鄭金華
“走進(jìn)圖形世界”是同學(xué)們進(jìn)入初中后第一個接觸到的幾何章節(jié),從我們生活的現(xiàn)實世界出發(fā),認(rèn)識各種各樣基本的幾何圖形、幾何體,無論多么復(fù)雜的現(xiàn)實世界其實都是由簡單的幾何圖形、幾何體組成的.在探索圖形世界時,遇到難題,如果能夠正確把握數(shù)學(xué)中的思想方法,則能開闊思路,達(dá)到事半功倍的效果,接下來講一講幾種數(shù)學(xué)思想方法在解決本章重難點問題中的作用.
例1 如圖所示,大圓的半徑是2厘米,以大圓半徑為直徑在上下兩側(cè)畫了兩個半圓,求圖中陰影部分的面積.
【分析】將圖中右下方位置的半個小圓旋轉(zhuǎn)到左上方位置的半個小圓處,所以圖中陰影部分的面積等于大圓面積的一半,大圓的半徑是2厘米.
解:S陰影=[12]S半圓=[12]π×22=2π(平方厘米).
故答案為:2π(平方厘米).
【點評】此題陰影部分的面積是一個不規(guī)則圖形,仔細(xì)觀察兩個小半圓,它們的直徑相等,所以面積也相等,于是我們想到把右下方位置的半個小圓(陰影部分)繞點O順時針旋轉(zhuǎn)180° 到左上方位置的半個小圓(空白部分)處,從而陰影部分就變成了半個大圓.在求解圖形面積時,經(jīng)常會遇到此類不能直接求或圖形不規(guī)則的問題,我們需要換個角度去解決問題,通過分割(添輔助線)、變動(平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等)其中某部分圖形的位置把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成幾個規(guī)則圖形面積和、差的形式來進(jìn)行計算.此題還利用了圖形三種運動變換:平移、旋轉(zhuǎn)、翻折,其基本性質(zhì):不改變運動前后圖形的大小和形狀.因此,圖形的運動變換不改變圖形面積的大小.
例2 探究學(xué)習(xí):正方體切一刀(用平面去截),剩下的部分有幾個面?幾條棱?幾個頂點?
【分析】截后剩余的幾何體形狀有多種情況,關(guān)鍵看這一刀是如何切的,切面可能是三角形、四邊形、五邊形或六邊形,在分類討論時要找準(zhǔn)這一分類依據(jù),再逐層探究,并力求最簡化.
① 7個面,15條棱,10個頂點;
② 7個面,13條棱,8個頂點;
③ 7個面,14條棱,9個頂點;
④ 7個面,12條棱,7個頂點;
⑤ 7個面,15條棱,10個頂點;
⑥ 6個面,12條棱,8個頂點;
⑦ 6個面,12條棱,8個頂點;
⑧ 5個面,9條棱,6個頂點;
⑨ 7個面,13條棱,8個頂點;
⑩ 7個面,14條棱,9個頂點;
11 6個面,12條棱,8個頂點;
12 7個面,15條棱,10個頂點;
13 4個面,6條棱,4個頂點.
綜上所述:(1)當(dāng)有7個面時,有12條棱,7個頂點;或13條棱,8個頂點;或14條棱,9個頂點;或15條棱,10個頂點.(2)當(dāng)有6個面時,有12條棱,8個頂點.(3)當(dāng)有5個面時,有9條棱,6個頂點.(4)當(dāng)有4個面時,有6條棱,4個頂點.
【點評】本題考查用一個平面去截幾何體,需要同學(xué)們有很強(qiáng)的空間想象能力,很具有挑戰(zhàn)性,截面的形狀是分類討論的關(guān)鍵. 截面是三角形的有:①②③④13;截面是四邊形的有:⑤⑥⑦⑧⑨;截面是五邊形的有:⑩11;截面是六邊形的是:12.在以邊數(shù)不同的多邊形截面作為分類依據(jù)時,還要結(jié)合截面頂點恰好是多少正方體頂點的個數(shù)再分級深入進(jìn)行更細(xì)致的討論. 此題的歸納部分是解題的重中之重,雖然分類討論有很多種情況,但其中有一些是重復(fù)出現(xiàn)的,歸納時我們要科學(xué)羅列.
對于這類有較大難度的題型,大家在完成思考后最好再用蘿卜、橡皮泥之類的模擬正方體切一切,真實的操作不僅能讓你體會到切面必須是一個平面,還能讓你驗證自己的猜想是否正確,分類討論是否全面.
例3 如圖,一只蜘蛛在油桶的點A處,點B處有一只蒼蠅,蜘蛛想要過去把蒼蠅吃掉,那么蜘蛛應(yīng)走怎樣的路線才能在最短時間捕獲蒼蠅呢?
【分析】首先將圓柱側(cè)面展開成矩形,再在矩形的長上找到點B的對應(yīng)點B′,也就是矩形長的中點,最后連接AB′,線段AB′的長度即為所求最短距離.
解:
【點評】這個問題的本質(zhì)是在圓柱的側(cè)面上尋找路線,而圓柱的側(cè)面是一個曲面,在曲面上找到的路線就是曲線,大家目前所掌握的經(jīng)驗不足以求解曲線的長度,那么怎樣才能把曲面、曲線的問題轉(zhuǎn)化成平面、線段的問題解決呢?大部分同學(xué)在學(xué)過簡單幾何體的展開與折疊內(nèi)容后自然會聯(lián)想到去展開圓柱的側(cè)面,這里尋找點B的對應(yīng)點B′是解決問題的重點也是難點,很多人極易誤認(rèn)為B′是矩形的頂點.突破這一難點的關(guān)鍵是,圓柱側(cè)面展開后,圓柱上、下兩底面的圓周長為矩形上、下的兩條長邊,而點B在展開后是在矩形長邊的中點位置.此外,本題得以解決還依賴于這樣一個基本事實:兩點之間,線段最短.
例4 用7個小正方體堆在水平桌面上,堆出的幾何體主視圖和左視圖如下,則小正方體的堆放共有 種不同方式?
【分析】此題小正方體的個數(shù)是固定的,但只有兩個視圖不能確定小正方體堆放的位置,我們需要尋找堆放的規(guī)律.由于滿足條件的方式太多,沒辦法一一列舉,我們需要建構(gòu)解決這類問題的模型.
解:根據(jù)主視圖和左視圖,我們發(fā)現(xiàn)俯視圖是4×2(長×寬)的矩形,這里標(biāo)注3的位置,其垂直位置是必須要堆放3個小正方體的,剩下的我們用字母a,b,c,d,e,f,g來表示其垂直位置上小正方體的個數(shù).
然后我們要考慮余下來的4個小正方體如何擺放. 在(a,d)兩位置中必須擺放1個,(b,e)兩位置中必須擺放1個,(c,g)兩位置中必須擺放1個,剩余的1個小正方體在底層留下來的四個空位中任選一個,于是小正方體擺放的方式一共是2×2×2×4=32種.
【點評】此類三視圖問題蘊含著構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、用字母代表數(shù)、排列與組合等復(fù)雜的數(shù)學(xué)活動,這是本章“走進(jìn)圖形世界”的難點內(nèi)容,學(xué)有余力的同學(xué),不妨嘗試用這樣的方法解決類似的題目,肯定能找到解決問題的訣竅,收獲成功的喜悅.
同學(xué)們看完以上四例,能否很快與相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來?用微信掃描二維碼,查看你的答案是否正確.
(作者單位:江蘇省常州市新北區(qū)呂墅中學(xué))