房嘉奇，馮大政，李 進(jìn)

(西安電子科技大學(xué) 雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710071)

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TDOA中的修正牛頓及泰勒級(jí)數(shù)方法

房嘉奇，馮大政，李 進(jìn)

(西安電子科技大學(xué) 雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710071)

在多站無源時(shí)差定位系統(tǒng)模型下，泰勒級(jí)數(shù)算法和牛頓算法在較差初始值條件下容易出現(xiàn)迭代發(fā)散問題．針對(duì)這一問題，提出了基于修正泰勒級(jí)數(shù)法和牛頓法的時(shí)差定位算法．該方法對(duì)于較差初始值引起的病態(tài)海森矩陣，運(yùn)用正則化理論中的吉洪諾夫法或衰減奇異值分解法進(jìn)行修正，其中控制海森矩陣修正量的重要的正則化參數(shù)由著名的L曲線理論確定．實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明:相對(duì)于原泰勒級(jí)數(shù)及牛頓算法，經(jīng)過改進(jìn)后的算法對(duì)于較差的初始值，具有較高的概率使迭代算法的解穩(wěn)健地收斂到目標(biāo)的真實(shí)位置，并擁有較強(qiáng)的能力移除局部最小值;相對(duì)于時(shí)差定位模型下的一些廣泛應(yīng)用的線性解法，也成為閉式解法，在低信噪比環(huán)境下具有更高的定位精度．

無源定位;時(shí)差定位;修正泰勒級(jí)數(shù)算法;修正牛頓算法;正則化算法

多站無源定位技術(shù)是電子偵查、電子對(duì)抗的一個(gè)重要組成部分，被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、導(dǎo)航、監(jiān)督、無線通信、無線傳感器網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域．無源定位技術(shù)在測(cè)量參數(shù)方面可以分成接收信號(hào)強(qiáng)度(Received Signal Strength，RSS)、到達(dá)時(shí)間(Time Of Arrival，TOA)、到達(dá)角度(Angle Of Arrival，AOA)、到達(dá)時(shí)間差(Time Difference Of Arrival，TDOA)、到達(dá)頻差(Frequency Difference Of Arrival，F(xiàn)DOA)等方法．筆者主要研究的是到達(dá)時(shí)間差方法，也稱為時(shí)差定位技術(shù)．在三維空間中，該技術(shù)利用目標(biāo)輻射源到兩個(gè)接收基站的到達(dá)時(shí)間差信息確定一個(gè)以兩基站為焦點(diǎn)的雙曲面，通過多個(gè)基站的時(shí)差測(cè)量值確定多個(gè)雙曲面，其交點(diǎn)即為目標(biāo)位置．到達(dá)時(shí)間差目標(biāo)位置估計(jì)方法有以下優(yōu)點(diǎn):接收機(jī)上通常只需安裝單個(gè)天線；接收機(jī)與接收機(jī)之間不需要進(jìn)行時(shí)間同步；定位精度較高．

由于基于到達(dá)時(shí)間差的定位問題高度非線性非凸特征，并不是一個(gè)能夠簡(jiǎn)單求解的問題．到達(dá)時(shí)間差定位方法按照類型可以分為線性化方法和非線性化方法．目前大多數(shù)研究主要側(cè)重于線性化方法(閉式解方法)[1-4]，這些方法通過線性化到達(dá)時(shí)間差的非線性方程組來求解目標(biāo)位置，它們可被歸類為線性最小二乘(Least Squares， LS)、兩次加權(quán)最小二乘(Two-Stage Weighted Least Squares， TSWLS) 和多維尺度分析(MultiDimensional Scaling analysis，MDS) 等．線性化方法的特點(diǎn)是計(jì)算量小，在信噪比較高時(shí)定位精度能夠達(dá)到克拉美羅界(Cramer-Rao Lower Bound， CRLB)，但線性化非線性方程組必然會(huì)帶來性能的損失．因此，所有的線性化算法都會(huì)受到門檻效應(yīng)的影響，即在噪聲功率大到一定界限后定位精度誤差逐漸偏離克拉美羅界．針對(duì)這一缺點(diǎn)，線性化算法所求得的解可以被作為非線性迭代算法的初值，從而去獲取一個(gè)更精確的位置解．當(dāng)前主要的迭代算法有泰勒級(jí)數(shù)法(Taylor-Series， TS)[5]以及牛頓法(NewTon， NT)[6]兩種，但是迭代算法的一個(gè)重要弊端在于，當(dāng)?shù)跏贾递^差時(shí)(由線性化算法的解在大噪聲環(huán)境下產(chǎn)生的較大偏差引起)，迭代算法很容易發(fā)散．

筆者將研究的重點(diǎn)放在解決迭代算法中最關(guān)鍵的收斂性問題上，利用最大似然估計(jì)(Maximum Likelihood， ML)確定目標(biāo)函數(shù)，然后采用牛頓法進(jìn)行求解．牛頓法是泰勒展開式的二階近似，它忽略了泰勒展開式中的高階項(xiàng)，然而在高度非線性的時(shí)差定位問題中，較差的初始值會(huì)導(dǎo)致高階項(xiàng)對(duì)解的貢獻(xiàn)變得比較重要，因而忽略高階項(xiàng)很容易致使迭代發(fā)散．筆者提出了修正牛頓算法(Modified NewTon， MNT)用于克服該問題，對(duì)于由較差初值引起的病態(tài)海森矩陣，運(yùn)用正則化理論中常用的吉洪諾夫(TIkhonov，TI)法或衰減奇異值分解法(Damped Singular Value Decomposition， DSVD)[7]將該病態(tài)矩陣轉(zhuǎn)化為良態(tài)矩陣，其中控制海森矩陣修正量的重要的正則化參數(shù)由著名的L曲線理論[8]確定，并將其同另一種確定正則化參數(shù)的方法——廣義交叉檢驗(yàn)法(Generalized Cross Validation， GCV)進(jìn)行對(duì)比．需要注意的是，泰勒級(jí)數(shù)算法相比較于牛頓算法只用到了一階泰勒展開，因此正則化理論也可以應(yīng)用到泰勒級(jí)數(shù)算法中．筆者同時(shí)提出了修正泰勒級(jí)數(shù)法(Modified Taylor-Series， MTS)對(duì)原泰勒級(jí)數(shù)算法進(jìn)行改進(jìn)．經(jīng)過改進(jìn)的修正泰勒級(jí)數(shù)法、修正牛頓算法同改進(jìn)前的算法相比，在收斂性上具有穩(wěn)定性，具有較好的移除局部最小值的能力，能夠穩(wěn)健地收斂到全局最優(yōu)點(diǎn); 同改進(jìn)前算法和線性化算法相比，在低信噪比環(huán)境下具有更高的定位精度．

1 到達(dá)時(shí)間差定位模型

在多站無源時(shí)差定位系統(tǒng)下，假設(shè)待測(cè)目標(biāo)輻射源位置x=[x，y，z]T，第i個(gè)已知接收基站的位置 si= [xi，yi，zi]T，i=1，…，M，M為參與定位的基站數(shù)目，在三維空間內(nèi)至少需要4個(gè)不在同一平面之內(nèi)的基站來確定目標(biāo)的位置．目標(biāo)和第i個(gè)基站之間的距離為

其中，·表示2范數(shù)．選定中心基站為第1個(gè)基站，則基站1和基站i之間的時(shí)差信息測(cè)量值為

其中，c為電磁波傳播速度，ti1為基站1與基站i之間的到達(dá)時(shí)間差測(cè)量值，di1為與測(cè)量時(shí)差信息對(duì)應(yīng)的測(cè)量距離差(Range Difference Of Arrival， RDOA)，ni1c為到達(dá)時(shí)間差測(cè)量誤差．用測(cè)量距離差來代替到達(dá)時(shí)間差．將到達(dá)時(shí)間差測(cè)量等式方程組采用向量形式表達(dá)，即

其中，d=[d21，d31，…，dM1]T，r=[r1，r2,…，rM]T，n=[n21，n31，…，nM1]T．G為第1列均為 -1 的 (M- 1)×1 的列向量與維數(shù)為 (M-1) 的單位矩陣所合并的 (M-1)× M的矩陣，G= [-1M-1，IM-1]．噪聲n為零均值、協(xié)方差矩陣 E(n nT)= Qt的向量．根據(jù)最大似然估計(jì)，目標(biāo)函數(shù)可寫為

2 牛頓法及修正牛頓法

牛頓法和泰勒級(jí)數(shù)法的本質(zhì)相同，泰勒級(jí)數(shù)法只比牛頓法少用到了泰勒展開式中的二階展開項(xiàng)．因此，首先研究牛頓法，去除二階項(xiàng)即可得到泰勒級(jí)數(shù)法．牛頓法是一種經(jīng)典的迭代算法，在每次迭代中通過二階泰勒近似來改進(jìn)估計(jì)值．令迭代次數(shù) k=1，2，…，n，每次迭代后新的更新的估計(jì)值xk+1可表示為

xk+1=xk+Δxk=xk-2f(xk)-1

其中,

式(10)中的?表示Kronecker積，vec(·)表示將矩陣沿列向量化．文獻(xiàn)[9-10]中分析了海森矩陣病態(tài)的原因并提出了正則化理論解決辦法，在此基礎(chǔ)上，筆者不僅僅對(duì)牛頓法，也對(duì)泰勒級(jí)數(shù)法進(jìn)行了改進(jìn)，并同時(shí)對(duì)正則化的方法以及正則化參數(shù)的選擇進(jìn)行了更深入的研究．令 A=2f(x)，b= -f(x)，矩陣A奇異值分解為

其中，U和V為單位正交矩陣，UTU=VTV=In，Σ=diag(σ1，σ2，…，σn)，σi和向量ui，vi為特征值和特征向量．由式(5)得到每次迭代的改變量

式(7)中的第2項(xiàng)即式(10)為二階項(xiàng)．若忽略二階項(xiàng)，牛頓法退化為泰勒級(jí)數(shù)法，因此只需將式(7)中第2項(xiàng)忽略，其他計(jì)算步驟不變，可在原泰勒級(jí)數(shù)法的基礎(chǔ)上得到修正的泰勒級(jí)數(shù)法．其表達(dá)式可與牛頓法寫成相同的形式，即式(5)～(7)，只需將式(7)中的第2項(xiàng)刪去即可．

3 正則化理論

3.1 正則化方法

正則化理論是一種解決不適定問題的有效方法，它用一種與原不適定問題相鄰近的適定問題的解去逼近原問題的解．常用的正則化方法有吉洪諾夫正則化法、截?cái)嗥娈愔捣纸夥?Truncated Singular Value Decomposition，TSVD)和衰減奇異值分解法等．吉洪諾夫法正則化等價(jià)于求解式(13)在二次約束下的惟一最小二乘解，即將該問題轉(zhuǎn)化為求解下述二次優(yōu)化問題:

經(jīng)過修正后的修正量為

經(jīng)過修正后的改變量ΔxTI，其實(shí)質(zhì)相當(dāng)于在原參量前加入了濾波器fi．特征值越小，濾波器fi也越小，其小特征值對(duì)應(yīng)項(xiàng)的貢獻(xiàn)也越?。渲笑藶檎齽t化參數(shù)，用來控制式(14)中前項(xiàng)(數(shù)據(jù)能量)與后項(xiàng)(穩(wěn)定能量)之間的比例．

截?cái)嗥娈愔捣纸夥椒▋H采用矩陣A的大特征值對(duì)應(yīng)的特征空間來構(gòu)造方程組的解，舍棄了小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量．假設(shè)A有m個(gè)大特征值，則選取m作為截?cái)鄥?shù)．滿足條件σ1，σ2，…，σm≥ λ的特征值保留，舍棄σ1，σ2，…，σm< λ的特征值．因此，采用截?cái)嗥娈愔捣纸夥ǖ玫降男拚靠梢詫憺?/p>

衰減奇異值法就是常用的對(duì)角加載法，它是一種常用的穩(wěn)健技術(shù)，可以有效地解決病態(tài)矩陣求逆問題．對(duì)式(13)直接應(yīng)用對(duì)角加載，得到

這3種算法中截?cái)嗥娈愔捣纸夥ㄖ饕獞?yīng)用于區(qū)分信號(hào)和噪聲空間的多特征值矩陣，而對(duì)于到達(dá)時(shí)間差目標(biāo)定位問題，要求的海森矩陣在不考慮速度及基站誤差的情況下維數(shù)很小，因此截?cái)嗥娈愔捣纸夥ㄟ@種直接濾除小特征值的方法對(duì)于本問題不適用．對(duì)于吉洪諾夫法和衰減奇異值分解法兩種方法來說，吉洪諾夫方法適用于秩虧情況，而衰減奇異值分解法更適用于病態(tài)矩陣情況．

3.2 正則化參數(shù)

上節(jié)提到的3種方法的性能都十分依賴正則化參數(shù)λ的選擇．正則化參數(shù)的選擇方法有L曲線法和廣義交叉檢驗(yàn)法．L曲線理論將殘差范數(shù)A Δx-b和正則化范數(shù)Δx的和作為變量取對(duì)數(shù)畫圖，通過對(duì)比結(jié)果確定正則化參數(shù)．該方法所繪制的尺度圖形中會(huì)出現(xiàn)一條明顯的L曲線．將曲線中的最大曲率作為其拐點(diǎn)，通過尋找該拐點(diǎn)求得與之相對(duì)應(yīng)的λ．令 ρ= lg A Δx-b，θ= lg Δx，該曲率定義為

廣義交叉檢驗(yàn)法也是一種常用的確定正則化參數(shù)λ的方法，它的原理是假定將任意的觀測(cè)值bi從原觀測(cè)序列b中去除，在此時(shí)通過剩余觀測(cè)值求得的正則化解能夠較好地預(yù)測(cè)b中被去掉的這個(gè)觀測(cè)值bi．它等效為求解下面函數(shù)的最小值問題:

矩陣Al滿足關(guān)系式Δx=Alb．廣義交叉檢驗(yàn)法在理論上能夠選擇最優(yōu)的參數(shù)λ，但某些時(shí)候廣義交叉檢驗(yàn)法函數(shù)的變化趨勢(shì)非常平緩，這時(shí)很難找到它的最小值．而相比較而言，L曲線法能夠快速準(zhǔn)確地找到最佳正則化參數(shù)．因此，筆者采用L曲線法作為確定正則化參數(shù)的方法．

對(duì)一些值得注意的問題進(jìn)行如下解釋說明:

(1) 同泰勒級(jí)數(shù)算法相比，牛頓算法因?yàn)榇嬖谑?7)中的第2項(xiàng)，能夠提供一個(gè)較為精確的海森矩陣，因此具有較高的定位精度．然而當(dāng)初值較差時(shí)，牛頓算法中的海森矩陣可能負(fù)定導(dǎo)致迭代發(fā)散．對(duì)于泰勒級(jí)數(shù)算法，因?yàn)槭?7)中的第1項(xiàng)一直為對(duì)稱正定矩陣，因此具有較高的收斂概率，但因海森矩陣表達(dá)的不完全，其定位結(jié)果可能陷入局部最小值中．筆者提出的修正牛頓算法和修正泰勒級(jí)數(shù)算法繼承了原算法的特點(diǎn)，相比于修正泰勒級(jí)數(shù)算法，修正牛頓算法具有較高的定位精度和較差的收斂性．

(2) 眾所周知，迭代算法需要一個(gè)初值，它完全隨機(jī)選取是不合適的．在實(shí)際應(yīng)用中，閉合式算法的解通常被作為初值帶入迭代算法．筆者采用著名的兩次加權(quán)最小二乘算法來求得初值．在噪聲較大時(shí)，兩次加權(quán)最小二乘算法的解可能存在較大誤差，此時(shí)多維尺度分析算法被用來取代兩次加權(quán)最小二乘算法以獲得一個(gè)誤差相對(duì)較小的初值．

(3) 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)值f(xk+1)>f(xk)時(shí)，認(rèn)為迭代的過程中出現(xiàn)了發(fā)散的現(xiàn)象；反之，則認(rèn)為迭代收斂，繼續(xù)觀察，并設(shè)定迭代的終止條件為梯度f(xk)< ε．由于時(shí)差定位問題的高度非線性特征，因此有時(shí)候盡管迭代收斂，但其結(jié)果可能陷入局部最小值中．當(dāng)使用閉合式算法的解作為迭代算法的初值時(shí)，若迭代的最終結(jié)果為全局最優(yōu)解，則迭代只需要非常少的次數(shù)就可以收斂; 若最終結(jié)果為局部最小值，則需要多次迭代才能收斂．在這里需要設(shè)定一個(gè)迭代次數(shù)的門限用來移除局部最小值．如果該門限設(shè)置較為寬松，則少量的局部最小解仍然存在于全局最優(yōu)解中，致使平均值變差; 反之，如果該門限設(shè)置較嚴(yán)，則許多全局最優(yōu)解將被遺棄，算法實(shí)用性降低．筆者提出的正則化算法通過對(duì)海森矩陣的修正，在實(shí)際上會(huì)減慢目標(biāo)函數(shù)的收斂速度，對(duì)于全局最優(yōu)解影響很?。鴮?duì)于局部最小解來說，由于其本身收斂速度就較慢，再經(jīng)過文中算法的減緩，收斂速度進(jìn)一步降低，很容易就能夠超出所設(shè)置的迭代門限．相對(duì)于文獻(xiàn)[6]中所設(shè)置的較嚴(yán)格的兩次迭代門限(超過兩次迭代的結(jié)果都當(dāng)做局部最小值被移除，會(huì)導(dǎo)致很多全局最優(yōu)解的遺失)，筆者所設(shè)置的門限為較為寬松的5次．由于筆者提出的算法具有較強(qiáng)的辨識(shí)局部最小值的能力，因此在保證算法實(shí)用性的同時(shí)，又能夠獲得較好的性能．

4 仿真實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)中假設(shè)5個(gè)基站的位置分別為 (300 m，100 m，150 m)，(400 m，150 m，100 m)，(300 m，500 m，200 m)，(350 m，200 m，100 m)，(-100 m，-100 m，-100 m)，設(shè)置基站1為中心基站，近距離目標(biāo)和遠(yuǎn)距離目標(biāo)位置分別為 (280 m，325 m，275 m) 或 (2 800 m，3 250 m，2 750 m)．目標(biāo)的定位精度以均方誤差(Root Mean Square Error， RMSE)形式表示．實(shí)驗(yàn)中的測(cè)量距離差為零均值，協(xié)方差矩陣 σ2R 的高斯噪聲，σ2為時(shí)差測(cè)量中噪聲的功率，R為對(duì)角線元素為1而其余元素為0.5的矩陣，設(shè)置迭代次數(shù)門限為5．實(shí)驗(yàn)為 5 000 次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)的平均數(shù)據(jù)．

圖1和圖2描述了近距離和遠(yuǎn)距離目標(biāo)情況下泰勒級(jí)數(shù)法、牛頓法、修正泰勒級(jí)數(shù)法和修正牛頓法的收斂概率值．從圖中可以看到，根據(jù)說明(1)中的解釋，泰勒級(jí)數(shù)法、修正泰勒級(jí)數(shù)算法在收斂性上相比于牛頓法，修正牛頓算法的更好．在圖1中，泰勒級(jí)數(shù)法和牛頓算法隨著噪聲的變大，很容易導(dǎo)致迭代發(fā)散，而筆者所提出的修正泰勒級(jí)數(shù)法和修正牛頓算法具有較強(qiáng)的性能來保證迭代的收斂．在噪聲較大時(shí)，收斂概率可以提高大概10%．在圖2中，泰勒級(jí)數(shù)法、修正泰勒級(jí)數(shù)法和修正牛頓算法都具有較好的收斂概率，只有牛頓法的收斂性較差．

圖1 目標(biāo)位置為(280m，325m，275m)時(shí)幾種算法收斂概率的比較 圖2 目標(biāo)位置為(2800m，3250m，2750m)時(shí)幾種算法收斂概率的比較

圖3和圖4分別展現(xiàn)了近距離和遠(yuǎn)距離目標(biāo)情況下泰勒級(jí)數(shù)法、牛頓法、 修正泰勒級(jí)數(shù)法和修正牛頓算法的定位精度估計(jì)，同時(shí)和兩種經(jīng)典的閉合式算法兩次加權(quán)最小二乘和多維尺度分析進(jìn)行比較．從圖3可以看到，所有的算法在高信噪比時(shí)都能夠達(dá)到克拉美羅界．隨著噪聲的提升，閉合式算法兩次加權(quán)最小二乘、多維尺度分析受門檻效應(yīng)的作用，所求的位置解誤差逐漸變大; 泰勒級(jí)數(shù)法和牛頓算法的定位精度也嚴(yán)重地偏離了克拉美羅界，這是因?yàn)榻Y(jié)果中存在的局部最小值大大提升了平均均方誤差估計(jì)值．筆者提出的修正泰勒級(jí)數(shù)法、修正牛頓算法相比于其他算法在大噪聲環(huán)境下具有較高的定位精度，從圖中可以注意到，修正泰勒級(jí)數(shù)算法的定位精度相比于多維尺度分析算法的略差，這是因?yàn)樵趯?shí)驗(yàn)中設(shè)置的迭代次數(shù)門限較為寬松，致使結(jié)果中依然存在少量的局部最小值從而拉高了平均估計(jì)精度．門限選取越嚴(yán)格，修正泰勒級(jí)數(shù)法的估計(jì)精度越趨近于修正牛頓算法．在圖4中可以看到，修正泰勒級(jí)數(shù)法和修正牛頓算法的定位精度優(yōu)于其他算法的，由于式(7)中的第2項(xiàng)的值在遠(yuǎn)距離目標(biāo)情況下會(huì)變得很小，因此筆者提出的兩種算法結(jié)果趨于一致．定位精度在噪聲非常大時(shí)略低于克拉美羅界，這是因?yàn)樵肼曔^大時(shí)的估計(jì)不再是無偏估計(jì)的．

圖3 目標(biāo)位置為(280m，325m，275m)時(shí)幾種算法定位精度的比較 圖4 目標(biāo)位置為(2800m，3250m，2750m)時(shí)幾種算法定位精度的比較

圖5給出了修正牛頓算法中的兩種正則化算法——吉洪諾夫法、衰減奇異值分解法的比較結(jié)果，實(shí)驗(yàn)從均方誤差和收斂概率兩方面分別驗(yàn)證了算法的性能．由于初值由閉合式算法給出，相比于隨機(jī)給出的初值更為準(zhǔn)確．從圖中可以看出，在定位精度方面，兩種方法幾乎相同；在收斂概率方面，吉洪諾夫算法的收斂性要略好于衰減奇異值分解算法的．

圖5 目標(biāo)位置為(280m，325m，275m)時(shí)修正牛頓法中吉洪諾夫法、衰減奇異值分解法的比較結(jié)果 圖6 目標(biāo)位置為(2800m，3250m，2750m)時(shí)L曲線和廣義交叉檢測(cè)法的性能比較(較差情況)

5 結(jié) 束 語

對(duì)到達(dá)時(shí)間差定位問題，筆者在原迭代算法基礎(chǔ)上提出了修正泰勒級(jí)數(shù)法以及修正牛頓法，運(yùn)用正則化理論中的吉洪諾夫技術(shù)修正病態(tài)海森矩陣，解決了迭代方法中關(guān)鍵的收斂性問題．同原方法相比，經(jīng)過改進(jìn)的修正泰勒級(jí)數(shù)法、修正牛頓算法能夠更加穩(wěn)健地收斂到全局最優(yōu)解; 與兩次加權(quán)最小二乘、多維尺度分析等線性算法相比，盡管由于迭代算法的特性使其計(jì)算量相對(duì)較大，但在低信噪比環(huán)境中定位誤差更接近于克拉美羅界．文中算法的核心思想在于對(duì)病態(tài)海森矩陣的正則化處理，此算法可用于多種觀測(cè)模型，如到達(dá)時(shí)間、到達(dá)角度等．當(dāng)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)時(shí)，此算法也能夠結(jié)合到達(dá)頻差方程組求解目標(biāo)的位置及速度，具有良好的實(shí)用價(jià)值和廣泛的適用范圍．

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(編輯：郭 華)

Research on modified Newton and Taylor-series methods in TDOA

FANGJiaqi，F(xiàn)ENGDazheng，LIJin

(National Key Lab. of Radar Signal Processing, Xidian Univ., Xi’an 710071, China)

In the Time Difference Of Arrival (TDOA) source localization model, based on the Taylor-series (TS) method and Newton (NT) method, this paper presents the Modified Taylor-series(MTS) method and the Modified Newton method(MNT), which solve the critical convergent problem caused by the bad initial value in the original algorithms. The proposed algorithms modify the ill-condition Hessian matrix caused by the bad initial value using the Tikhonov (TI) or the Diagonal Singular Value Decomposition technique (DSVD) in the Regularization theory. The regularization parameter which controls the properties of the regularized solution is determined by the L-curve method. Simulation results show that compared with the TS and NT methods, the proposed methods ensure that the solution of the iterative methods converges on the source location, improves the convergent probability and has a better capability to remove the local minima. The proposed methods also give superior performances of the location accuracy comparing with the closed-form algorithms in low SNR environment.

source localization; time-difference-of-arrival; modified Taylor-series method; modified Newton method;regularization method

2015-10-11

時(shí)間：2016-04-01

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61271293)

房嘉奇(1984-)，男，西安電子科技大學(xué)博士研究生，E-mail: fangjiaqi123@hotmail.com．

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.tn.20160401.1622.010.html

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.06.005

TN97

A

1001-2400(2016)06-0027-07