張彥斌 丁 丁 吳 鑫 王增輝 趙浥夫

河南科技大學(xué)，洛陽，471003

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2PRS-2PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)與運(yùn)動學(xué)分析

張彥斌 丁 丁 吳 鑫 王增輝 趙浥夫

河南科技大學(xué)，洛陽，471003

設(shè)計(jì)出一種兩移動兩轉(zhuǎn)動的四自由度2PRS-2PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)。以該機(jī)構(gòu)的4條分支運(yùn)動鏈的主動移動副軸線與靜平臺的夾角為變量。首先根據(jù)方位特征集理論分析了該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動輸出特性；再基于矢量法對其運(yùn)動學(xué)進(jìn)行分析，推導(dǎo)出機(jī)構(gòu)的位置和姿態(tài)的正解、逆解，進(jìn)而推導(dǎo)出其速度和加速度方程；然后基于機(jī)構(gòu)雅可比矩陣的奇異性，詳細(xì)討論了機(jī)構(gòu)可能存在的奇異位形；最后，通過算例仿真驗(yàn)證了理論分析的正確性。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)；自由度；運(yùn)動學(xué)分析；奇異性

0 引言

近年來，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的應(yīng)用越來越廣泛，但多數(shù)情況下不需要全部的6個(gè)自由度，因此設(shè)計(jì)滿足使用要求的少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)成了本領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[1-4]。在實(shí)際應(yīng)用中，往往根據(jù)不同的工作需求選擇相應(yīng)自由度類型的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，例如具有3個(gè)自由度的DELTA[5]機(jī)器人已在包裝、醫(yī)藥工業(yè)上廣泛應(yīng)用，而五自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)多用在數(shù)控加工中心[6]?？臻g四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)是少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的一個(gè)重要分支，根據(jù)動平臺運(yùn)動輸出特性的不同，四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)可以劃分為3種類型，即三移動一轉(zhuǎn)動型[7](3T1R)、一移動三轉(zhuǎn)動型[8](1T3R)、二移動二轉(zhuǎn)動型(2T2R)?？臻g2T2R型并聯(lián)機(jī)構(gòu)同時(shí)具有2個(gè)移動自由度和2個(gè)轉(zhuǎn)動自由度，能夠完成較為復(fù)雜的動作，已有不少學(xué)者對此類機(jī)構(gòu)進(jìn)行研究[9-10]。馬履中等[11]設(shè)計(jì)出一種基于2T2R型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的減振裝置，劉劍敏等[12]提出一種基于2T2R型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的振動篩，但文獻(xiàn)[11-12]中的機(jī)構(gòu)均含有一個(gè)混合運(yùn)動鏈，增加了機(jī)構(gòu)的裝配難度。Kumar等[13]設(shè)計(jì)出一種可用于醫(yī)用注射的2T2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)裝置，其機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)為3-5R，其中的一條鏈中有2個(gè)主動副，故必有1個(gè)驅(qū)動器不能安裝在機(jī)架，增加了機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動慣量。范彩霞等[14]根據(jù)構(gòu)型演變和李群理論綜合出一類2T2R型并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

上述文獻(xiàn)中所提到機(jī)構(gòu)的裝配構(gòu)型具有單一性，所建立的運(yùn)動數(shù)學(xué)模型無法解決某一類機(jī)構(gòu)的問題。因此本文提出一類2T2R型四自由度2PRS-2PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)，推導(dǎo)出該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)方程(位置、姿態(tài)、速度和加速度)，詳細(xì)討論了機(jī)構(gòu)可能存在的奇異位形，并進(jìn)行了基于虛擬樣機(jī)和理論編程的仿真，驗(yàn)證了理論分析的正確性。

1 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

如圖1所示，新型四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)由動平臺、靜平臺，以及連接兩平臺的4條運(yùn)動支鏈組成，機(jī)構(gòu)的三維CAD模型如圖2所示。支鏈一(A1C1B1)和支鏈三(A3C3B3)的結(jié)構(gòu)相同，均由移動副、轉(zhuǎn)動副和球副依次連接而成，且同一支鏈內(nèi)移動副與轉(zhuǎn)動副的軸線相互垂直，記為{P⊥R-S}，同時(shí)，支鏈一和支鏈三中的2個(gè)轉(zhuǎn)動副軸線相互平行。支鏈二(A2C2B2)與支鏈四(A4C4B4)的結(jié)構(gòu)也相同，從靜平臺到動平臺運(yùn)動副配置依次為移動副、球副和球副，記為{P-S-S}。機(jī)構(gòu)的動平臺為正方形平板B1B2B3B4，4條支鏈末端的球副分別安裝于動平臺上的Bi(i=1，2，3，4)點(diǎn)，4個(gè)移動副的軌道與靜平臺相交于Ai點(diǎn)，4個(gè)交點(diǎn)的連線構(gòu)成正方形A1A2A3A4。機(jī)構(gòu)4個(gè)主動移動副的軌道中心線與靜平臺夾角(變量)為θ。θ取不同值時(shí)，對應(yīng)2PRS-2PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的特定裝配形式。盡管這些裝配形式下的機(jī)構(gòu)運(yùn)動特性不盡相同，但它們卻具有統(tǒng)一的運(yùn)動學(xué)方程。因此，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)和運(yùn)動學(xué)分析適用于一類2PRS-2PSS機(jī)構(gòu)，具有廣義性和普遍意義。

圖1 新型四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)

圖2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的CAD模型

2 機(jī)構(gòu)運(yùn)動輸出特性分析

方位特征集法[15]是分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)的一種簡單而有效的方法，本文采用該方法對機(jī)構(gòu)的運(yùn)動輸出特性進(jìn)行分析。

根據(jù)圖1所示機(jī)構(gòu)4條支鏈的運(yùn)動副配置關(guān)系，可得支鏈一與支鏈三，支鏈二與支鏈四的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)：

SOC{-Pj1⊥Rj2-Sj3} (j=1, 3)

(1)

SOC{-Pk1-Rk2-Sk3}(k=2, 4)

(2)

按照機(jī)構(gòu)裝配條件，支鏈一與支鏈三、支鏈二與支鏈四末端的方位特征集分別為

(3)

(4)

其中，左下標(biāo)數(shù)字表示支鏈的特征自由度數(shù)；t、r分別表示移動、轉(zhuǎn)動。如2t(⊥R12)表示垂直于R12軸線方向的2個(gè)移動自由度，1r(//Ri2)表示支鏈在平行于Ri2軸線的方向存在1個(gè)非獨(dú)立的轉(zhuǎn)動自由度。Oi3表示第i條支鏈與動平臺連接的球副的球心。連接B1B3、A1A3，如果將A1A3看作是固定機(jī)架，B1B3看作是連桿，則A1C1B1B3C3A3可視為平面六桿機(jī)構(gòu)，故該六桿機(jī)構(gòu)的輸出桿件B1B3只能做三自由度平面運(yùn)動。但由于連桿B1B3兩端的B1和B3位置處均為球副，所以連桿B1B3繞其軸線方向存在1個(gè)局部轉(zhuǎn)動自由度。因此支鏈一與支鏈三組成的子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的方位特征集為

(5)

同理，由支鏈二和支鏈四組成的子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的方位特征集為

(6)

由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺的運(yùn)動輸出特性是所有支鏈運(yùn)動輸出特性的交集，所以該并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺的方位特征集為

(7)

式(7)表明動平臺具有2個(gè)移動自由度和2個(gè)轉(zhuǎn)動自由度，即該機(jī)構(gòu)為2T2R四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

3 運(yùn)動學(xué)分析

如圖1所示，定坐標(biāo)系Oxyz固結(jié)在靜平臺上，坐標(biāo)原點(diǎn)O與正方形A1A2A3A4的形心重合，x軸、y軸分別與對角線A1A3和A2A4共線，z軸垂直于靜平臺向上。動坐標(biāo)系Puvw則固結(jié)于動平臺上，坐標(biāo)原點(diǎn)P與正方形B1B2B3B4的形心重合，u軸、v軸分別與對角線B1B3和B2B4重合，w軸垂直于動平臺向上。機(jī)構(gòu)在初始位置時(shí)，動平臺處于水平位置，兩坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸分別對應(yīng)平行。令OA1=OA2=OA3=OA4=a，PB1=PB2=PB3=PB4=b，連桿CiBi長度為ei，主動移動副位移為li。β、α分別為動平臺相對靜平臺繞定坐標(biāo)系y軸和繞動坐標(biāo)系u軸轉(zhuǎn)動的姿態(tài)角。

3.1 位姿分析

3.1.1 位姿逆解

對于圖1所示機(jī)構(gòu)，其位姿逆解就是給定動平臺上點(diǎn)P的位置坐標(biāo)P=(Px,Py,Pz)及動平臺的姿態(tài)角α和β，求其各驅(qū)動滑塊的位移li。

由于該機(jī)構(gòu)中的閉回路A1C1B1B3C3A3可視為平面六桿機(jī)構(gòu)，故動系坐標(biāo)的原點(diǎn)P沿y軸方向的位移始終為零，因此點(diǎn)P在靜坐標(biāo)系下的位置坐標(biāo)為(Px, 0,Pz)。令R為動系Puvw相對于靜系Oxyz的姿態(tài)變換矩陣，則有

(8)

(9)

(10)

式中，Rx′為動平臺繞u軸旋轉(zhuǎn)α的變換矩陣；Ry′為動平臺繞y軸旋轉(zhuǎn)β的變換矩陣。

若OBi代表Bi點(diǎn)在靜坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，則有

(11)

為了便于建立機(jī)構(gòu)的矢量運(yùn)動方程，可將圖1所示并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)形式切割為圖3、圖4所示截面。圖3、圖4中，mi為滑塊移動距離AiCi的單位方向矢量，ni為連桿CiBi的單位方向矢量。根據(jù)圖3和圖4所示支鏈間的關(guān)系，可以寫出機(jī)構(gòu)的閉環(huán)矢量運(yùn)動方程：

OP+PBi=OAi+ACi+CiBi

(12)

將相關(guān)參數(shù)代入式(12)，得

OP+PBi=OAi+limi+eini

(13)

故有

eini=OP+PBi-OAi-limi

(14)

其中，單位方向矢量mi僅與方位角θ有關(guān)，且有m1=(cosθ，0，sinθ)，m2=(0，cosθ，sinθ)，m3=(-cosθ，0，sinθ)，m4=(0，-cosθ，sinθ)。

圖3 第一和第三支鏈結(jié)構(gòu)簡圖

圖4 第二和第四支鏈結(jié)構(gòu)簡圖

對式(14)取內(nèi)積，得

(15)

(16)

根據(jù)式(16)可求出機(jī)構(gòu)的位姿逆解，即

(17)

式(17)表明機(jī)構(gòu)的位姿逆解有2組，分別對應(yīng)機(jī)構(gòu)不同的初始裝配形式。對于圖1所示機(jī)構(gòu)的裝配形式，式(17)中的“±”只能取“-”號。當(dāng)取“+”號時(shí)，機(jī)構(gòu)動平臺的位于分支中點(diǎn)Ci的下方。

同時(shí)，根據(jù)式(14)也可得到桿CiBi的瞬時(shí)單位方向矢量：

ni=(OP+PBi-limi-OAi)/ei

(18)

3.1.2 位姿正解

已知機(jī)構(gòu)的4個(gè)主動移動副的輸入位移li，求解動平臺的位置坐標(biāo)(Px，0，Pz)和姿態(tài)角α與β。根據(jù)圖3、圖4所示的幾何關(guān)系和坐標(biāo)變換矩陣，可建立如下約束方程：

(19)

(20)

(21)

(22)

式(19)～式(22)為機(jī)構(gòu)的位姿方程。這4個(gè)方程共同構(gòu)成了復(fù)雜的四元二次非線性方程組，表明該機(jī)構(gòu)具有強(qiáng)運(yùn)動學(xué)耦合性。由于解析法求解普通非線性方程組較為困難，本文采用數(shù)值法，通過MATLAB編程和調(diào)用solve函數(shù)較為簡便地對機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動學(xué)求解，詳見第5節(jié)。

3.2 速度分析

將式(13)對時(shí)間進(jìn)行一階求導(dǎo)，得

(23)

將式(23)等號兩端同時(shí)右乘ni，得

(24)

根據(jù)矢量運(yùn)算法則可知，(ωi×ni)·ni=0，因此可消去式(24)中最后一項(xiàng)，故有

(25)

進(jìn)一步把式(25)寫成矩陣形式，則有

(26)

C=diag(n1·m1,n2·m2,n3·m3,n4·m4)

式(26)為該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的速度映射方程，其中，ni、PBi×ni、vp、ω均為向量。

將式(23)等號兩端同時(shí)點(diǎn)乘單位向量mi，可得

(27)

將式(27)進(jìn)一步可得出中間變量ωi的表達(dá)式

(28)

3.3 加速度分析

將式(23)對時(shí)間進(jìn)行一階求導(dǎo)，得

(29)

將式(29)等號兩端同時(shí)點(diǎn)乘單位矢量ni，則有

(30)

由式(30)可得

(31)

式(31)即為機(jī)構(gòu)的加速度逆解。

4 結(jié)構(gòu)奇異性

奇異性是并聯(lián)機(jī)構(gòu)一個(gè)重要的內(nèi)在特性，當(dāng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)處于奇異位形時(shí)，其可控運(yùn)動范圍和靜力平衡都會受到影響，因此奇異性分析是并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中必不可缺少的一環(huán)。根據(jù)式(26)中矩陣C和D的欠秩形式，可將奇異類型分為逆運(yùn)動學(xué)奇異、正運(yùn)動學(xué)奇異和混合奇異。

4.1 逆運(yùn)動學(xué)奇異

此類奇異發(fā)生在矩陣C不滿秩、矩陣D滿秩的情況下。對于圖1所示機(jī)構(gòu)，根據(jù)式(26)可知矩陣C為對角陣，因此其對角線上的任意元素滿足ni·mi=0時(shí)，機(jī)構(gòu)處于逆運(yùn)動學(xué)奇異位形，此時(shí)方向單位矢量ni與mi正交。所以該并聯(lián)機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動學(xué)奇異存在的幾何條件為，至少一條支鏈中出現(xiàn)連桿CiBi與移動軌道AiCi相互垂直，如圖5所示。在該位形下，即使主動移動副施加一個(gè)驅(qū)動力，由于機(jī)構(gòu)的傳動角為零，動平臺也不會產(chǎn)生運(yùn)動。

圖5 逆運(yùn)動學(xué)奇異位形

4.2 正運(yùn)動學(xué)奇異

此類奇異發(fā)生在矩陣C滿秩，而矩陣D不滿秩的情況下。由于式(26)中D為4×6的矩陣，所以其最大線性無關(guān)組數(shù)為4。當(dāng)矩陣D不滿秩時(shí)，其行列式的秩rank(D)<4，并且4個(gè)行向量必線性相關(guān)，具體情況有以下兩種。

(1)當(dāng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的4根連桿C1B1、C2B2、C3B3、C4B4相互平行。該位形下4個(gè)單位方向矢量n1、n2、n3、n4相互平行，那么矢量PB1×n1、PB2×n2、PB3×n3、PB4×n4必共面，所以矩陣D降秩，即其行列式的秩rank(D)<4，此時(shí)機(jī)構(gòu)處于奇異位形，如圖6a所示。這種奇異位形同時(shí)與機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸相關(guān)，一旦動平臺的邊長小于經(jīng)平臺的邊長，即可避免此種奇異位形的產(chǎn)生。

(2)連桿C1B1與連桿C3B3共線，或者連桿C2B2與連桿C4B4共線。這種情況下PBi與ni間的夾角為0°或180°，因此有PBi×ni=0，故矩陣D的第一和第三行線性相關(guān)，或者第二和第四行線性相關(guān)。這種位形下，矩陣D同樣不滿秩，即rank(D)<4，所以機(jī)構(gòu)處于奇異位形，如圖6b所示。這種奇異位形同樣與機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸和主動移動副的運(yùn)動范圍有關(guān)，在合適的結(jié)構(gòu)尺寸條件下也可避免此類奇異的發(fā)生。

(a)第(1)種情況時(shí)的奇異位形

(b)第(2)種情況時(shí)的奇異位形

當(dāng)機(jī)構(gòu)處于正運(yùn)動學(xué)奇異位形時(shí)，動平臺將“得到”一個(gè)或者多個(gè)自由度，機(jī)構(gòu)處于不可控狀態(tài)。

4.3 混合奇異

當(dāng)發(fā)生此類奇異時(shí)，矩陣C和D需同時(shí)不滿秩。根據(jù)前面分析可知，若要滿足C不滿秩，至少一條支鏈中的連桿CiBi與移動軌道AiCi垂直。D不滿秩有兩種情況，滿足兩種情況對應(yīng)的條件分別為θ=0°和θ=90°。所以當(dāng)滿足C不滿秩和D不滿秩的任意一種情況的時(shí)候，對應(yīng)的奇異位形如圖7所示?？梢钥闯?，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)處于一般裝配位形下不存在混合奇異。

(a)θ=0°時(shí)的機(jī)構(gòu)奇異位形

(b)θ=90°時(shí)的機(jī)構(gòu)奇異位形

5 數(shù)值算例仿真

為進(jìn)一步說明利用MATLAB編程調(diào)用solve函數(shù)進(jìn)行非線性方程組求解的過程，以t=9 s時(shí)得到的滑塊位移為初始條件，求得動平臺上P點(diǎn)位姿的數(shù)值解。此時(shí)共得到機(jī)構(gòu)的4組正運(yùn)動學(xué)實(shí)數(shù)解(表1)，每一組實(shí)數(shù)解對應(yīng)其一種裝配構(gòu)型。在給定結(jié)構(gòu)尺寸條件下，根據(jù)移動副的輸入范圍求出機(jī)構(gòu)動平臺上點(diǎn)P在z軸方向的運(yùn)動范圍為131.45～180.57 mm，因此可以排除第1和第3組解。而第2組解中，動平臺繞y軸的姿態(tài)角超β出了球鉸的轉(zhuǎn)角范圍，也應(yīng)排除。所以只有第4組解為動平臺在此刻的可行位姿。

表1 機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)正解計(jì)算結(jié)果

最后基于所推導(dǎo)出的機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)方程，利用MATLAB對機(jī)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值仿真和基于虛擬樣機(jī)的運(yùn)動學(xué)仿真，如圖8所示。對比圖8中數(shù)值仿真和虛擬樣機(jī)仿真結(jié)果可知兩者結(jié)果完全一致，驗(yàn)證了本文所推導(dǎo)理論公式(包括位姿，速度和加速度)的正確性。

6 結(jié)語

本文提出一種新型四自由度2PRS-2PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)，因其對角分支運(yùn)動鏈具有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)形式，因此該機(jī)構(gòu)具有較好的結(jié)構(gòu)對稱性。本文分析了動平臺的運(yùn)動特性，利用矢量法建立了該機(jī)構(gòu)的一般運(yùn)動學(xué)方程?；谒⒌倪\(yùn)動學(xué)方程，可快速求出方位角θ取不同值時(shí)特定裝配形式下的機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)解。根據(jù)機(jī)構(gòu)速度雅可比矩陣，詳細(xì)分析了機(jī)構(gòu)的奇異性，并給出了避免奇異位形的相關(guān)措施。通過理論編程和虛擬樣機(jī)仿真，驗(yàn)證了理論分析的正確性和有效性。在后續(xù)研究中，我們將討論和研究主動關(guān)節(jié)軌道的方位角θ對該機(jī)構(gòu)的工作空間和性能的影響，以便在滿足運(yùn)動性能要求條件下選取機(jī)構(gòu)的最佳裝配構(gòu)型等。同時(shí)，在理論分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行實(shí)體樣機(jī)研制。

(a)位移曲線 (b)速度曲線

(c)加速度曲線 (d)角位移曲線

(e)角速度曲線 (f)角加速度曲線

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(編輯 張 洋)

Design and Kinematics Analysis of a 2PRS-2PSS Parallel Mechanism

Zhang Yanbin Ding Ding Wu Xin Wang Zenghui Zhao Yifu

Henan University of Science and Technology, Luoyang,Henan, 471003

A new two-translational and two-rotational 4-DOF 2PRS-2PSS parallel mechanism was proposed. Orientation angles among axis of all actuated prismatic joints and fixed base of the parallel mechanism were variables. Firstly, the motion output characteristics were analyzed by theory of position and orientation characteristics. The kinematics of the mechanism was analyzed by using vector approach. Forward and inverse solutions of the position and orientation of the mechanism were derived. Then, the equations of velocity and acceleration were obtained. In addition, the singular configurations of the mechanism were discussed in detail based on the singularity of its Jacobian matrices. Finally, simulation results show that the theoretic analysis is correct.

parallel mechanism; degree of freedom(DOF); kinematics analysis; singularity

2016-05-16

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50905055)；河南省高?？萍紕?chuàng)新團(tuán)隊(duì)支持計(jì)劃資助項(xiàng)目(15IRTSTHN008)；河南科技大學(xué)重大科技項(xiàng)目培育基金資助項(xiàng)目(2015XTD012)

TH112；TP242

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.21.004

張彥斌，男，1974年生。河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院教授。主要研究方向?yàn)闄C(jī)構(gòu)學(xué)與并聯(lián)機(jī)器人理論。發(fā)表論文45篇。丁 丁，男，1992年生。河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院碩士研究生。吳 鑫，男，1957年生。河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院教授。王增輝，男，1988年生。河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院碩士研究生。趙浥夫，男，1988年生，河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院碩士研究生。