快的收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差．

2.2 RPEM算法

RPEM算法[10-11]因具有較快的收斂速度和LMS算法的相似性而被作為預(yù)失真系數(shù)更新的重要算法，其最小化代價(jià)函數(shù)為

其中，θ為式(3)中預(yù)失真權(quán)系數(shù)矢量．RPEM算法的權(quán)系數(shù)更新滿足e(n)關(guān)于θ*的負(fù)梯度方向，因而多項(xiàng)式訓(xùn)練模塊參數(shù)更新輸入信號(hào)矢量為

由此可知，滿足式(5)的最佳化的參數(shù)更新矢量θopt=P(n) pφ(n)，其中，P(n)= E[φ(n) φH(n)]-1，pφ(n)= E[y*(n) φ(n)]．根據(jù)式(4)～(6)可知，RPEM算法如下:

其中，λ0=0.99和λ(0)=0.95為最佳值[10-11]．在實(shí)際應(yīng)用過程中，遺忘因子λ(n)為遞推關(guān)系式，相比RLS算法具有較快的收斂速度．因而，為了提高算法的性能，有必要研究RPEM算法的一種最佳遺忘因子．

2.3 SH-RPEM算法

為了進(jìn)一步提高RPEM算法的收斂速度，需要深入研究RPEM算法．令u(n)為變步長(zhǎng)因子，代替式(7)中的u，可得變步長(zhǎng)的遞推關(guān)系為

其中，P(n)=PH(n)．將式(10)代入式(11)中，同時(shí)求取εf(n)功率可得

將εf(n)2關(guān)于u(n)求導(dǎo)并使導(dǎo)數(shù)值為0，化簡(jiǎn)可得

為了研究方便，同時(shí)將式(13)兩邊取期望并近似處理，可得

u(n)=Eef(n)2EφH(n) P(n) φ(n)·Eef(n)2+Ev(n)2

再次將式(7)中P(n)=P(n-1)-P(n-1) φ(n) S-1(n) φH(n) P(n-1)λ(n)兩邊進(jìn)行求逆運(yùn)算，則有

在實(shí)際應(yīng)用過程中[10-11]，遺忘因子通常為0.95≤λ(n)≤1.00，故近似迭代過程中算法遺忘因子滿足 λ(n)≈ λ(n-1)．令 λ(n)≈ λ(n-1)= β0，代入式(16)中，可得

式(17)兩邊取期望，可得

其中，Mt為預(yù)失真器參數(shù)更新矢量的維數(shù)．

令D=1，a=ef(n)，則根據(jù)代價(jià)函數(shù)可得

0.5ef(n)-e(n)2+tef(n)1=sign(e(n)) maxe(n)

若使算法具有較快的收斂速度，可以適當(dāng)?shù)卣{(diào)整遺忘因子變化速率，使得遺忘因子的變化與收斂速度之間處于最佳狀態(tài)．根據(jù)泰勒不等式，進(jìn)一步將式(22)近似處理可得

將式(23)帶入RPEM算法中，可知遺忘因子表達(dá)式為

綜合以上推導(dǎo)，可得SH-RPEM算法如下:

綜上所述，為了在解決衛(wèi)星通信中功率放大器非線性失真問題的同時(shí)提高RPEM算法的收斂性能，通過對(duì)傳統(tǒng)算法的分析，建立了收斂步長(zhǎng)和遺忘因子的近似關(guān)系，獲得了一種最佳的遺忘因子表達(dá)式，推導(dǎo)了SH-RPEM算法．SH-RPEM算法具有收斂速度快、剩余誤差小和穩(wěn)定性好等特點(diǎn)．

3 復(fù)雜性分析

這里給出了VSSMLMS算法[12]、RPEM算法[11]、SH-RPEM算法以及RLS算法[2]的計(jì)算復(fù)雜性比較，如表1所示．算法的計(jì)算復(fù)雜性能夠通過每次迭代過程中加法運(yùn)算次數(shù)和乘法運(yùn)算次數(shù)表示．各算法的計(jì)算復(fù)雜性與多項(xiàng)式預(yù)失真的參數(shù)矢量維數(shù)和輸入信號(hào)矢量有關(guān)，也與算法迭代次數(shù)有關(guān)．在表1中，Mt= 0.5(K+ 1)(M+ 1)，K和M分別為記憶多項(xiàng)式的最高階次與記憶深度．

表1 各算法復(fù)雜性比較

4 性能仿真

圖3分別給出了預(yù)失真的輸出信號(hào)星座圖和功率譜仿真結(jié)果．從圖3中可知，無預(yù)失真時(shí)信號(hào)出現(xiàn)了星座扭曲和頻譜再生現(xiàn)象；而有預(yù)失真時(shí)，輸出信號(hào)并未出現(xiàn)星座扭曲和頻譜再生．圖3(b)中說明了相比于VSSMLMS算法[12]，SH-RPEM算法可以更加有效地補(bǔ)償信號(hào)的頻譜再生，也就是更有效地解決高功率放大器非線性失真的問題．

圖3 星座圖和功率譜仿真結(jié)果

為了更好地比較預(yù)失真算法的收斂速度和穩(wěn)定性，在經(jīng)過800次實(shí)驗(yàn)過程平均后，各算法歸一化均方誤差[2]如圖4所示．由圖4(a)可知，LMS算法的穩(wěn)態(tài)歸一化均方誤差為 -28 dB，穩(wěn)定性差;VSSMLMS算法的穩(wěn)態(tài)歸一化均方誤差為 -32 dB 左右，穩(wěn)定性好; 而SH-RPEM算法的穩(wěn)態(tài)歸一化均方誤差為 -58 dB 左右，穩(wěn)定性稍差．綜合比較可知，SH-RPEM算法具有更好的性能．

圖4 歸一化均方誤差

從圖4(b)可知，RLS算法在迭代 1 400 次后歸一化均方誤差為 -56 dB 左右; RPEM算法在迭代 1 000 次后歸一化均方誤差為 -55 dB 左右，并且表現(xiàn)出較大的毛刺幅度，穩(wěn)定性較差; SH-RPEM算法在迭代110次后歸一化均方誤差為 -58 dB 左右，并且表現(xiàn)出較小的毛刺幅度，穩(wěn)定性較好．相比RLS算法和RPEM算法，SH-RPEM算法具有最快的收斂速度、較小的穩(wěn)態(tài)歸一化誤差和較好的穩(wěn)定性．

5 結(jié) 論

針對(duì)衛(wèi)星通信中預(yù)失真算法收斂速度慢的問題，筆者提出了一種SH-RPEM算法，獲得了一種最佳的遺忘因子，有效地增強(qiáng)了收斂速度．仿真結(jié)果表明，在星座圖和功率譜方面，SH-RPEM算法能夠更有效地抑制信號(hào)的星座扭曲和頻譜再生;在收斂速度和歸一化均方誤差方面，相比于LMS算法、VSSMLMS算法、RLS算法和RPEM算法，SH-RPEM算法具有較快的收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)歸一化均方誤差．綜上所述，SH-RPEM算法在更加有效地解決非線性失真的同時(shí)，具有較好的收斂性能．

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(編輯：李恩科)

Fast RPEM algorithm in satellite communication

LILiangshan，YANGYuhong，WANGLan

(Institute of Information System Engineering, Information Engineering Univ.,Zhengzhou 450001, China)

The memory polynomial pre-distortion is an effective technique to compensate the nonlinearity for the satellite channel. However, its adaptive algorithm has the defect of the slow convergence speed. To counteract this problem, a fast shrinkage Recursive Prediction Error Method (SH-RPEM) algorithm is devised for the memory polynomial pre-distortion over the nonlinear satellite channel. By using a known Shrinkage method andL1-L2minimization formulation, the relationship between the noise-free posteriori and priori error signal is obtained. Furthermore, an optimal forgetting factor which can significantly enhance the convergence speed is proposed by minimizing the mean square of the noise-free posteriori error signal. Simulation results show that the SH-RPEM algorithm can effectively suppress constellation wrapping and spectrum regrowth of the signal and solve the nonlinear distortion. Moreover, the SH-RPEM algorithm can achieve a faster convergence speed and better stability without increasing the computational complexity.Key Words: satellite communication; nonlinear; pre-distortion; channel

2015-11-09

時(shí)間：2016-04-01

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61379006，61171108)

李良山(1989-)，男，信息工程大學(xué)碩士研究生，E-mail: liliangshan168@126.com．

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.tn.20160401.1622.042.html

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.06.021

TN927

A

1001-2400(2016)06-0122-07