葉海明

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2016）24-0102-02

兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來研究曲線，發(fā)現(xiàn)用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當平面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時，得到拋物線；當平面再傾斜一些就可以得到雙曲線，當平面與圓錐面的母線平行，且過圓錐頂點，結(jié)果退化為一條直線。直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線都是平面與圓錐相交的產(chǎn)物。通常我們把圓、橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線，直線與圓錐曲線的綜合問題，通常涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，體現(xiàn)為直線與圓錐曲線相切與相交問題，可以采用幾何方法或代數(shù)方法來求解。

一、直線與圓的綜合問題

圓是到定點距離等于定長的動點的軌跡，圓有兩個基本量：圓心、半徑。直線與圓的綜合問題可以用代數(shù)法和幾何法求解，一般情況下，利用幾何法求解直線與圓的綜合問題比較簡便明了。

例1：已知圓O：x2+y2=4。（1）求過點A（-1，）的圓的切線方程；（2）求過點（1，2）的圓的切線方程。

這時直線與圓的切線問題，切線問題通常涉及兩種題型：已知切點；未知切點。已知圓心O（0，0），半徑為2。第一小題點A（-1，）是切點，求得直線OA的斜率為-，因為直線OA與切線垂直，則切線的斜率為，可得切線方程為x-y+4=0。第二小題點（1，2）不是切點，這時就要利用圓心到切線的距離等于半徑這一特征，可設(shè)切線的斜率為k，利用點到直線的距離公式，易得k=0或k=-，即切線方程為y=2或4x+3y-10=0。要注意假設(shè)直線的斜率時，要考慮直線的斜率是否存在的情況。

例2：已知圓O：x2+y2=8內(nèi)一點P（-1，2），過點P的直線l的斜率為-1，直線l與圓交于A、B兩點，求線段AB的長。

直線與圓的弦長問題須借助垂徑定理，運用弦心距（即圓心到弦的距離）、弦長的一半及半徑構(gòu)成的直角三角形計算。已知圓心O（0，0），半徑為2，圓心到直線AB：x+y=1的距離為，從而根據(jù)勾股定理，可得|AB|=。直線與圓的弦長問題中，上述直角三角形是關(guān)鍵，本質(zhì)上是直角三角形中的三個量的相互轉(zhuǎn)化，是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想。

二、直線與橢圓、雙曲線及拋物線的綜合問題

例3：已知直線l：y=x+b與拋物線C：x2=4y相切于點A。（1）求實數(shù)b的值；（2）求以點A為圓心，且與拋物線C的準線相切的圓的方程。

直線與橢圓、雙曲線及拋物線的位置關(guān)系問題，主要涉及方程的思想和韋達定理。第一小題是直線與拋物線的切線問題，由y=x+b、x2=4y聯(lián)立方程組，得x2-4x-4b=0，則△=16+16b=0，解得b=-1。直線與橢圓、雙曲線及拋物線的位置關(guān)系，通常轉(zhuǎn)化為一元二次方程的解的個數(shù)問題，利用判別式△與0的大小關(guān)系來判斷解的個數(shù)，進而判斷直線與橢圓、雙曲線及拋物線的位置關(guān)系。第二小題是直線與圓的切線問題，求得圓心A（2，1），半徑為2，則圓的方程為（x-2）2+（y-1）2=4。兩題均為切線問題，卻體現(xiàn)了兩種截然不同的解題思路，一個是代數(shù)方法，另一個是幾何方法，都是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，一個是幾何問題代數(shù)化，另一個是代數(shù)問題幾何化。

例4：已知直線l：y=kx+m與雙曲線C：x2-3y2=3交于不同的兩點M、N，且線段MN的垂直平分線過點A（0，-1），求實數(shù)的取值范圍。

此題是直線與雙曲線的相交問題，涉及弦的中點問題，又是取值范圍問題，綜合性較強。圓錐曲線中最值與取值范圍問題是解析幾何的核心問題，是常考點之一。取值范圍問題常常與不等式有關(guān)，求特定字母的取值范圍時，可首先考慮利用題目給出的幾何元素的位置關(guān)系以及幾何量的代數(shù)關(guān)系，建立特定字母的不等式，從而求得其取值范圍。

根據(jù)題意，由y=kx+m、x2-3y2=3，可得（1-3k2）x2-6kmx-3m2-3=0，所以1-3k2≠0且 >0，這里因為是求實數(shù)m的取值范圍，所以將參數(shù)m與k分離，則可得m2>3k2-1且1-3k2≠0①。為了求實數(shù)m的取值范圍，須將參數(shù)k轉(zhuǎn)化為參數(shù)m，所以須尋找關(guān)于參數(shù)m與k的方程。易得線段MN的中點B（），由線段MN垂直于線段AB，所以兩直線的斜率的乘積等于-1，可得3k2=4m+1。代入①式，得m2-4m>0且4m+1>0，所以實數(shù)m的取值范圍是（-0.25，0）U（4，+∞）。

最值與取值范圍問題的求解需注意兩個方面：一是利用判別式的符號可限制參數(shù)的取值范圍；二是求解目標函數(shù)的最值時，要根據(jù)解析式的特征靈活選擇相應(yīng)的方法：配方法、均值不等式、導(dǎo)數(shù)法等，通常利用前兩種方法，因為導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中已經(jīng)考查，一般不會重復(fù)考查。

例5：已知拋物線C：x2=4y，過點M（0，2）任作一直線與C相交于A、B兩點，過點B作y軸的平行線與直線AO相交于點D（O為坐標原點）。（1）證明：動點D在定直線上；（2）作C的任意一條切線l（不含x軸），與直線x=2相交于點N1，與（1）中的定直線相交于點N2，證明：|MN2|2-|MN1|2為定值，并求此定值。

定值、定點等問題是一個熱點，其解法充分體現(xiàn)了解析幾何的基本思想：運用坐標法逐步將題目條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)關(guān)系式，然后綜合運用代數(shù)、幾何知識化簡求值。

第一小題設(shè)直線AB的方程為y=kx+2，代入C：x2=4y，得x2-4kx-8=0。設(shè)點A（x1，y1）、B（x2，y2），則有x1x2=-8，直線AO的方程為y=x，直線BD的方程為x=x2，解得交點D的坐標為（x2，），注意得到x1x2=-8及x12=4y1，則有y=-2，所以動點D在定直線y=-2上。第二小題依題意，切線l的斜率存在且不等于0，則切線l的方程為y=ax+b（a≠0），代入C：x2=4y，得x2-4ax-4b=0，由于 =0，得到b=-a2。故切線l的方程為y=ax-a2，分別令y=2，y=-2，得N1、N2的坐標分別為（+a，2），（-+a，-2），利用兩點間的距離公式可得|MN2|2-|MN1|2=8，所以|MN2|2-|MN1|2為定值8。

直線與圓錐曲線的綜合問題本質(zhì)上是以直線與圓錐的位置關(guān)系（相切或相交）為載體，考查切線、相交線、弦長、最值及取值范圍等問題，直線與圓的問題要注意利用直線與圓的圖像來輔助解題，而直線與橢圓、雙曲線、拋物線的綜合問題基本上是用代數(shù)方法來解題，要注意判別式的取值范圍，在有多個參數(shù)的情況下，要注意建立參數(shù)間的相互聯(lián)系，從而將多個參數(shù)的表達式轉(zhuǎn)化為單個參數(shù)的表達式，進而求最值及取值范圍。

（責任編輯 陳 利）