邵文俊+趙帥+李健+劉云鳳+李京微+野金花

摘 要：金融市場不斷發(fā)展，市場經濟不斷完善，數(shù)量方法在金融投資中得以充分的運用。從風險度量方式以及模型選擇兩方面，介紹基于MV模型等的幾種最優(yōu)組合，并在模型選擇問題上對模型的相容性風險做出闡述。旨在解決投資者選取和評價模型的困難，為投資者的投資決策提供參考方案。

關鍵詞：最優(yōu)組合；風險度量；模型選擇；鞅方法

中圖分類號：F830.91 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2016）30-0072-03

前言

投資組合理論是證券投資學中最重要、最復雜和最有應用價值的部分。它研究并且回答在面臨各種相互關聯(lián)、確定的特別是不確定結果的條件下，理性投資者應該怎樣做出最佳投資選擇，把一定數(shù)量的資金按合適的比例，分散投放在多種不同資產上，以實現(xiàn)投資者效用極大化的目標。隨著概率論和隨機過程等近代數(shù)學理論的發(fā)展和應用，利用隨機分析投資與消費問題已成為金融學中定量研究的熱門領域之一。投資組合理論[1]的產生使得數(shù)理金融學作為金融學的一個獨立的分支迅速發(fā)展起來。但圍繞投資組合理論，過去的一系列研究存在許多不足，如：均值—方差投資組合理論單純地考慮一個確定的投資時域，并且考慮的市場環(huán)境比較簡單；投資消費理論考慮的是一類單一的消費品，投資對象僅限于無風險證券和風險證券。而目前市場上消費品與投資對象日益豐富，原來的投資理論的一些結論不能滿足實際的需求。

因此，如何建立更為完善的投資組合模型，一些算法不能夠很簡便地使計算機進行計算和模擬，且導致結果不夠準確，尋找簡便且準確的算法，需要不斷地去研究。本項目基于模型選擇，根據(jù)投資組合理論與投資消費理論，在均值—方差模型的框架下，首先研究確定時域的M-V最優(yōu)投資組合選擇，然后研究隨機時域的M-V最優(yōu)投資組合選擇[2]次拓展研究特殊消費的最優(yōu)投資消費決策及含期權的最優(yōu)投資消費模型，最后應用于分析實際數(shù)據(jù)并尋求最優(yōu)的證券組合。

一、主要模型

（一）單階段M-V投資組合模型

在金融市場，風險投資有兩個決策目標，一個是收益率高低，另一個是風險大小，二者相互矛盾和制約。在理論上，最大風險最小的投資方案是不存在的，只能在收益和風險之間做出理性的權衡然后構造最優(yōu)組合模型，確定最優(yōu)投資比例，如理性投資者希望在風險最小的前提下實現(xiàn)較為滿意的收益水平。此時建立馬科維茨（Markowitz）模型，根據(jù)馬科維茨（Markowitz）的假設，多數(shù)投資者均為風險厭惡者，在風險投資決策中，首先考慮最小風險這一目標，其次考慮收益水平。由此，以組合投資的方差最小為決策目標，構造最小風險組合投資模型[3]。

minσ2（r）=WT∑Ws.t.ETW=1

這是一個二次規(guī)劃間題，構造Lagrange函數(shù)L（W）=WT∑W+λ（ETW-1），令=0，=0，有：

2∑W+λE=0ETW-1=0

經過簡單運算，解得λ=，最優(yōu)投資比例系數(shù)向量為W=，組合投資風險值為：

σ2（r）=

可以證明，最小風險組合投資的風險值滿足條件σ2（r）≤σn，i=1，2，…，m。這表明，組合投資風險小于單項投資風險，通過適當?shù)慕M合，達到了投資風險之間的相互吸收。并且，組合投資的收益率滿足條件μ（rt）≤μ（r）≤μ（rt），最小風險組合投資模型在最小風險條件下實現(xiàn)了比較滿意的收益水平。

（二）多階段M-V投資組合模型

多階段模型是單階段模型的推廣，也可以說是由每個階段的投資組合構成的投資組合組。設第n個資產在此階段的隨即收益率為ω，即是投資者在此階段的第一個資產到第n個資產的投資比例，也即是投資者在此階段投資結束時的財富量，則多階段的模型如下：

minVar（Wt）

s.t.E（WT）>μtWT=Wt-1[∑n i=1xitrit+（1-∑n i=1xit）r0t] t=1，2，…，T

其中，μ為給定的期終期望收益。

（三）鞅表示定理

一個平方可積鞅隨機微分方程為：

dX（t）=B（t，X（t））dt+σ（t，X（t））dV X（0）=τ

其中，V為標準Brown運動。

二、最優(yōu)投資組合理論

（一）最優(yōu)投資組合的含義

最優(yōu)投資組合，是指某投資者在可以得到的各種可能的投資組合中，唯一可獲得最大效用期望值的投資組合，有效集的上凸性和無差異曲線的下凸性決定了最優(yōu)投資組合的唯一性。

（二）確定時域的M-V最優(yōu)投資組合選擇

股票價格服從跳躍擴散過程的均值—方差模型，股票價格在一個時域內很有可能會發(fā)生許多突發(fā)狀況，因此在很多情況下人們用跳躍擴散過程來描述。因此，建立一個關于擴散過程的最優(yōu)模型：

dpi=pi（t）[bi（t）dt+∑i j=1ωij（t）dwj（t）+∑m k=1 pi（0）=pi

在實際生活中，對于消費者來說，一般情況下他們的固定消費基本上是不變的，這與他們的收入有很大的關系。由此確定的函數(shù)關系數(shù)我們稱之為固定消費模式，假定市場是一個隨時間連續(xù)變化的體系，一般用1個完備的概率濾波空間（Ω，？祝，{？祝t} t≥0，P）來描述，在這個空間上有1個n-1維的Brown運動w（t）=（W1（t），W2（t）…Wn（t））T，{？祝t} t≥0是W（t）的自然濾波，設市場上可提供的資產為n+1個，其中1個為無風險資產，價格P0（t）滿足方程P0（t）=P0（t）r（t）dt，r（t）為無風險利率，其余n個為風險資產，第i個資產的價格Pi（t）滿足下面的隨機微分方程：

dPi（t）=Pi（t）[bi（t）dt+σij（t）dWj（t）]，i=1，2，…n

假定投資者進入市場后在有限時域[0，T]內連續(xù)進行交易，那么由It？觝公式，他的財富過程x（t）滿足：

dx（t）=r（t）x（t）+（bi（t）-r（t））？仔i（t）dt+？滓ij（t）？仔i（t）dWj（t）x（0）=x

其中，？仔it表示在t時刻在資產i上的投資量。令？仔（t）=（？仔1（t），？仔2（t），…，？仔n（t））T，稱？仔（·）為一個投資組合。所有允許投資組合的集合記為？撰（x）。投資者的目的是在集？撰（x）中選擇最優(yōu)投資組合使得最終財富的期望最大與差最小之間實現(xiàn)合理的權衡，一般連續(xù)時間M-V模型可建立為：

min（-Ex（T），Varx（T））， s.t？仔（·）∈？撰（x）

假定投資者在時間段[0，t]內的總消費量為C（t），記

c（t）=為消費率，1個無風險證券和n個風險證券，投資者的財富過程需要滿足如下方程：

dx（t）=[x（t）r（t）+？仔（t）T（b（t）-r（t）1n）-c（t）dt+？仔tT？滓（t）dW（t）]x（0）=x>0

有效前沿解析式：

股票價格服從市場系數(shù)過程的均值—方差模型，對于市場系數(shù)需要考慮到很多問題，很多方法與實際都不太相符，因為市場系數(shù)是隨機變化的，導致很多為題的求解困難，尤其是把它推廣到隨機的情形，因此本文采用鞅方法來解決這個問題。設投資者在時的財富為，那么滿足微分方程：

d[β（t）x（t）]=β（t）π（t）（b（t）-r（t））dt+β（t）π（t）σ（t）dt β（0）x（0）=x

（三）隨機時域的M-V最優(yōu)投資組合選擇

關于離散時間市場狀態(tài)下隨機時域的均值—方差模型，設投資者從0時刻進入市場進行投資，其初始財富為，計劃進行個階段的投資，市場上有中證券，其中1中無風險證券，中風險證券。投資者在隨機時域[0，T]內，使最終利益的期望最大，風險最小，根據(jù)這個建立如下模型：

maxuE（γυτ-wυ2T）s.t.vt=υt-1（r0t+R0tπt） υ0=1

其中，w>0。

關于連續(xù)時間市場狀態(tài)下隨機時域的均值—方差模型，在一個確定函數(shù)下，最優(yōu)投資策略模型為：

minπE[wx（T）2-τx（T）] s.t.π∈x

關于跳躍擴散市場狀態(tài)下隨機時域的均值—方差模型，一個無風險證券的價格滿足方程，第i個風險證券的價格滿足下面隨機微分方程：

結語

本文是在確定時域下分別建立了股票價格服從跳躍擴散過程、固定消費和市場系數(shù)為隨機過程這三種情況下的均值—方差模型，得到這三種情況下的投資策略庫和有效前沿方程式；在隨機時域下建立了離散時間、連續(xù)時間與跳躍時間三種市場狀態(tài)下的均值—方差模型，得到其解析表達式。從這幾個模型中我們可以看出，其在投資組合理論與投資消費理論下的最優(yōu)解析式。

另外，文中給出了模型評價的方式為投資者提供了選擇，即如果在相似度比較高的模型中進行投資活動時，投資者可以采取偏好系數(shù)加權法，更多地考慮自己的風險偏好，但相似程度低的模型則考慮最小風險模型來最小化損失，投資者可以根據(jù)風險偏好的不同，在投資模型選擇時參考本文中的幾種方法。同時，我們可以根據(jù)文中提到的模型的基本性質來對這些模型做一個一般性的檢驗，也即驗證他們是否滿足這些人們普遍贊同的性質。結合模型所滿足性質的意義來考慮組合模型的實用性，以及對于自己的投資做出合理的決策。

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[責任編輯 陳丹丹]