嚴 謀，曹瑞芳，楊 濤

(1.2.3.寧夏大學 物理電氣信息學院，寧夏 銀川 750021)

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一種三維手性聲子晶體的橫波偏振特性研究

嚴 謀1，曹瑞芳2，楊 濤3

(1.2.3.寧夏大學 物理電氣信息學院，寧夏 銀川 750021)

構(gòu)造了一種具有完整螺旋結(jié)構(gòu)的三維手性聲子晶體，并用層多重散射方法計算了其能帶結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)這類結(jié)構(gòu)可以實現(xiàn)橫波左右旋偏振態(tài)的分離。然后詳細考察了各種非完整螺旋結(jié)構(gòu)的能帶圖。其中，具有三層周期的非完整螺旋結(jié)構(gòu)可分為A、B和C型空間結(jié)構(gòu)，A型結(jié)構(gòu)對應的橫波偏振仍然簡并，無法分裂，B和C型結(jié)構(gòu)則可以實現(xiàn)完全相同的橫波帶分裂，即分離橫波左右旋偏振態(tài)。通過平移實現(xiàn)的兩層斜方晶體結(jié)構(gòu)，盡管并不是嚴格意義上的手性螺旋結(jié)構(gòu)，但同樣可以實現(xiàn)橫波的偏振分裂。

聲子晶體;手性;偏振;層多重散射

1引言

自1992年M.M.Sigalas和E.N.Economou[1]首次分析三維聲子晶體材料中彈性波和聲波的傳播性質(zhì)之后，聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)在理論上和實驗上吸引了眾多研究者的興趣[2-4]。這類人工結(jié)構(gòu)材料為實現(xiàn)各種可能的等效材料參數(shù)提供了全新的思路，尤其是近期實驗實現(xiàn)的具有等效負折射率的左手電磁超材料，其特殊的光學性質(zhì)必將在新材料領(lǐng)域扮演重要的角色。盡管理論上通過單極和偶極共振單元的組合，也可以實現(xiàn)聲學材料有效質(zhì)量密度和有效模量同時為負，從而實現(xiàn)所謂的負折射聲子晶體材料[5-6]。但到目前為止，對具有手性特征結(jié)構(gòu)的聲子晶體研究卻相對較少[7]。

波在具有負折射率的聲子晶體中傳播時，會具有某些奇異的現(xiàn)象。手性(chirality)結(jié)構(gòu)往往是實現(xiàn)負折射性質(zhì)常用的方法，因為當共振型材料引入手性結(jié)構(gòu)以后，只需要使一個有效參數(shù)為負就可以實現(xiàn)負折射，這樣可以簡化人工結(jié)構(gòu)加工的復雜度，為實現(xiàn)負折射提供了一種新的方法。手性結(jié)構(gòu)破壞了空間結(jié)構(gòu)的左右旋轉(zhuǎn)對稱性，也就是降低了體系的對稱性，增強了各向異性，使原本簡并的左右旋偏振態(tài)發(fā)生分裂，并且產(chǎn)生偏振帶隙，這樣就可以單獨操控橫波的左右旋偏振態(tài)。近期，I.E.Psarobas等人[8]根據(jù)一種手性結(jié)構(gòu)研究了彈性波的雙折射現(xiàn)象，實現(xiàn)左右旋偏振波的分裂，但是并沒有觀察到負折射。

本文通過三維聲子晶體中相鄰層的相對移動，使其在方向上的左右旋轉(zhuǎn)對稱性被破壞，從而形式上構(gòu)造出三維手性螺旋結(jié)構(gòu)，然后采用層多重散射方法，計算這種結(jié)構(gòu)的能帶圖，并詳細討論手性結(jié)構(gòu)在各個不同層結(jié)構(gòu)遭到破壞時，對彈性波偏振特性的影響。

2理論

彈性波的多重散射理論最初是由IE Psarobas[9]和Liu[10]在2000年分別獨立提出來的，這一方法在計算大填充率和阻抗相差大的組成材料時取得了巨大的成功，并且成功地應用于計算局域共振型超材料的帶結(jié)構(gòu)，在此基礎(chǔ)上發(fā)展的層多重散射理論，還可以計算有限層聲子晶體的透射和反射系數(shù)[11]。

首先將位移場在球坐標系下展開，對于單個球形散射體，其外部總場表示為

(1)

式中右邊第一項是入射波場，第二項是散射波場，分別用和表示入射波場和散射場的系數(shù)矩陣，則二者之間的關(guān)系可以形式的表示為：

B=TA

(2)

其中T叫做Mie散射矩陣，Jlmσ(r)和Hlmσ(r)表示如下

(3a)

(3b)

(3c)

(3d)

(3e)

(3f)

(4)

另一部分是除i以外其他所有散射體的散射波場的疊加

(5)

式中的求和可以用球坐標系下的加法定則計算。這樣就可以由給定的外部入射波場得到除第i個散射體外其他所有散射體的散射波場之和，進而得到第i個散射體的總?cè)肷鋱?，再利用Mie散射矩陣得出整個波場分布。對于周期性聲子晶體，我們引入Bloch定理，將方程轉(zhuǎn)化為久期方程進行求解，可以得到聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)。這種方法不但可以計算能帶結(jié)構(gòu)，還可以求解經(jīng)過有限厚度聲子晶體的透射系數(shù)和反射系數(shù)。

圖1 三維手性螺旋結(jié)構(gòu)聲子晶體示意圖。左圖為空間結(jié)構(gòu)圖，右圖為沿著z正方向的投影圖

3模型及討論

首先，我們通過逐次平移層平面，構(gòu)造三維手型螺旋結(jié)構(gòu)的聲子晶體，三維空間的示意圖如圖1。假設(shè)聲子晶體的層平面均為晶格常數(shù)為a的正方晶格結(jié)構(gòu)，如圖1中左圖所表示的各個層，如果選取某一層為第一層，并且固定這一層中的某個散射體的中心為坐標原點O(如圖1左中的“1”)，并且保持層與層(z方向)之間的間距始終為0.5a，那么只需要第二層相對于第一層在x方向移動0.5a(如圖1左中的“2”)，第三層相對于第二層在y方向移動0.5a(如圖1左中的“3”)，第四層相對于第三層在x方向移動-0.5a(如圖1左中的“4”)，第五層相對于第四層在x方向移動-0.5a(如圖1左中的“1’”)，此時第五層又回到了原始位置，也就是說，只需要四層我們就可以構(gòu)造出一個周期的空間手性螺旋結(jié)構(gòu)。沿著軸的正方向投影過去，可以看到最初確定的參考點O，在投影上形成了1-2-3-4-1的螺旋結(jié)構(gòu)，如圖1右中的表示。一般情況下，可以將參考點在每一層的位置表示為(m1a,l1a,1h)，(m2a,l2a,2h)，(m3a,l3a,3h)…(mna,lna,nh)，m,l表征空間結(jié)構(gòu)的對稱性，或者說手性的強弱程度。顯然m=0,l=0時，對稱性最高，結(jié)構(gòu)手性最弱，x和y方向的結(jié)構(gòu)排列完全一樣；當m,l至少有一個不為零時，聲子晶體的空間結(jié)構(gòu)對稱性降低，因此可以通過不斷變化m,l，以調(diào)整其手性的強弱。

接下來，我們利用多重散射方法計算圖1中所給出的這種完整螺旋結(jié)構(gòu)聲子晶體(n=4,m=0.5,l=0.5,h=0.5a)的能帶。其中，基體材料和散射體分別為樹脂和鋼，樹脂的密度為ρm=1.18×103kg/m3，縱波在其內(nèi)部傳播的速度clm=2540m/s，橫波傳播的速度ctm=1160m/s，鋼的密度是ρc=7.8×103kg/m3，縱波速度clm=5940m/s，橫波速度是ctm=3200m/s，選擇樹脂中的縱波速度為歸一化速度，即c0=2540m/s，散射體鋼球的半徑為r=0.23a。圖2給出了這種手性結(jié)構(gòu)的能帶圖。

圖2 完整手性螺旋結(jié)構(gòu)聲子晶體能帶圖。圖中紅色實心圓點表示橫波，三角形表示縱波

圖2中的完整手性螺旋聲子晶體能帶的顯著特征是橫波(圖中紅色實心圓)能帶發(fā)生了分裂。眾所周知，橫波有兩種偏振模式，包括左旋和右旋偏振。傳統(tǒng)的聲子晶體，由于結(jié)構(gòu)本身具有高度的對稱性，橫波都是簡并的，無法區(qū)分偏振模式。但引入手性螺旋結(jié)構(gòu)后，可以使橫波簡并消除，能帶發(fā)生分裂，從而實現(xiàn)區(qū)分并控制左旋偏振和右旋偏振波。另外，由于對稱性遭到破壞，第一條縱波帶被壓低，在ωa/c0=1.8～2.0附近產(chǎn)生了縱波帶隙，同時在ωa/c0=2.1～2.35之間也出現(xiàn)了完全帶隙。

在完整螺旋結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，我們引入破缺螺旋結(jié)構(gòu)，即非完整手性螺旋結(jié)構(gòu)，以討論手性螺旋結(jié)構(gòu)對左右旋偏振模式的影響。首先討論三層非完整螺旋結(jié)構(gòu)。為了簡潔，我們只給出沿著正方向的投影圖。

圖3 三層非完整手性螺旋結(jié)構(gòu)聲子晶體沿z正方向的6種可能的投影示意圖

圖3給出了破缺聲子晶體的6種可能的投影圖。為了簡化計算，首先分析它們的空間對稱性。(1)和(6)在第二層的平移順序不一致，但從空間結(jié)構(gòu)看，只需要沿著z軸旋轉(zhuǎn)90°，則完全一致，這一類結(jié)構(gòu)我們標記為A型結(jié)構(gòu)。同樣地，(2)和(5)，(3)和(4)也分別具有相同的空間結(jié)構(gòu)，標記為B型和C型結(jié)構(gòu)。圖4給出了這三種結(jié)構(gòu)的能帶圖。

圖4 三層非完整手性螺旋結(jié)構(gòu)聲子晶體能帶圖，自左至右分別是A、B和C種空間結(jié)構(gòu)對應的能帶圖，其中紅色圓點表示橫波，黑色三角形表示縱波

顯然圖4的能帶圖中，A、B和C型晶體的能帶結(jié)構(gòu)整體上基本相同，橫波和縱波能帶的分布幾乎沒有差別。但是，A型結(jié)構(gòu)的橫波左右旋偏振模式仍然簡并，并沒有因為螺旋結(jié)構(gòu)的引入而發(fā)生分裂。B型和C型結(jié)構(gòu)中所有的橫波左右旋偏振都出現(xiàn)了分裂，同時B型和C型晶體結(jié)構(gòu)在空間上對彈性波的影響完全一致。這也說明了手性結(jié)構(gòu)對于橫波偏振分裂的影響并不是絕對的，只是在某些特定情況下會實現(xiàn)左右旋偏振模式的分裂。

圖5 兩層非完整螺旋結(jié)構(gòu)聲子晶體沿z正方向的2種可能的投影示意圖

接下來，討論兩層結(jié)構(gòu)對橫波偏振模式的影響，空間結(jié)構(gòu)如圖5。這種結(jié)構(gòu)嚴格來講并不是螺旋結(jié)構(gòu)，一般稱其為斜方晶體結(jié)構(gòu)。由于其破壞了空間的左右對稱性，應該也會對橫波的偏振模式產(chǎn)生影響。同樣地，通過分析可知，這兩種結(jié)構(gòu)在空間上的拓撲完全一致，屬于同一類型。圖6給出了這種斜方晶體結(jié)構(gòu)的能帶圖，從中可以看到橫波對應的能帶發(fā)生了分裂，而且在ωa/c0=2.1～2.3附近出現(xiàn)了第一條完全帶隙。由此可見，通過兩層平移實現(xiàn)橫波左右旋偏振模式簡并消除，即能帶分裂更具有一般性。

圖6 兩層非完整螺旋結(jié)構(gòu)(斜方結(jié)構(gòu))聲子晶體能帶圖，其中紅色圓點表示橫波，黑色三角形表示縱波。

本文構(gòu)造了一種具有完整螺旋結(jié)構(gòu)的手性聲子晶體，并用層多重散射方法計算了其能帶結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)這種結(jié)構(gòu)可以實現(xiàn)橫波左右旋偏振態(tài)的分離。在此基礎(chǔ)上，詳細考察了各種非完整螺旋結(jié)構(gòu)的能帶圖。其中，具有三層周期的非完整螺旋結(jié)構(gòu)可分為A、B和C型空間結(jié)構(gòu)，A型結(jié)構(gòu)對應的橫波偏振仍然簡并，無法分裂，B和C型結(jié)構(gòu)，則可以實現(xiàn)完全相同的橫波帶分裂，即分離橫波左右旋偏振態(tài)。通過平移實現(xiàn)的兩層斜方晶體結(jié)構(gòu)，盡管并不是嚴格意義上的手性螺旋結(jié)構(gòu)，但同樣可以實現(xiàn)橫波的偏振分裂。

手性螺旋結(jié)構(gòu)，無論完整還是破缺，都沒有發(fā)現(xiàn)負折射現(xiàn)象，因此這一類型的手性結(jié)構(gòu)聲子晶體與光子晶體在性質(zhì)上有著明顯的區(qū)別。盡管如此，這類結(jié)構(gòu)還可以顯著地區(qū)分出橫波的左右旋偏振態(tài)，有著其重要的現(xiàn)實意義，如制作聲學二極管、聲學濾波片等。

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(責任編輯：高 堅)

On Shear-wave Polarization Characteristics 3-DChiral Photonic Crystal

Yan Mou1, Cao Ruifang2, YangTao3

(1.2.3. School of Physics electrical information Engineering, Ningxia University, Yinchuan 750021, China)

In this paper, a 3-D chiral photonic crystal with complete helical structure has been built and its energy band structure has been calculated in multiple scattering method, which shows that such a structure can be used to realize the separation of shear wave around spin polarization. Then, a detailed research into various energy band pictures with incomplete helical structures has been conducted, among which incomplete helical structures with three cycles can be divided into spatial structures of A, B and C types. The structure of A type is still integrated with shear wave polarization while structures of A and B types can fully realize the separation of shear wave polarization, i.e. the separation of shear wave around spin polarization.Although the two-layered orthorhombic crystal structure obtained by translation is not A strictly-defined chiral helical structure, it can also be used to realize the separation of shear wave polarization.

; Photonic crystal; Chiral; Polarization; Multiple scattering method

2016-03-15

國家自然科學基金(11504190);寧夏大學研究生創(chuàng)新項目( GIP2015007)

O469

A

1673-8535(2016)03-0027-07

嚴謀(1991-)，男，云南省宣威市人，寧夏大學物理電氣信息學院碩士研究生，研究方向：人工特異材料。

曹瑞芳(1978-)，女，甘肅省天水市人，寧夏大學物理電氣信息學院講師，碩士研究生,研究方向：人工特異材料。

楊濤(1980-)，男，寧夏青銅峽市人，寧夏大學物理電氣信息學院講師，博士研究生，研究方向：人工特異材料、復雜流體。