鄧 欣

(中國西南電子技術(shù)研究所,成都 610036)

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一種線性約束連續(xù)自適應(yīng)方向圖控制方法*

鄧 欣**

(中國西南電子技術(shù)研究所,成都 610036)

針對任意陣列天線的自適應(yīng)空域濾波和低副瓣控制的問題，提出了一種連續(xù)自適應(yīng)方向圖控制方法。該方法通過采用線性約束最小方差準(zhǔn)則的方向圖綜合算法(LCMV-PS)產(chǎn)生具有低副瓣特性的靜態(tài)權(quán)矢量，利用該權(quán)矢量構(gòu)造出新的約束條件，進行線性約束最小均方誤差(LMS)自適應(yīng)波束形成。該方法避免了常規(guī)的線性約束最小方差(LCMV)算法的矩陣求逆運算，計算復(fù)雜度低。對幾種天線陣形的計算機仿真結(jié)果表明該方法收斂速度快，穩(wěn)態(tài)性能良好。

陣列信號處理；自適應(yīng)波束形成；方向圖控制；最小均方算法

1 引 言

近幾十年來，自適應(yīng)陣列處理已廣泛應(yīng)用于雷達、通信、電子對抗、導(dǎo)航等眾多領(lǐng)域。自適應(yīng)陣列處理可以在保證天線波束主瓣對準(zhǔn)期望信號方向的同時，在未知干擾方向自適應(yīng)地形成零陷以抑制干擾。自適應(yīng)處理算法[1-3]均需要累積足夠多的快拍數(shù)據(jù)[4]或一定的響應(yīng)時間[5]才能得到最優(yōu)權(quán)矢量，而對于隨時間快變的干擾則無法及時響應(yīng)和在干擾方向形成零陷，且由于副瓣電平較高，天線系統(tǒng)易受強干擾的影響。

陣列的低副瓣處理是應(yīng)對這類突發(fā)干擾的一種有效方法。在獲得低副瓣或復(fù)雜方向圖的方向圖綜合方面的研究成果中，Dolph首次提出的Dolph-Chebyshev方向圖綜合方法及一系列改進方法[6-7]，可得到在限定最大副瓣電平條件下的最優(yōu)權(quán)矢量，但該方法只能用于均勻等距陣列，而不適用于非均勻陣設(shè)計。文獻[8]提出的靜態(tài)方向圖數(shù)值綜合算法(Numerical Quiescent Pattern Synthesis,NPS)可適用于任意陣和復(fù)雜方向圖設(shè)計，但迭代次數(shù)多，運算量大。文獻[9-10]提出的基于線性約束最小方差準(zhǔn)則的方向圖綜合方法(Linearly Constrained Minimum Variance Pattern Synthesis,LCMV-PS)，相對于NPS算法具有較小的迭代次數(shù)和更好的收斂性。

以上列舉的方向圖綜合方法適用于陣列訓(xùn)練數(shù)據(jù)中只含有空間獨立白噪聲的情況，對陣列接收數(shù)據(jù)中的干擾信號不具有抑制作用。對于一些自適應(yīng)處理算法，如線性約束最小方差(Linearly Constrained Minimum Variance,LCMV)波束形成器[3]的最優(yōu)權(quán)矢量，無法通過與方向圖綜合的最優(yōu)權(quán)矢量直接點乘的方式得到自適應(yīng)方向圖的低副瓣結(jié)果。文獻[11]提出的基于LCMV波束形成器的自適應(yīng)方向圖控制方法，需要累積足夠多的采樣數(shù)據(jù)，且涉及對數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的求逆運算，計算量大。為此，本文提出了一種適用于任意陣列的連續(xù)自適應(yīng)方向圖控制方法，使得陣列方向圖具有期望的低副瓣特性和良好的干擾抑制能力，且計算復(fù)雜度低，穩(wěn)態(tài)性能良好。

2 基于線性約束最小方差準(zhǔn)則的靜態(tài)方向圖綜合方法[9]

線性約束最小方差波束形成器[3]的數(shù)學(xué)表達式為

wopt=argminwHRXws.t.CHw=f。

(1)

式中：H表示矩陣共軛轉(zhuǎn)置；RX=E[X(k)XH(k)]為陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣；C為約束矩陣；f為約束向量。

式(1)的最優(yōu)解為

(2)

在一定的應(yīng)用背景下，要求自適應(yīng)陣列具有一些特定的方向圖特性，如不考慮對陣列接收數(shù)據(jù)的自適應(yīng)干擾抑制，由靜態(tài)方向圖綜合方法可得到確知波束形成的靜態(tài)權(quán)矢量。

其中基于線性約束最小方差準(zhǔn)則的靜態(tài)方向圖綜合方法，在陣列方向圖的旁瓣區(qū)設(shè)置多個虛擬干擾，以主瓣寬度作為限定條件，通過迭代運算尋找方向圖的最大主副瓣電平比對應(yīng)的最優(yōu)權(quán)矢量，不但可獲得在固定主瓣寬度下最低副瓣電平，而且其迭代系數(shù)對方向圖的綜合條件不敏感，收斂速度快。

假設(shè)有Q個具有適當(dāng)功率的虛擬人工干擾覆蓋整個空間區(qū)域，其中主瓣區(qū)的虛擬干擾功率為0，θq(q=1,2,…,Q)為各虛擬干擾的入射角度。控制虛擬干擾功率的迭代公式表示為

(3)

式中：εq(n)為第n次迭代在方向θq上的干擾功率；g為迭代系數(shù)；G(θq,n)為在方向θq上的增益。

上式只針對均勻旁瓣的情況，如要形成具有任意旁瓣電平包絡(luò)特性的方向圖，則需將式(3)稍作修改為

(4)

式中：d(θq)為在旁瓣區(qū)θq方位上期望的旁瓣電壓。

構(gòu)造第n次迭代的陣列協(xié)方差矩陣為

(5)

式中：σI為防止R(n)病態(tài)引入的；I是單位陣。

將式(1)的LCMV波束形成器的約束條件設(shè)為wHa(θ0)=1，其中θ0為期望信號方位，則由LCMV波束形成器求得每次迭代的最優(yōu)權(quán)矢量為

wopt(n)=R-1(n)a(θ0)[aH(θ0)R-1(n)a(θ0)]-1。

(6)

當(dāng)?shù)呌谑諗?，即相鄰兩次迭代的εq(n)差值小于設(shè)定的很小的常數(shù)，或方向圖已滿足期望的方向圖特性要求時，迭代結(jié)束。

3 線性約束連續(xù)自適應(yīng)方向圖控制方法

3.1 方法介紹

LCMV-PS算法得出的最優(yōu)權(quán)矢量是滿足特定方向圖要求的靜態(tài)權(quán)矢量，但對于天線陣列實際接收信號中的干擾無法自適應(yīng)形成零陷而濾除。因此,本文提出一種連續(xù)自適應(yīng)方向圖控制方法，根據(jù)LCMV-PS算法得到的靜態(tài)權(quán)矢量，將陣列接收的有限次快拍數(shù)據(jù)采用線性約束最小均方誤差(Least Mean Square，LMS)自適應(yīng)處理，計算出既可實現(xiàn)自適應(yīng)干擾抑制又滿足期望方向圖特性的任意陣列最優(yōu)權(quán)矢量。

設(shè)采用LCMV-PS算法計算出的靜態(tài)方向圖最優(yōu)權(quán)矢量為wps，對于式(1)構(gòu)造新的約束條件:

(7)

其中:

(8)

(9)

考慮在實際工程應(yīng)用中，需要對陣列接收的快拍數(shù)據(jù)進行實時響應(yīng)和快速處理，本文采用LMS連續(xù)處理算法，遞歸收斂得到自適應(yīng)方向圖控制的最優(yōu)權(quán)矢量。

我們采用拉格朗日代價函數(shù)

(10)

式中：λ為拉格朗日算子。為了使式(10)關(guān)于w最小，對w采用梯度方向搜索，遞歸表達式為

w(k+1)=w(k)-μwwJ1。

(11)

式中：μw為步長因子，控制遞歸的收斂速度和穩(wěn)態(tài)失調(diào)誤差。由式(10)對w求導(dǎo)得到wJ1的表達式為

(12)

將式(12)代入式(11)可得

(13)

式中:λ(k)需要在每次遞歸中更新。由于w(k+1)同樣需要滿足式(7)的約束條件，可得λ(k)的計算式為

(14)

(15)

由此可得到適用于任意陣列的連續(xù)自適應(yīng)方向圖控制方法，其具體步驟可總結(jié)如下：

步驟1按LCMV-PS靜態(tài)方向圖綜合算法計算出所需期望方向圖的最優(yōu)靜態(tài)權(quán)矢量wps；

取k=1,2,…

(1)計算

(2)更新權(quán)矢量

(3)估計陣列協(xié)方差矩陣

返回步驟1。

在實際工程應(yīng)用中，可將滿足期望方向圖特性的靜態(tài)權(quán)矢量wps預(yù)先計算并存儲，以便于在計算連續(xù)自適應(yīng)方向圖控制的最優(yōu)權(quán)時直接調(diào)用。

3.2 收斂性分析

計算連續(xù)自適應(yīng)方向圖控制的最優(yōu)權(quán)矢量等效為搜索關(guān)于天線陣列輸出功率wHRXw最小時對應(yīng)的權(quán)矢量，而wHRXw為關(guān)于w的二次函數(shù)，必然存在全局極小值，因此本文方法的最優(yōu)權(quán)矢量是存在的。但是步長因子μw的選取直接影響連續(xù)自適應(yīng)算法的收斂性，若μw取值太小，則收斂速度太慢；若μw取值過大，則導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)失調(diào)誤差增大，無法收斂到最優(yōu)值。因此，本文對步長因子μw的選取進行推導(dǎo)分析，得到關(guān)于μw取值的約束條件，以確保自適應(yīng)遞歸計算的穩(wěn)態(tài)收斂。

關(guān)于w在第k次遞歸的誤差矢量為

ew(k)=w(k)-wopt。

(16)

式中：wopt為遞歸趨于穩(wěn)態(tài)時的最優(yōu)權(quán)矢量。當(dāng)?shù)諗康阶顑?yōu)值時，梯度wJ1=0，將此關(guān)系式代入式(12)可得wopt的表達式為

(17)

式中：λopt為最優(yōu)權(quán)矢量wopt對應(yīng)的拉格朗日算子。

考慮自適應(yīng)遞歸計算時誤差矢量的變化情況，將式(13)和式(17)代入ew(k+1)的關(guān)系式，即有

(18)

對ew(k+1)取數(shù)學(xué)期望，可得到

(19)

由式(19)關(guān)于誤差矢量的遞歸關(guān)系式可看出，本文方法的收斂性取決于I-2μwRX的取值，即μw需滿足(I-2μwRX)H(I-2μwRX)的特征值均小于1才能使自適應(yīng)遞歸計算收斂至最優(yōu)值。

4 計算機仿真

為了驗證所提方法的有效性，這里以幾種均勻陣列和非均勻陣列為例進行仿真計算，并與基于靜態(tài)方向圖數(shù)值綜合(NPS)[8]的LMS算法(NPS-LMS)、基于LCMV-PS的遞歸最小二乘[12](Recursive Least Square,RLS)算法(LCMV-PS-RLS)進行比較分析。在以下所有仿真示例中，設(shè)定陣列由各向同性的25個陣元組成，期望信號方位為0°，信噪比為0 dB，存在來自-40°方位的非相干干擾，干噪比為20 dB，以及來自50°方位的非相干干擾，干噪比為30 dB，且在30°方位進行固定零點約束。LCMV-PS和NPS算法的常數(shù)因子為0.1，迭代次數(shù)K=70。連續(xù)自適應(yīng)方向圖控制的快拍數(shù)為100次。

4.1 例1:均勻線陣情形

陣列為半波長等距線陣，步長因子μw=0.000 01。圖1給出了本文方法、NPS-LMS和LCMV-PS-RLS的自適應(yīng)方向圖。從圖1可看出幾種方法均在-40°、50°和30°形成了較深零陷，且副瓣電平接近-30 dB的設(shè)計值。

圖1 例1的自適應(yīng)方向圖

Fig.1 Adaptive pattern of Example 1

圖2為陣列采用本文方法、NPS-LMS和LCMV-PS-RLS的最優(yōu)權(quán)矢量后輸出信干噪比隨快拍數(shù)變化情況，其中本文方法與NPS-LMS均采用LMS連續(xù)自適應(yīng)算法，收斂速度一致，穩(wěn)態(tài)性能與理論值只差0.7 dB左右，且優(yōu)于LCMV-PS-RLS算法。

圖2 例1的輸出信干噪比隨快拍數(shù)的曲線

Fig.2 Output SINR curve with snapshots of Example 1

4.2 例2:非均勻線陣情形

陣元位置(單位為半波長)為0、0.671 2、1.110 3、1.723 2、2.366 1、2.664 5、3.019 2、3.767 8、4.096 6、4.829 7、5.460 5、6.346 0、6.593 5、7.156 2、7.616 7、7.960 8、8.567 4、8.817 1、9.386 3、9.789 2、10.258 4、10.809 2、11.166 7、11.871 0、11.895 2，步長因子μw=0.000 01，本文方法、NPS-LMS和LCMV-PS-RLS的自適應(yīng)方向圖和輸出信干噪比情況分別如圖3和圖4所示。由圖可知，本文方法和NPS-LMS算法的自適應(yīng)方向圖的副瓣電平均較好地滿足-21 dB的設(shè)計值，雖然NPS-LMS算法的穩(wěn)態(tài)性能略優(yōu)于本文方法，但其方向圖的主瓣已出現(xiàn)嚴(yán)重變形，而LCMV-PS-RLS算法的副瓣已超出期望的副瓣電平，且穩(wěn)態(tài)性能相對較差。

圖3 例2的自適應(yīng)方向圖

Fig.3 Adaptive pattern of Example 2

圖4 例2的輸出信干噪比隨快拍數(shù)的曲線

Fig.4 Output SINR curve with snapshots of Example 2

4.3 例3：均勻圓陣情形

陣元等距排布成半徑為18/π(單位為波長)的均勻圓陣，假定所有入射信號都與陣列共面，因此僅考慮陣列方位面情況。步長因子μw=0.000 01。由圖5可看出，本文方法自適應(yīng)方向圖基本滿足-18 dB的副瓣電平設(shè)計值，且在-40°、50°和30°形成了較深零陷，而LCMV-PS-RLS的方向圖在30°的零深相對較淺。在圖6的輸出信干噪比隨快拍數(shù)變化的曲線圖中，雖然LCMV-PS-RLS的收斂速度較快，但本文方法的穩(wěn)態(tài)性能更加優(yōu)越，優(yōu)于其他兩種算法。

圖5 例3的自適應(yīng)方向圖

Fig.5 Adaptive pattern of Example 3

圖6 例3的輸出信干噪比隨快拍數(shù)的曲線

Fig.6 Output SINR curve with snapshots of Example 3

4.4 例4:非均勻圓陣情形

陣元在半徑為18/π(單位為波長)的圓上隨機排布，如圖7所示，步長因子μw=0.000 03。由圖8可看出，本文方法的副瓣電平滿足期望方向圖的要求，且在-40°、50°的非相干干擾位置和30°置零位置形成了較深零陷，而LCMV-PS-RLS的副瓣電平高于期望的-18 dB設(shè)計值，NPS-LMS的主瓣有所變形，且NPS-LMS和LCMV-PS-RLS在-40°的零深較淺，僅有-35 dB。圖9為非均勻圓陣情形下輸出信干噪比隨快拍數(shù)變化的曲線圖，可見LCMV-PS-RLS收斂后的穩(wěn)態(tài)性能有所下降，而本文方法的穩(wěn)態(tài)性能優(yōu)于NPS-LMS算法和LCMV-PS-RLS算法。

圖7 例4中的陣元位置

Fig.7 Array element position of Example 4

圖8 例4的自適應(yīng)方向圖

Fig.8 Adaptive pattern of Example 4

圖9 例4的輸出信干噪比隨快拍數(shù)的曲線

Fig.9 Output SINR curve with snapshots of Example 4

由以上的仿真示例可得出：在不同的陣列情形下，相比NPS-LMS算法和LCMV-PS-RLS算法，本文方法收斂速度雖略慢于LCMV-PS-RLS，但穩(wěn)態(tài)性能優(yōu)越；最優(yōu)權(quán)矢量對應(yīng)的自適應(yīng)方向圖可滿足期望的方向圖要求，無主瓣畸變，并在非相干干擾和零點約束位置形成較深零陷，有效抑制來波干擾。

5 結(jié)束語

本文提出了一種基于線性約束LMS的連續(xù)自適應(yīng)方向圖控制方法。該方法將LCMV-PS算法的靜態(tài)權(quán)矢量用于構(gòu)造出基于線性約束LMS的新的約束條件，進行自適應(yīng)波束形成，使天線陣列既具有期望方向圖特性還具有自適應(yīng)干擾抑制的能力。本文方法相對于已有的自適應(yīng)方向圖控制方法，信干噪比損失小且方向圖無畸變發(fā)生。除此之外，還具有以下優(yōu)勢：可應(yīng)用于任意陣列；由于陣列方向圖的低副瓣特性，使其對時間快變干擾具有一定的抑制作用；采用連續(xù)自適應(yīng)處理，不僅可應(yīng)用于非平穩(wěn)環(huán)境下的自適應(yīng)干擾抑制，且避免了矩陣求逆運算，計算復(fù)雜度低。通過對幾種均勻陣列和非均勻陣列情形的計算機仿真驗證了本文方法的有效性。

由于本文方法在非均勻線陣、面陣等情況下的輸出信干噪比仍具有一定的損失，因此在提升陣列的穩(wěn)態(tài)性能方面有待進一步研究。

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鄧 欣(1982—)，女，陜西漢中人，2007年于西安電子科技大學(xué)獲碩士學(xué)位，現(xiàn)為工程師，主要研究方向為二次雷達和陣列信號處理。

DENG Xin was born in Hanzhong,Shaanxi Province,in 1982.She received the M.S.degree from Xidian University in 2007.She is now an engineer.Her research concerns secondary radar system and array signal processing.

Email:xind829@163.com

A Linearly Constrained Sample-by-Sample Adaptive Pattern Control Method

DENG Xin

(Southwest China Institute of Electronic Technology,Chengdu 610036,China)

For adaptive spatial filtering and low-sidelobe level controlling for arbitrary array,a sample-by-sample adaptive pattern control method is proposed.By adopting Linearly Constrained Minimum Variance Pattern Synthesis(LCMV-PS)，the method achieves a static weight vector,which has the property of low-sidelobe level.The weight vector is used to construct a new constraint,and based on linearly constrained Least Mean Square(LMS) the optimal weight vector of adaptive beamforming is obtained.The method avoids the inverse of the sample covariance matrix,thus enjoying lower computational complexity.Simulations for several kinds of antenna structure demonstrate that the method has a fast convergent rate and better performance than other sample-by-sample pattern control methods.

array signal processing;adaptive beamforming;pattern control;least mean square algorithm

10.3969/j.issn.1001-893x.2016.07.011

鄧欣.一種線性約束連續(xù)自適應(yīng)方向圖控制方法[J].電訊技術(shù)，2016,56(7):777-782.[DENG Xin.A linearly constrained sample-by-sample adaptive pattern control method[J].Telecommunication Engineering,2016,56(7):777-782.]

2015-11-16；

2016-04-20 Received date:2015-11-16；Revised date：2016-04-20

TN911.7

A

1001-893X(2016)07-0777-06

**通信作者：xind829@163.com Corresponding author：xind829@163.com