覃學(xué)文，蘇 芳

(梧州學(xué)院信息與電子工程學(xué)院，中國 梧州 543002)

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一類非線性離散系統(tǒng)多個周期解存在性的新結(jié)果

覃學(xué)文，蘇 芳*

(梧州學(xué)院信息與電子工程學(xué)院，中國 梧州 543002)

應(yīng)用臨界點理論，獲得一類離散非線性系統(tǒng)存在多個周期解的條件.本文結(jié)論對一些文獻的結(jié)論作了一些改進.

非線性；離散系統(tǒng)；多個周期解；臨界點理論

設(shè)N, Z和R分別表示自然數(shù)集、整數(shù)集和實數(shù)集，對任意a,b∈Z,a

考慮下列離散系統(tǒng)

Δ[p(k)ΔX(k-1)]+q(k)X(k)=f(k,X(k))，

(1)

其中n∈Z,X(k)=(x1(k),x2(k),…,xn(k))T∈Rn, ΔX(k)=X(k+1)-X(k)是前向差分算子，而f:Z×Rn→Rn，f(k,U)=(f1(k,U),f2(k,U),…,fn(k,U))T關(guān)于U是連續(xù)的，p(k),q(k) 是定義在Z上的實值函數(shù), 對任意k∈Z，p(k)是非零的.本文假設(shè)存在常數(shù)T∈N，使對任意k∈Z,U∈Rn，有p(k+T)=p(k),q(k+T)=q(k),f(k+T,U)=f(k,U).

近年來，關(guān)于非線性離散系統(tǒng)周期解存在性問題有許多學(xué)者進行了研究，取得了一定的成果，參見文獻[1～16].文獻[1]討論了系統(tǒng)：

Δ[p(k)Δu(k-1)]+q(k)u(k)=f(k,u(k)),k∈Z.

(2)

這是系統(tǒng)(1)當(dāng)n=1的情形.文獻[2]討論了系統(tǒng)

Δ2X(k-1)+f(k,X(k))=0，k∈Z.

(3)

周期解的存在性.顯然，系統(tǒng)(3)是(1)當(dāng)q(k)=0，p(k)=-1，k∈Z的情形.

1 預(yù)備知識與變分結(jié)構(gòu)

引理1.1(環(huán)繞定理)[6]設(shè)H是一個實Hilbert空間，H=H1⊕H2，其中H1是H的有限維子空間.假設(shè)J∈C1(H,R)滿足Palais-Smale條件，并且下列的條件成立：

(J1)存在常數(shù)ρ>0及a>0，使得J|?Bρ∩H2≥a；

(J2)存在e∈?B1∩H2，以及R0>ρ，使得J|?Q≤0，這里Q⊕{re|0

設(shè)

S={X={X(k)}k∈Z:X(k)∈Rn,k∈Z}.

其中X={X(k)}k∈Z={…,X(-k),X(-k+1),…,X(-1),X(0),X(1),…,X(k),…},

對任意X,Y∈S,a,b∈R，定義aX+bY

則S是一個向量空間.

定義S的子集ET

ET={X={X(k)}k∈Z∈S:X(k+T)=X(k),k∈Z}.

在ET中定義

(4)

(5)

在這里，(·,·)表示Rn中的內(nèi)積，X={X(k)}k∈Z,Y={Y(k)}k∈Z∈ET，而

X(k)=(x1(k),x2(k),…,xn(k))T,Y(k)=(y1(k),y2(k),…,yn(k))T,

顯然，〈·,·〉ET和‖·‖ET可分別作為ET的內(nèi)積和范數(shù).

作映射L:ET→RnT：

L(X)=(x1(1),…,x1(T),x2(1),…,x2(T),…,xn(1),…,xn(T))T.

其中X={X(k)}k∈Z∈ET，X(k)=(x1(k),x2(k),…,xn(k))T. 那么L是一個線性同構(gòu)變換，從而(ET,‖·‖ET)是一個nT維Hilbert空間，且有

定義ET上的泛函J

(6)

那么J∈C1(ET,R)，且對任意X∈ET，注意到X(0)=X(T),X(1)=X(T+1)，容易計算得它的Fréchet導(dǎo)數(shù)為

因而，X∈ET是泛函J在ET上的臨界點當(dāng)且僅當(dāng)

-Δ[p(k)Δxj(k-1)]-q(k)xj(k)+fj(k,X(k))=0j∈Z(1,n)，k∈Z(1,T),

即

Δ[p(k)ΔX(k-1)]+q(k)X(k)-f(k,X(k))=On,k∈Z(1,T),

即是系統(tǒng)(1)的解. 這樣，就把系統(tǒng)(1)的周期解存在性問題轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)(1)在ET上臨界點的存在性問題.將J(X)改寫為

(7)

其中

(8)

顯然，K+W是實對稱矩陣，它的特征值都是實數(shù).文獻[3]給出了系統(tǒng)(1)存在多個周期解的條件，得到如下結(jié)果：

定理A設(shè)λmax和λmin分別是矩陣K+W的最大和最小特征根.假設(shè)下列條件成立：

(p1)對任意k∈Z(1,T)，有p(k)>0.

(q1)對任意k∈Z(1,T)，有q(k)≤0，且至少存在一個k0∈Z(1,T)，使得q(k0)<0.

那么系統(tǒng)(1)至少存在兩個非零T-周期解.

當(dāng)q(k)=0時，系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

Δ[p(k)ΔX(k-1)]=f(k,X(k)).

(9)

文獻[4]給出了系統(tǒng)(9)存在多個周期解的條件，得到如下結(jié)果：

定理B設(shè)λmax和λmin分別是矩陣K的最大和最小特征根.假設(shè)下列條件成立：

(p1)對任意k∈Z(1,T)，有p(k)>0

那么系統(tǒng)(9)至少存在兩個非零T-周期解.

在定理A的條件下，矩陣K+W是正定的，而在定理B的條件下，矩陣W=0，矩陣K是半正定的.

上述兩個定理可認(rèn)為是文獻[1]一些結(jié)論的推廣和改進.

2 主要結(jié)果

本節(jié)將給出系統(tǒng)(1)存在非零周期解的幾個條件.

則系統(tǒng)(1)至少有兩個不同的非奇異周期解.

證 設(shè)

則對任意U∈Rn，有

(10)

這里，α3=α2+γ>0.

設(shè)K+W的特征值為λ-s,λ-s+1,…,λ-1,λ01,λ02,…,λ0s,λ1,λ2,…,λt，且

其中r+s+t=nT.

先證明J(X)滿足P-S條件.

再證明引理1中的條件(J1)，(J2)也滿足.

設(shè)λ-i對應(yīng)的特征向量為ξ-i，i∈Z(1,r)；λ0j對應(yīng)的特征向量為ξ0j，j∈Z(1,s)；λk對應(yīng)的特征向量為ξk，k∈Z(1,t)，且

而(ξ-p,ξ0q)=0，p∈Z(1,r)，q∈Z(1,s)；(ξp,ξ0q)=0，p∈Z(1,t)，q∈Z(1,s)；(ξ-p,ξq)=0，p∈Z(1,r)，q∈Z(1,t)；

則RnT=P-⊕P0⊕P+，而P0=(P-⊕P+)⊥，P-=(P0⊕P+)⊥，P+=(P-⊕P0)⊥

設(shè)L-1(P-)=E-，L-1(P0)=E0，L-1(P+)=E+，則ET=E-⊕E0⊕E+，而E0=(E-⊕E+)⊥，E-=(E0⊕E+)⊥，E+=(E-⊕E0)⊥.

顯然，有

(11)

(K+W)L(X)=OnT，X∈E0；

(12)

(13)

對任意X∈?Bρ∩H2=?Bρ∩E+，由條件(P1)，有

引理1中的條件(J1)成立.

此外，對任意X∈ET=E-⊕E0⊕E+，有

選擇h1=id，顯然h1∈Γ，因此

這意味著

綜上所述，J(X)在ET上必存在至少兩個不同的的非零臨界點，從而系統(tǒng)(1)存在至少兩個不同的非零周期解.

定理1對定理A和定理B作了改進，去掉了定理A和定理B的條件(p1)、(q1).在定理1的條件下，矩陣K+W的特征根可以是正的、負(fù)的和零.

[1] YU J S, GUO Z M, ZOU X F. Periodic solutions of second order self-adjoint difference equation[J]. J London Math Soc, 2005,71(1):146-160.

[2] ZHOU Z, YU J S, GUO Z M. Periodic solutions of higher-dimensional discrete systems[J]. Proc Roy Soc Edinb Sect A, 2004,134(9):1013-1022.

[3] TAN W M, ZHOU Z. Existence of multiple periodic solutions for a class of nonlinear difference systems[C]. Proceedings of the 7th conference on biological dynamic system and stability of differential equation, volume II, 2010.

[4] TAN W M, SU F, QIN X W. Existence of multiple periodic solutions to a second-order nonlinear difference system[J]. Ann Diff Eqs, 2011,27(2):207-213.

[5] TAN W.M, SU F. Existence of periodic solutions for a class of second-order nonlinear difference systems[J]. App Mechs Maters, 2012,148-149(10):1164-1169.

[6] RABINOWITZ P H. Minimax methods in critical point theory with applications to differential[J]. CBMS Issues Math Ed, 65(12), 1986.

[7] AGARWAL R P. Difference equations and inequalities: theory, methods and applications[M]. New York:Marcel Dekker, 2000.

[8] ATICI F M, GUSEINOV G S. Positive periodic solutions for nonlinear difference equations with periodic coefficients[J]. J Math Anal Appl, 1999,232(1):166-182.

[9] CAI X C, YU J S, GUO Z M. Existence of periodic solutions for fourth-order difference equations[J]. Comput Math Appl, 2005,50(1):49-55.

[10] ELAYDI S, SACKER R. Global stability of periodic orbits of non-autonomous difference equations and population biology[J]. J Differ Equ, 2005,208(2):258-273.

[11] GIL M. Periodic solutions of abstract difference equation[J]. Appl Math E-Notes, 2001,47(1):18-23.

[12] GUO Z M, YU J S. The existence of periodic and sub-harmonic solutions to quadratic second-order difference equation[J]. J London Math Soc, 2003,68(3):419-430.

[13] JIANG D, O’REGAN D, AGARWAL R P. Optimal existence theory for single and multiple positive periodic solutions to functional difference equations[J]. Appl Math Lett, 2005,162(3):441-462.

[14] LIU Y. On positive periodic solutions of functional difference equations with forcing term and applications[J]. Comput Math Appl, 2005,50(1):49-55.

[15] EL-OWAIDY H, MOHAMED H Y. The necessary and sufficient conditions of existence of periodic solutions of non-autonomous difference equations[J]. Appl Math Comput, 2003,136(2):345-351.

[16] 譚偉明，覃學(xué)文. 一類離散廣義非線性Schr?dinger系統(tǒng)周期解的存在性[J]. 湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報， 2010,33(4)：46-52.

(編輯 CXM)

The New Results of Existence of Multiple Periodic Solutions for a Class of Nonlinear Discrete Systems

QINXue-wen,SUFang*

(College of Information and Electronic Engineering, Wuzhou University, Wuzhou 543002, China)

Using critical point theory, some sufficient conditions are obtained on the existence of multiple periodic solutions for a class of nonlinear discrete systems. Our results improve some known ones.

nonlinear; discrete systems; multiple periodic solutions; critical point theory

10.7612/j.issn.1000-2537.2016.06.013

2016-09-22

廣西教育廳科研資助項目(2013YB223)；廣西自然科學(xué)基金青年基金資助項目(2012GXNSFBA053015)；廣西教育廳科研資助項目(201106LX564)

O175.29

A

1000-2537(2016)06-0073-07

*通訊作者,E-mail：sufang088@163.com