寧衛(wèi)兵

【摘要】平面向量是高中數(shù)學(xué)中重要的、基本的概念，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具.在高考中常以兩種形式出現(xiàn)：其一，小題的形式出現(xiàn)時，主要圍繞向量的基本運算和利用向量研究角、模長、平行和垂直等問題，考查向量的基礎(chǔ)知識；其二，解答題形式出現(xiàn)時，向量與三角函數(shù)、解析幾何等其他知識的綜合問題，考查運用平面向量解決問題的能力，凸顯平面向量的工具作用.

【關(guān)鍵詞】平面向量；解題；探究

平面向量的小題大多涉及知識點少，題目入口寬，思路靈活多變.如何靈活運用已有的平面向量知識，選擇有效的方法，快速準(zhǔn)確地解決問題，困擾了不少學(xué)生.本文試圖通過對一道平面向量問題的多角度分析，來總結(jié)平面向量問題常用的解題切入點予以歸納，為大家提供參考.

題目已知向量a，b，c滿足a+b+c=0，（a-b）⊥c，a⊥b，若|a|=1，則|a|2+|b|2+|c|2的值是.

切入點一：數(shù)量積的直接運用

求解模長是平面向量的常見問題，應(yīng)用數(shù)量積是容易入手的方法.對于數(shù)量積的應(yīng)用，學(xué)生較易入手，此類解題思路最為常用.這個切入點需要在解題進(jìn)行中不斷調(diào)整，對于數(shù)量積的公式變換應(yīng)用，如何將問題轉(zhuǎn)化為已知條件的數(shù)量積表示是解題成功關(guān)鍵.

方法一（數(shù)量積的合理變換）

想求解|a|2+|b|2+|c|2可從a+b+c=0變換開始尋找思路.

由a+b+c=0可推出（a+b+c）2=02=0，即

a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=0.（*）

只要解得三組數(shù)量積就能得出答案.

開始分析已知條件：

由a⊥b可得a·b=0，①

由（a-b）⊥c可得（a-b）·c=0，

即a·c-b·c=0.②

由a+b+c=0可知a·（a+b+c）=a·0=0，

即a2+a·c=0.③

上述三式聯(lián)立可得a·c=b·c=-1.

代入（*）中可得|a|2+|b|2+|c|2=4.

方法二（數(shù)量積的合理變換）

由a+b+c=0可得c=-（a+b），結(jié)合（a-b）⊥c可知（a-b）⊥（a+b），即

（a-b）·（a+b）=a2-b2=0，

于是a2=b2=1.

由a⊥b可得a·b=0，

結(jié)合c=-（a+b）可知

c2=（a+b）2=a2+2a·b+b2=a2+b2=2.

于是|a|2+|b|2+|c|2=4.

切入點二：平面向量的坐標(biāo)運算

平面向量的坐標(biāo)是平面向量基本定理數(shù)量化體現(xiàn)，將平面向量統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)度量.坐標(biāo)運算能把學(xué)生從復(fù)雜的化簡中解放出來，快速簡捷地達(dá)成解題目標(biāo).對于條件中包含向量夾角與長度的問題，都可以考慮建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，應(yīng)用坐標(biāo)法來統(tǒng)一向量表示，達(dá)到轉(zhuǎn)化問題，簡單求解的目的.

方法三（平面向量的坐標(biāo)應(yīng)用，將向量問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)問題）

由a⊥b可以考慮借助坐標(biāo)系，把向量問題坐標(biāo)化.

由|a|=1，不妨設(shè)a=（1，0），b=（0，y）（y∈R），

則由a+b+c=0可得c=（-1，-y）.

由（a-b）⊥c可得（1，-y）·（-1，-y）=0，即y2=1，

那么|a|2+|b|2+|c|2=1+y2+1+y2=4.

切入點三：圖形運算與數(shù)形結(jié)合

向量的圖形法則與數(shù)形結(jié)合切入點，適用于能將多個向量的計算問題轉(zhuǎn)化為一個圖形中的某個量計算.此類方法建立在學(xué)生熟悉平面幾何中常見圖形：三角形、平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)，能夠?qū)D形中反映的幾何度量問題與向量的圖形運算有效結(jié)合起來，達(dá)到轉(zhuǎn)化問題，減少運算，進(jìn)而達(dá)成解題目標(biāo).

方法四（向量運算的圖形法則運用，數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用）

由a+b+c=0可得c=-（a+b），結(jié)合（a-b）⊥c可知（a-b）⊥（a+b），于是將圖1中的矩形可進(jìn)一步確定為正方形.（如圖2）

至此，題目中所涉及的向量均已在圖中體現(xiàn)，由|a|=1可推得|b|=1，|c|=2.

于是所求|a|2+|b|2+|c|2=1+1+2=4.

單獨考查平面向量的問題多為選擇、填空題，要求學(xué)生能達(dá)到快速準(zhǔn)確解答.這就要求學(xué)生整合個人知識方法，根據(jù)題目條件靈活選擇數(shù)形結(jié)合法、坐標(biāo)轉(zhuǎn)化法、數(shù)量積的應(yīng)用等方法，完成問題的等價轉(zhuǎn)化之后進(jìn)行求解.在日常練習(xí)中進(jìn)行多角度思維訓(xùn)練，不斷總結(jié)知識方法的應(yīng)用情境，增強(qiáng)分析問題、轉(zhuǎn)化問題、解決問題的能力.