秦愛(ài)芳,葛航

(上海大學(xué)土木工程系,上?！?00072)

線性加荷情況下非飽和土層一維固結(jié)特性分析

秦愛(ài)芳,葛航

(上海大學(xué)土木工程系,上海200072)

基于Fredlund非飽和土一維固結(jié)理論,得到了線彈性和黏彈性兩種地基在線性加荷情況下,頂面透水透氣、底面不透水不透氣的單層非飽和土一維固結(jié)超孔隙水壓力、超孔隙氣壓力和沉降的半解析解.通過(guò)典型算例,分析了不同水、氣滲透系數(shù)比以及不同土層深度下超孔隙水壓力、超孔隙氣壓力和固結(jié)度隨時(shí)間的變化規(guī)律，并對(duì)線彈性和黏彈性兩種地基的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較分析.得到的結(jié)論對(duì)于非飽和土固結(jié)特性的研究及線性加荷下的固結(jié)工程具有一定的參考價(jià)值.

非飽和土；半解析解；一維固結(jié)；線荷載

地球表面非飽和土的覆蓋率較高,非飽和土的固結(jié)問(wèn)題在實(shí)際工程中也較為常見(jiàn).地基處理工程中常采用預(yù)壓固結(jié),即線性加荷到一定值后穩(wěn)定使其固結(jié).線性加荷情況下非飽和土的固結(jié)特性研究對(duì)于地基預(yù)壓等工程問(wèn)題很有意義.

Therzaghi[1]和Biot[2]的飽和土固結(jié)理論雖然比較成熟,但并不適用于非飽和土.非飽和土中由于有氣體的存在,其固結(jié)特性要比飽和土復(fù)雜得多.

自20世紀(jì)60年代,人們就開(kāi)始對(duì)非飽和土固結(jié)進(jìn)行研究,但由于非飽和土的復(fù)雜性,至今沒(méi)有統(tǒng)一的固結(jié)理論.國(guó)外比較經(jīng)典的有Fredlund等[3]、Barden[4]提出的固結(jié)方程，國(guó)內(nèi)Chen等[5-6]、楊代泉等[7]也提出了各自的非飽和土固結(jié)方程.目前非飽和土固結(jié)理論中具有代表性和權(quán)威性的是Fredlund的非飽和土固結(jié)理論及方程.

秦愛(ài)芳等[8-10]在Fredlund非飽和土一維固結(jié)理論的基礎(chǔ)上進(jìn)行假設(shè),得到了大面積均布瞬時(shí)加載單面排水條件下的非飽和土線彈性地基一維固結(jié)的解析解、加荷隨時(shí)間指數(shù)變化下線彈性地基一維固結(jié)的解析解和大面積均布瞬時(shí)加載下黏彈性地基一維固結(jié)的半解析解.實(shí)際工程中更多的是線性加荷情況.對(duì)于線性加荷情況下的飽和土,謝康和等[11-12]研究了變荷載下飽和土的一維大應(yīng)變固結(jié)解析理論，李傳勛等[13-15]進(jìn)行了變荷載下基于指數(shù)滲流的單層、雙層線彈性地基一維固結(jié)分析.

本工作基于Fredlund非飽和土的一維固結(jié)理論,得到線性加荷情況下頂面為透水透氣面、底面為不透水和不透氣面的非飽和土層一維固結(jié)的半解析解,并且針對(duì)線彈性和黏彈性兩種情況進(jìn)行比較分析.研究結(jié)果對(duì)地基預(yù)壓等線性加荷下地基固結(jié)問(wèn)題具有參考價(jià)值.

1　基本理論

1.1基本假定

本研究基本假定如下：①土粒和水分界面在外力作用下保持平衡；②氣相是連續(xù)的；③土體的體積變化系數(shù)在固結(jié)中保持不變；④液相、氣相滲透系數(shù)均為基質(zhì)吸力的函數(shù),在固結(jié)過(guò)程中非線性變化,在足夠小的時(shí)間段內(nèi)假定為常數(shù)；⑤不考慮土中水與空氣的相互溶解及擴(kuò)散；⑥土顆粒與水均不可壓縮,固結(jié)過(guò)程中非飽和土體的總體積變化等于液相和氣相體積變化之和；⑦固結(jié)過(guò)程中所有應(yīng)變均為小應(yīng)變.

1.2線彈性

計(jì)算模型如圖1所示,取單層非飽和土,土層厚為H,頂面為排水排氣面,底面為不排水不排氣面,線性加荷為

式中，qu=100 kPa,tc=105s.荷載隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖2所示.

圖1　計(jì)算模型Fig.1　Calculation model

圖2　荷載隨時(shí)間的變化Fig.2　Load variation over time

1.2.1液相控制方程

基于Fredlund非飽和土的一維固結(jié)理論,可以得到線性加荷情況下的液相控制方程,方法同文獻(xiàn)[9],

其中ua,uw為超孔隙氣壓力和超孔隙水壓力,kw為水滲透系數(shù),γw為水的重度,mw1k為K0加荷下相應(yīng)于凈法向應(yīng)力變化d(σ?ua)的水體積變化系數(shù),mw2為K0加荷條件下相應(yīng)于基質(zhì)吸力變化d(ua?uw)的水體積變化系數(shù).

1.2.2氣相控制方程

基于Fredlund非飽和土的一維固結(jié)理論,也可以得到線性加荷情況下的氣相控制方程,方法同文獻(xiàn)[9],

其中ka為氣滲透系數(shù),M為平均摩爾質(zhì)量,R=8.314 J/(mol·K)為通用氣體常數(shù),T為絕對(duì)溫度,g為重力加速度,n0為加載前的初始孔隙率,Sr0為加載前的初始飽和度,為初始絕對(duì)孔隙氣壓力,uatm為大氣壓,為K0加荷下相應(yīng)于凈法向應(yīng)力變化d(σ?ua)的氣體積變化系數(shù),為K0加荷條件下相應(yīng)于基質(zhì)吸力變化d(ua?uw)的氣體積變化系數(shù).

1.2.3矩陣微分方程

達(dá)西定律：

式中,hw為水頭,且hw=z+uw/γw.

空氣傳導(dǎo)系數(shù)修正后的氣體流動(dòng)Fick定律：

將式(2)～(5)分別進(jìn)行Laplace變換,得到如下矩陣形式的偏微分方程,方法同文獻(xiàn)[9],

其中s為L(zhǎng)aplace變量.

1.2.4Laplace變換下求解

利用Cayley-Hamilton理論求解矩陣微分方程(6),可以得到頂面狀態(tài)向量與任意深度處狀態(tài)向量間的關(guān)系：

式中,Tij以及S1～S4的求解方法同文獻(xiàn)[9],其中

邊界條件(頂面透水透氣、底面不透水不透氣)：

初始條件：

最終可以得到Laplace變換下任意深度超孔隙水壓力和超孔隙氣壓力的表達(dá)式,方法同文獻(xiàn)[9],

1.3黏彈性

黏彈性情況采用Merchant本構(gòu)模型,如圖3所示.該模型由一個(gè)彈性體和Kelvin體串聯(lián)而成.本構(gòu)方程為

圖3　Merchant模型Fig.3　Merchant model

對(duì)式(13)作關(guān)于時(shí)間t的Laplace變換,可得

式中,V(s)為柔度系數(shù)的Laplace變換式.

采用李氏比擬法,引入柔度系數(shù)的Laplace變換式V(s)來(lái)代替線彈性模型中的常數(shù)1/E,直接對(duì)連續(xù)方程和本構(gòu)方程進(jìn)行Laplace變換,得到控制方程,進(jìn)而求得黏彈性情況下Laplace變換域內(nèi)的解,方法同文獻(xiàn)[10],

采用Crump[16]給出的方法編制程序,對(duì)式(11)～(13)及式(16)～(18)進(jìn)行Laplace逆變換,即得到線彈性及黏彈性有限厚度土層一維固結(jié)超孔隙水壓力、超孔隙氣壓力以及土層沉降的半解析解.

2　算例與分析

2.1算例

對(duì)固結(jié)過(guò)程中的超孔隙水壓力、超孔隙氣壓力以及固結(jié)度隨時(shí)間的變化規(guī)律進(jìn)行分析,結(jié)果如圖4～8所示,其中固結(jié)度是整個(gè)固結(jié)過(guò)程中土層某一時(shí)刻的固結(jié)量與最終沉降量的比值.

2.2分析

(1)圖4為線彈性和黏彈性線性加荷情況下ka/kw不同時(shí)ua/qu的變化.可以看出：隨著荷載的增加,超孔隙氣壓力增大,當(dāng)加荷穩(wěn)定時(shí)達(dá)到最高值,然后開(kāi)始消散；ka/kw越大,消散的時(shí)間越短.整個(gè)消散階段曲線陡降較大,說(shuō)明消散是在短時(shí)間內(nèi)完成的.黏彈性和線彈性的整體趨勢(shì)是相似的,但由于黏滯系數(shù)的存在,使得超孔隙氣壓力的增長(zhǎng)受阻,因此黏彈性情況下超孔隙氣壓力的峰值較線彈性要小.

(2)圖5為線彈性和黏彈性線性加荷情況下ka/kw不同時(shí)uw/qu的變化.可以看出：隨著荷載的增加,超孔隙水壓力增大,當(dāng)加荷穩(wěn)定時(shí)達(dá)到最高值,然后開(kāi)始消散；消散曲線中有一段平臺(tái)期,ka/kw越大,到達(dá)平臺(tái)期的時(shí)間越短；在超孔隙水壓力消散結(jié)束后,無(wú)論ka/kw大小如何,超孔隙水壓力消散曲線都趨于一致.與超孔隙氣壓力情況類(lèi)似,黏彈性和線彈性的整體趨勢(shì)是相似的,但由于黏滯系數(shù)的存在,使得超孔隙水壓力的增長(zhǎng)受阻,因此黏彈性情況下超孔隙水壓力的峰值較線彈性要小.

圖4　z=8m時(shí)不同ka/kw情況下ua/qu隨時(shí)間的變化規(guī)律Fig.4　Changes in ua/quwith time under different ka/kwwhen z=8 m

圖5　z=8 m時(shí)不同ka/kw情況下uw/qu隨時(shí)間的變化規(guī)律Fig.5　Changes in uw/quwith time under different ka/kwwhen z=8 m

(3)圖6為線彈性和黏彈性線性加荷情況下ka/kw不同時(shí)固結(jié)度的變化.對(duì)應(yīng)于超孔隙水壓力的變化,固結(jié)度變化曲線也有一個(gè)平臺(tái)期.平臺(tái)期之前為超孔隙氣壓力和超孔隙水壓力快速消散的階段,固結(jié)速度較快；ka/kw越大,到達(dá)平臺(tái)期的時(shí)間越短；在超孔隙氣壓力消散結(jié)束后,無(wú)論ka/kw大小如何,固結(jié)度變化曲線都趨于一致；黏彈性和線彈性的整體趨勢(shì)是相似的,但由于黏滯系數(shù)的存在,使得黏彈性固結(jié)的過(guò)程較為平緩,平臺(tái)期亦不明顯.

圖6　z=8 m時(shí)不同ka/kw情況下固結(jié)度隨時(shí)間的變化規(guī)律Fig.6　Changes in degree of consolidation with time under different ka/kwwhen z=8 m

(4)圖7為線彈性和黏彈性線性加荷情況下土層深度不同時(shí)ua/qu的變化.由圖可知,深度越深,超孔隙氣壓力消散至同一水平的時(shí)間就越長(zhǎng).這是因?yàn)樯疃仍缴?離排氣面就越遠(yuǎn),滲透路徑越長(zhǎng).黏彈性與線彈性情況相似.

圖7　ka/kw=10時(shí)不同z/H情況下ua/qu隨時(shí)間的變化規(guī)律Fig.7　Changes in ua/quwith time under different z/H when ka/kw=10

(5)圖8為線彈性和黏彈性線性加荷情況下土層深度不同時(shí)uw/qu的變化.由圖可知,土層深度越深,超孔隙水壓力消散至同一水平的時(shí)間就越長(zhǎng)；當(dāng)超孔隙水壓力消散完成時(shí),超孔隙水壓力出現(xiàn)了一段平緩的曲線段,且深度越深,平緩段越長(zhǎng).黏彈性與線彈性情況相似.

圖8　ka/kw=10時(shí)不同z/H情況下uw/qu隨時(shí)間的變化規(guī)律Fig.8　Changes in uw/quwith time under different z/H when ka/kw=10

2.3驗(yàn)證

將上述針對(duì)非飽和土算例的分析結(jié)果退化到飽和土的情況,并與飽和土情況下的解進(jìn)行比較驗(yàn)證.

2.3.1Laplace變換下飽和土的解

Gibson等[17]給出的加荷隨時(shí)間變化的飽和土單向固結(jié)的微分方程為

令σ=q(t)(t≤tc),可得到線荷載作用下飽和土的固結(jié)微分方程：

結(jié)合式(4),用類(lèi)似于非飽和土的推導(dǎo)方法,對(duì)式(4)和(20)分別進(jìn)行Laplace變換,組成矩陣形式的偏微分方程：

利用Cayley-Hamilton理論求解此矩陣微分方程,可以得到頂面狀態(tài)向量與任意深度處狀態(tài)向量間的關(guān)系,通過(guò)引入邊界條件求得邊界向量,最后可以得到Laplace變換下任意深度超孔隙水壓力的表達(dá)式：

2.3.2非飽和土退化為飽和土的解對(duì)于飽和土,式(11)中,

將上述參數(shù)代入式(12),可得

由式(22)可以看出,退化后的解與飽和土的解一致.

3　結(jié)論

本工作在求得線彈性和黏彈性地基的單層非飽和土一維固結(jié)超孔隙水壓力、超孔隙氣壓力和沉降的半解析解的基礎(chǔ)上,分析了不同工況下超孔隙水壓力、超孔隙氣壓力和固結(jié)度的變化規(guī)律.研究結(jié)果表明：

(1)在線荷載作用下線彈性和黏彈性情況超孔隙氣壓力、超孔隙水壓力的消散規(guī)律相似.但由于土的黏性使得黏彈性情況下的峰值較線彈性情況要小,固結(jié)相對(duì)平緩.

(2)超孔隙氣壓力要先于超孔隙水壓力消散完成,消散時(shí)間較短,其中ka/kw越大,超孔隙氣壓力消散越快.超孔隙水壓力在超孔隙氣壓力消散完成以后會(huì)有一個(gè)平臺(tái)期,ka/kw越大,抵達(dá)平臺(tái)期的時(shí)間越短,且平臺(tái)期越長(zhǎng)；但過(guò)了平臺(tái)期以后,無(wú)論ka/kw如何變化,消散曲線都一致.

(3)離透水透氣面越遠(yuǎn),滲透路徑越長(zhǎng),超孔隙氣壓力和超孔隙水壓力消散至同一水平的時(shí)間就越長(zhǎng),且超孔隙水壓力的平臺(tái)期越長(zhǎng).

[1]THERzAGHI K.Erdbaumechanik auf bodenphysikalischen Grundlagen[M].Wien：Deuticke, 1925.

[2]BIOT M A.General theory of three-dimensional consolidation[J].Journal of Applied Physics, 1941,12(2)：155-164.

[3]FREDLUND D G,HASAN J U.One-dimensional consolidation theory：unsaturated soils[J].Canadian Geotechnical Journal,1979,16(3)：521-531.

[4]BARDEN L.Consolidation of compacted and unsaturated clays[J].Geotechnique,1965,15(3)：267-286.

[5]CHEN Z H,XIE D Y,LIU Z D.Consolidation theory of unsaturated soil based on the theory of mixture(Ⅰ)[J].Applied Mathematics and Mechanics(English Edition),1993,14(2)：137-150.

[6]CHEN Z H.Consolidation theory of unsaturated soil based on the theory of mixture(Ⅱ)[J]. Applied Mathematics and Mechanics(English Edition),1993,14(8)：687-698.

[7]楊代泉,沈珠江.非飽和土一維固結(jié)簡(jiǎn)化計(jì)算[J].巖土工程學(xué)報(bào),1991,13(5)：70-78.

[8]QIN A F,CHEN G J,TAN Y W,et al.Analytical solution to one-dimensional consolidation in unsaturated soils[J].Applied Mathematics and Mechanics(English Edition),2008,29(10)：1329-1340.

[9]QIN A F,SUN D A,TAN Y W.Semi-analytical solution to one-dimensional consolidation in unsaturated soils[J].Applied Mathematics and Mechanics(English Edition),2010,31(2)：215-226.

[10]秦愛(ài)芳,羅坤,孫德安.非飽和土粘彈性地基一維固結(jié)特性分析[J].上海大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2010,16(2)：203-209.

[11]謝康和,潘秋元.變荷載下任意層地基一維固結(jié)理論[J].巖土工程學(xué)報(bào),1995,17(5)：80-85.

[12]謝康和,鄭輝,LEO C J.變荷載下飽和軟黏土一維大應(yīng)變固結(jié)解析理論[J].水利學(xué)報(bào),2003,34(10)：6-13.

[13]李傳勛,胡安峰,謝康和,等.變荷載下考慮非達(dá)西滲流的一維固結(jié)半解析解[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),2011,30(S2)：3937-3943.

[14]李傳勛,謝康和,盧萌盟,等.變荷載下基于指數(shù)形式滲流的一維固結(jié)分析[J].巖土力學(xué),2011, 32(2)：553-559.

[15]李傳勛,謝康和,盧萌盟,等.變荷載下基于指數(shù)滲流雙層地基一維固結(jié)分析[J].巖土力學(xué),2012, 33(5)：1565-1571.

[16]CRUMp K S.Numerical inversion of Laplace transforms using a Fourier series approximation[J]. Journal of the ACM,1976,23(1)：89-96.

[17]GIBSON R E,ScHIFFMAN R L,CARGILL K W.The theory of one-dimensional consolidation of saturated clays.Ⅱ.Finite nonlinear consolidation of thick homogeneous layers[J].Canadian Geotechnical Journal,1981,18(2)：280-293.

本文彩色版可登陸本刊網(wǎng)站查詢：http://www.journal.shu.edu.cn

Analysis of one-dimensional consolidation characteristics in unsaturated soil under line loads

QIN Aifang,GE Hang
(Department of Civil Engineer,Shanghai University,Shanghai 200072,China)

Semi-analytical solutions of excess pore-air pressure,excess pore-water pressure and degree of consolidation are obtained based on the Fredlund’s one-dimensional consolidation theory for unsaturated soil.The research object is a layer of unsaturated soil whose top surface is penetrable,and the bottom surface impenetrable to water and air.With a typical example,rules of excess pore-air pressure,excess pore-water pressure and degree of consolidation changing with time in different soil depth and ratio of permeability coefficient of air and water are analyzed.The linear elastic and viscoelastic situations are calculated, analyzed and compared.The conclusions are useful in the research of unsaturated soil consolidation characteristics and practical engineering problems about consolidation under line loads.

unsaturated soil；semi-analytical solution；one-dimensional consolidation；line load

TU 44

A

1007-2861(2016)05-0624-13

10.3969/j.issn.1007-2861.2015.01.002

2015-01-17

上海市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(13ZR1416200)；上海市教委科研創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(13YZ018)

秦愛(ài)芳(1966—),女,教授,博士生導(dǎo)師,博士,研究方向?yàn)閹r土力學(xué)與工程. E-mail:qinaifang@shu.edu.cn