黃金波，李仲飛，周鴻濤

(1. 廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，廣東 廣州 510320；2. 中山大學(xué)管理學(xué)院，廣東 廣州 510275)

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期望效用視角下的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖效率

黃金波1，李仲飛2，周鴻濤1

(1. 廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，廣東 廣州 510320；2. 中山大學(xué)管理學(xué)院，廣東 廣州 510275)

與傳統(tǒng)文獻(xiàn)將風(fēng)險(xiǎn)下降比率作為風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖效率指標(biāo)不同，本文引入期望效用理論來比較最小方差對(duì)沖策略、最小在險(xiǎn)價(jià)值(VaR)對(duì)沖策略和最小條件在險(xiǎn)價(jià)值(CVaR)對(duì)沖策略的對(duì)沖效率，從而將人們的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度同對(duì)沖策略選擇聯(lián)系起來，以實(shí)現(xiàn)不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的投資者選擇不同風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖策略的目的。借用風(fēng)險(xiǎn)中性效用函數(shù)、二次效用函數(shù)和CARA效用函數(shù)，本文嚴(yán)格證明：在這三種對(duì)沖策略中，最小方差對(duì)沖策略過于保守，最小VaR對(duì)沖策略最為激進(jìn)，風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度大的投資者偏好最小方差對(duì)沖策略，風(fēng)險(xiǎn)中性投資者和風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度小的投資者更偏好最小VaR對(duì)沖策略，最小CVaR對(duì)沖策略介于二者之間。

風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖；期望效用；風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度；在險(xiǎn)價(jià)值；條件在險(xiǎn)價(jià)值

1 引言

金融風(fēng)險(xiǎn)管理是現(xiàn)代金融學(xué)研究和關(guān)注的基本問題，也是金融工程與風(fēng)險(xiǎn)管理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)和前沿問題。根據(jù)研究框架的不同，當(dāng)前的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖研究大致可分為兩大類[1]：基于風(fēng)險(xiǎn)最小化模型的研究和基于效用最大化模型的研究?；陲L(fēng)險(xiǎn)最小化模型的研究主要是尋找各種更加合理的風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)測(cè)度對(duì)沖組合的風(fēng)險(xiǎn)，然后求出風(fēng)險(xiǎn)最小的對(duì)沖組合。這類研究隱含地假設(shè)人們是完全的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者，僅關(guān)心風(fēng)險(xiǎn)而不關(guān)心收益，風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖的目標(biāo)是讓風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小。根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)的不同，這類研究主要包括基于方差指標(biāo)的研究[2-4]，基于mean-Gini系數(shù)的研究[5-6]，基于廣義半方差 (Generalized Semivariance, GSV)的研究[7]，基于VaR和CVaR的研究[8-12]以及基于AS指標(biāo)的研究[13]等?；谛в米畲蠡Ｐ偷难芯恐饕亲畲蠡L(fēng)險(xiǎn)與收益的某個(gè)效用函數(shù)，通常這類效用函數(shù)需要事前賦予風(fēng)險(xiǎn)與收益某個(gè)權(quán)衡系數(shù)，該系數(shù)代表人們對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度，這類研究可見文獻(xiàn)[14-16]。以上兩類研究都存在一定的不足，前一類研究的不足在于最小化某個(gè)測(cè)度風(fēng)險(xiǎn)的客觀指標(biāo)，而完全不考慮人們的主觀風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度(或隱含人們是完全的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者)，但在實(shí)際生活中，人們的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度是不同的，不同的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度顯然會(huì)影響對(duì)沖策略的選擇。后一類研究的不足在于效用函數(shù)里權(quán)衡系數(shù)的確定沒有科學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)，不同的系數(shù)會(huì)得出不同的對(duì)沖策略。另外，雖然效用理論是在不確定環(huán)境下更為系統(tǒng)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臎Q策理論，但基于效用最大化的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖策略卻很難在實(shí)踐中運(yùn)用，主要原因是效用理論下的風(fēng)險(xiǎn)隱含在效用函數(shù)形式里，而效用本身是很難說清楚的抽象概念，所以效用函數(shù)形式的設(shè)定具有較強(qiáng)的主觀性。

因此，為彌補(bǔ)以上兩類研究的不足，同時(shí)吸收兩類研究各自的優(yōu)點(diǎn)，本文首先基于風(fēng)險(xiǎn)最小化模型得到對(duì)沖策略，然后運(yùn)用期望效用理論來比較各個(gè)對(duì)沖策略的對(duì)沖效率，這樣就可以把人們的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度同對(duì)沖策略選擇聯(lián)系起來，實(shí)現(xiàn)不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度投資者選擇不同的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖策略的目的。與傳統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)最小化模型研究的不同點(diǎn)在于我們不是以風(fēng)險(xiǎn)下降比率作為對(duì)沖效率衡量標(biāo)準(zhǔn)，與傳統(tǒng)的效用最大化模型的不同點(diǎn)在于我們不需要事前設(shè)定權(quán)衡系數(shù)，即不需要設(shè)定精確的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，我們只需要把投資者大體分為風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度高、中、低三類即可。這在現(xiàn)實(shí)生活中是容易實(shí)現(xiàn)的，也是業(yè)界常用的方法，例如當(dāng)前很多投資者在購買投資產(chǎn)品之前需要進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)承受能力評(píng)估，經(jīng)紀(jì)人根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)承受能力評(píng)估的得分把投資者分為風(fēng)險(xiǎn)承受能力弱、中、強(qiáng)三類，分別對(duì)應(yīng)著風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度高、中、低。

在風(fēng)險(xiǎn)最小化模型中，首要的問題是確定風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，根據(jù)人們對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的不同理解，理論界和實(shí)務(wù)界提出了多種風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)。其中，最經(jīng)典的是Markowitz[17]提出的方差，而當(dāng)前最受歡迎的是Morgan提出的在險(xiǎn)價(jià)值 (Value-at-Risk, VaR)及Rockafellar和Uryasev[18]提出的條件在險(xiǎn)價(jià)值 (Conditional Value-at-Risk, CVaR)。VaR是指在給定置信水平下，在未來特定期間內(nèi)，資產(chǎn)或資產(chǎn)組合所遭受的最大可能損失[19]，CVaR是指超過VaR水平的所有損失的數(shù)學(xué)期望。劉俊山[20]詳細(xì)討論了VaR和CVaR的理論性質(zhì)和應(yīng)用價(jià)值。他指出，雖然CVaR指標(biāo)的理論性質(zhì)優(yōu)于VaR，但是CVaR的后驗(yàn)檢測(cè)不易實(shí)現(xiàn)，因而，VaR目前仍然是業(yè)界廣為使用的風(fēng)險(xiǎn)度量工具[21-22]，而CVaR是學(xué)術(shù)界公認(rèn)的理論性質(zhì)比VaR更優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)[23]。如今VaR與CVaR已經(jīng)一起被寫入巴塞爾協(xié)議III作為風(fēng)險(xiǎn)監(jiān)管工具?；诖?，本文主要研究最小方差、最小VaR和最小CVaR的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖問題。

2 最優(yōu)對(duì)沖比率

有關(guān)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖的具體問題有很多，本文集中研究期貨現(xiàn)貨的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖問題。設(shè)現(xiàn)貨資產(chǎn)和期貨資產(chǎn)的收益率分別為r1,r2，r1的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為μ1,σ1，r2的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為μ2,σ2。1單位現(xiàn)貨資產(chǎn)多頭和h單位期貨資產(chǎn)空頭所構(gòu)成的組合收益率rp(h)可表示為：

rp(h)=r1-hr2

(1)

設(shè)對(duì)沖組合的收益率rp(h)的概率分布函數(shù)為F(x,h)，在給定的置信水平1-α下，對(duì)沖組合的在險(xiǎn)價(jià)值VaR(h)數(shù)學(xué)表達(dá)式為[19]：

VaR(h):=-inf{x∈R:F(x,h)≥α}

(2)

置信水平1-α是事先給定的，一般由投資者根據(jù)自身偏好設(shè)定或由監(jiān)管機(jī)構(gòu)設(shè)定。在分布函數(shù)F(x,h)滿足連續(xù)性的條件下，VaR(h)為rp(h)的下側(cè)α分位數(shù)的相反數(shù)。在VaR基礎(chǔ)上，對(duì)沖組合的CVaR的數(shù)學(xué)表達(dá)式為[18]：

CVaR(h):=-E[rp(h)|rp(h)≤-VaR(h)]

(3)

最小VaR(或CVaR)對(duì)沖策略就是尋找使得組合的VaR(或CVaR)達(dá)到最小的對(duì)沖比率h。在rp(h)服從正態(tài)分布的假設(shè)下，相應(yīng)的VaR(h)和CVaR(h)可以表示為均值和標(biāo)準(zhǔn)差的線性函數(shù)[11-12]，即：

VaR(h)=-zασp(h)-μp(h)，CVaR(h)=(φ(zα)/α)σp(h)-μp(h)

(4)

其中σp(h)為組合收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，zα為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的下側(cè)α分位數(shù)，φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。

在正態(tài)分布下，基于最小方差、最小VaR和最小CVaR的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖模型可統(tǒng)一表示為：

其中k為常數(shù)。當(dāng)k1=-zα?xí)r，p1為最小VaR模型，當(dāng)k2=φ(zα)/α?xí)r，p1為最小CVaR模型，當(dāng)k3=+∞時(shí)，p1為最小方差模型。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)α≤0.5時(shí)，0

(5)

二階導(dǎo)數(shù)滿足以下條件：

(6)

(7)

h1,h2,h3分別對(duì)應(yīng)最小VaR、最小CVaR和最小方差模型的最優(yōu)對(duì)沖比率。根據(jù)(7)式，可得如下三個(gè)性質(zhì)。

證明：(7)式兩邊對(duì)ci求導(dǎo)可得：

(8)

所以，當(dāng)μ2>0時(shí)，?hi/?ci<0，由c1≥c2≥c3，可得h1≤h2≤h3；當(dāng)μ2<0時(shí)，?hi/?ci>0，由c1≥c2≥c3，可得h1≥h2≥h3。

性質(zhì)2：μp(h1)≥μp(h2)≥μp(h3)。

證明：最小VaR和最小CVaR對(duì)沖組合收益率的均值之差為：

(9)

同理可證：

(10)

(11)

證明：最小VaR和最小CVaR對(duì)沖組合收益率的方差之差為：

(12)

同理可證：

(13)

(14)

綜上可得，最小VaR對(duì)沖組合收益率的均值和方差大于最小CVaR對(duì)沖組合收益率的均值和方差，最小CVaR對(duì)沖組合收益率的均值和方差大于最小方差對(duì)沖組合收益率的均值和方差。經(jīng)濟(jì)意義：根據(jù)優(yōu)化問題p1，k為投資者賦予波動(dòng)率的權(quán)重，人們?cè)诰凳找媾c波動(dòng)之間進(jìn)行權(quán)衡。當(dāng)k較大時(shí)，人們賦予波動(dòng)權(quán)重更大，更加關(guān)注波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)，反之，當(dāng)k較小時(shí)，人們賦予波動(dòng)權(quán)重就小，此時(shí)人們更關(guān)注收益。由k1≤k2≤k3=+∞可知，最小方差賦予波動(dòng)的權(quán)重最大，其只關(guān)心波動(dòng)而不關(guān)心收益，最小VaR賦予波動(dòng)的權(quán)重最小，所以優(yōu)化問題的結(jié)果是最小方差策略的波動(dòng)最小，同時(shí)均值收益也最小，最小VaR對(duì)沖策略的方差最大，但均值收益也最大，最小CVaR策略介于二者之間。

3 期望效用視角下的對(duì)沖效率比較

由性質(zhì)2和性質(zhì)3可知，最小VaR對(duì)沖策略下的組合收益率具有最大的均值，但同時(shí)也具有最大的方差，是一個(gè)相對(duì)激進(jìn)的對(duì)沖策略。最小方差對(duì)沖策略具有最小的方差，但只能獲得最小的均值收益，是一個(gè)相對(duì)保守的策略。最小CVaR對(duì)沖策略居二者之間。所以僅比較均值收益和波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)，無法判斷哪個(gè)對(duì)沖策略更優(yōu)。以下引入期望效用理論(Expected Utility Theory, EUT)對(duì)這三種策略的對(duì)沖效率進(jìn)行分析。

3.1 風(fēng)險(xiǎn)中性效用函數(shù)

定義在隨機(jī)收益x上的風(fēng)險(xiǎn)中性效用函數(shù)U(·)可表示為：

U(x)=mx+n, (m>0)

(15)

其中m,n為常數(shù)，那么風(fēng)險(xiǎn)中性投資者在對(duì)沖組合收益率上的效用為：

U(rp(h))=mrp(h)+n, (m>0)

(16)

根據(jù)性質(zhì)2，容易得到：

(17)

所以綜上，可得結(jié)論1：

E[U(rp(h1))]≥E[U(rp(h2))]≥E[U(rp(h3))]

(18)

上式等號(hào)僅在μ2=0，ρ=±1或α=0三種特殊情況下成立。但在一般情況下，上式說明：風(fēng)險(xiǎn)中性投資者在最小VaR對(duì)沖策略上得到的期望效用最高，在最小方差對(duì)沖策略上得到的期望效用最低，在最小CVaR對(duì)沖策略上得到的期望效用居中，所以風(fēng)險(xiǎn)中性投資者更偏好最小VaR對(duì)沖策略。

3.2 二次效用函數(shù)

定義在隨機(jī)收益x上的二次效用函數(shù)U(·)可表示為：

U(x)=-ax2+bx+c

(19)

其中，a,b,c為常數(shù)且a>0，b>0。二次效用函數(shù)常用于金融資產(chǎn)定價(jià)和投資組合選擇問題的研究，在正態(tài)分布下，基于二次效用函數(shù)的投資組合選擇與均值-方差模型是一致的。為了將風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度與對(duì)沖策略選擇聯(lián)系起來，以下引入風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)分為絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)和相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，二者都可以刻畫投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度。二次效用函數(shù)的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)為：

(20)

其中，β=b/2a，絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)γ值越大，人們?cè)絽拹猴L(fēng)險(xiǎn)。由(20)式可知，絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)γ與β負(fù)相關(guān)，β增大時(shí)，絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)減小。

對(duì)于具有二次效用函數(shù)的投資者來說，其在對(duì)沖組合收益率上的效用為：

U(rp(h))=-a(rp(h))2+b(rp(h))+c

(21)

此效用依賴于對(duì)沖比率h，上式對(duì)h求一階導(dǎo)可得：

(22)

(22)式兩邊對(duì)h求導(dǎo)，可得：

(23)

根據(jù)(23)式，容易驗(yàn)證，當(dāng)k>2時(shí)，?kU(rp(h))/?kh=0。所以此時(shí)，效用函數(shù)U(·)在h0處的泰勒展開式可寫為：

(24)

上式兩邊取期望并簡單變形可得：

(25)

所以根據(jù)(25)式和c1≥c2≥c3=0的條件，可得：

①最小VaR對(duì)沖策略與最小CVaR對(duì)沖策略在對(duì)沖組合收益率上的期望效用之差為：

(26)

令E[U(rp(h1))]-E[U(rp(h2))]=0，經(jīng)過一系列推導(dǎo)可得：

(27)

當(dāng)β∈(0,β1)時(shí)，E[U(rp(h1))]

②最小VaR對(duì)沖策略與最小方差對(duì)沖策略在對(duì)沖組合收益率上的期望效用之差為：

(28)

令E[U(rp(h1))]-E[U(rp(h3))]=0，可得：

(29)

當(dāng)β∈(0,β2)時(shí)，E[U(rp(h1))]

③最小CVaR對(duì)沖策略與最小方差對(duì)沖策略在對(duì)沖組合收益率上的期望效用之差為：

(30)

令E[U(rp(h2))]-E[U(rp(h3))]=0，可得：

(31)

當(dāng)β∈(0,β3)時(shí)，E[U(rp(h2))]

由c1≥c2≥c3=0，對(duì)比(27)、(29)和(31)式，易得β1≥β2≥β3。所以綜上，可得結(jié)論2：

當(dāng)β∈(0,β3)時(shí)，E[U(rp(h1))]≤E[U(rp(h2))]≤E[U(rp(h3))]；

當(dāng)β∈[β3,β2)時(shí)，E[U(rp(h1))]≤E[U(rp(h3))]≤E[U(rp(h2))]；

當(dāng)β∈[β2,β1)時(shí)，E[U(rp(h3))]≤E[U(rp(h1))]≤E[U(rp(h2))]；

當(dāng)β∈[β1,+∞)時(shí)，E[U(rp(h3))]≤E[U(rp(h2))]≤E[U(rp(h1))]。

在二次效用函數(shù)下，β越小，γ越大，人們的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度越高，人們更偏好最小方差對(duì)沖策略h3；反之，當(dāng)β越大時(shí)，γ就越小，人們的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度越低，此時(shí)人們更偏好最小VaR對(duì)沖策略h1。當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度處于中間時(shí)，人們最偏好最小CVaR對(duì)沖策略h2。所以可得，在二次效用函數(shù)下，風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度小的投資者更偏好最小VaR對(duì)沖策略，只有那些極端風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者才偏好最小方差對(duì)沖策略。這再次說明最小方差策略最為保守。

3.3 CARA效用函數(shù)

定義在隨機(jī)收益x上的CARA效用函數(shù)U(·)可表示為：

U(x)=-e-δx,(δ>0)

(32)

由U′(x)=δe-δx，U″(x)=-δ2e-δx，可得絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)：

γ=-U″(x)/U′(x)=δ

(33)

δ越大，人們?cè)斤L(fēng)險(xiǎn)厭惡，相反，δ越小，人們風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度越低。根據(jù)正態(tài)分布隨機(jī)變量的矩生成函數(shù)，可得CARA效用函數(shù)下的期望效用為：

(34)

根據(jù)(34)式，可得：

①最小VaR對(duì)沖策略與最小CVaR對(duì)沖策略在對(duì)沖組合收益率上的期望效用之比為：

(35)

(36)

不難發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)δ∈(0,δ1)時(shí)，E[U(rp(h1))]>E[U(rp(h2))]；當(dāng)δ∈[δ1,+∞)時(shí)，E[U(rp(h1))]≤E[U(rp(h2))]。

②最小VaR對(duì)沖策略與最小方差對(duì)沖策略在對(duì)沖組合收益率上的期望效用之比為：

(37)

(38)

同理，不難發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)δ∈(0,δ2)時(shí)，E[U(rp(h1))]>E[U(rp(h3))]；當(dāng)δ∈[δ2,+∞)時(shí)，E[U(rp(h1))]≤E[U(rp(h3))]。

③最小CVaR對(duì)沖策略與最小方差對(duì)沖策略在對(duì)沖組合收益率上的期望效用之比為：

(39)

(40)

同理，不難發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)δ∈(0,δ3)時(shí)，E[U(rp(h2))]>E[U(rp(h3))]；當(dāng)δ∈[δ3,+∞)時(shí)，E[U(rp(h2))]≤E[U(rp(h3))]。

由c1≥c2≥c3=0，對(duì)比(36)、(38)和(40)式，易得δ1≤δ2≤δ3。所以綜上，可得結(jié)論3：

當(dāng)δ∈(0,δ1)時(shí)，E[U(rp(h1))]≥E[U(rp(h2))]≥E[U(rp(h3))]；

當(dāng)δ∈[δ1,δ2)時(shí)，E[U(rp(h2))]≥E[U(rp(h1))]≥E[U(rp(h3))]；

當(dāng)δ∈[δ2,δ3)時(shí)，E[U(rp(h2))]≥E[U(rp(h3))]≥E[U(rp(h1))]；

當(dāng)δ∈[δ3,+∞)時(shí)，E[U(rp(h3))]≥E[U(rp(h2))]≥E[U(rp(h1))]。

當(dāng)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)δ小時(shí)，人們風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度小，人們更偏好最小VaR對(duì)沖策略h1；當(dāng)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)δ大時(shí)，人們的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度大，此時(shí)人們更偏好最小方差對(duì)沖策略h3；介于中間時(shí)，人們更偏好最小CVaR對(duì)沖策略h2。

綜上可知，最小方差對(duì)沖策略只考慮收益率的方差，不關(guān)心均值，而最小VaR對(duì)沖策略不僅考慮方差，同時(shí)考慮均值。對(duì)于那些風(fēng)險(xiǎn)厭惡水平較低和風(fēng)險(xiǎn)中性的投資者而言，他們權(quán)衡均值帶來的平均收益和方差帶來的波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)，他們?cè)敢獬袚?dān)更高程度的波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)而為此獲得更高的均值收益(相對(duì)于最小方差策略)，因此他們往往更偏好最小VaR對(duì)沖策略。而最小CVaR對(duì)沖策略介于二者之間。風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度不是特別高也不是特別低的投資者偏好最小CVaR對(duì)沖策略。

表1 算例一的計(jì)算結(jié)果

4 算例分析

算例一。為了直觀上理解以上的理論發(fā)現(xiàn)，下面給出一個(gè)算例分析。假設(shè)市場(chǎng)上存在某種現(xiàn)貨產(chǎn)品，其收益率的均值和標(biāo)準(zhǔn)差取值分別為μ1=0.3,σ1=0.4，其對(duì)應(yīng)的期貨產(chǎn)品收益率的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為μ2=0.2,σ2=0.2，相關(guān)系數(shù)ρ=0.6。取損失概率α=1%,2%,…,10%，根據(jù)前面公式，代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果見表1。

①風(fēng)險(xiǎn)中性效用函數(shù)下的期望效用

n的取值不影響比較結(jié)果，故不妨令n=0，由(16)式可得，三種對(duì)沖策略的期望效用為：

圖1 風(fēng)險(xiǎn)中性效用函數(shù)下的期望效用

圖2 二次效用函數(shù)下的期望效用

圖1直觀地顯示期望效用隨參數(shù)m的變化趨勢(shì)，無論m取何值，都有U1>U2>U3，即在風(fēng)險(xiǎn)中性效用函數(shù)下，最小VaR對(duì)沖策略的期望效用最高，而最小方差策略的期望效用最低，最小CVaR居中，符合理論預(yù)期，驗(yàn)證了結(jié)論1。

②二次效用函數(shù)下的期望效用

取a=1,c=0，則b=2β，由(21)式可得，三種對(duì)沖策略的期望效用分別為：

圖2顯示三種對(duì)沖策略的期望效用隨β的變化趨勢(shì)，及β1=0.482 β2=0.305 β3=0.237三條直線，由圖象可知，U1,U2確實(shí)在β1=0.482處相交，U1,U3確實(shí)在β2=0.305處相交，U2,U3確實(shí)在β3=0.237處相交。另外可知，當(dāng)0<β<β3時(shí)，U3>U2>U1；當(dāng)β3≤β<β2時(shí)，U2>U3>U1；當(dāng)β2≤β<β1時(shí)，U2>U1>U3；當(dāng)β≥β1時(shí)，U1>U2>U3。驗(yàn)證了結(jié)論2。

③CARA效用函數(shù)下的期望效用

由(34)式可得，三種對(duì)沖策略在CARA效用函數(shù)下的期望效用分別為：

圖3顯示了三種期望效用隨風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)δ的變化趨勢(shì)，第一幅圖顯示U1,U2在δ1處相交，第二幅圖顯示U1,U3在δ2處相交，第三幅圖顯示U2,U3在δ3處相交。同理可得，算例結(jié)果與結(jié)論3是一致的。

算例二。為了進(jìn)一步檢驗(yàn)本文理論結(jié)果在實(shí)踐中的應(yīng)用價(jià)值，我們選取了滬深300股票指數(shù)及其期貨進(jìn)行實(shí)證分析。數(shù)據(jù)選取區(qū)間為2010年5月至2014年9月共計(jì)53個(gè)月度的歷史數(shù)據(jù)。金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)通常分為高頻數(shù)據(jù)和低頻數(shù)據(jù)，高頻數(shù)據(jù)(日數(shù)據(jù)或者分鐘數(shù)據(jù))一般具有尖峰厚尾等非正態(tài)分布特征，而低頻數(shù)據(jù)(月度、季度或者年度數(shù)據(jù))通常更接近正態(tài)分布。為了驗(yàn)證本文正態(tài)分布下的理論結(jié)果，所以我們選擇月度數(shù)據(jù)。同時(shí)由于滬深300股指期貨于2010年4月16日正式上市，鑒于上市之初市場(chǎng)噪音較大，而且第一個(gè)月交易時(shí)間不足一個(gè)月。所以我們剔除了2010年4月的數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)的描述性統(tǒng)計(jì)見表2。

由表2，從均值(Mean)來看，滬深300現(xiàn)貨與期貨價(jià)格在樣本期間平均來說是下降的；從中位數(shù)(Med)來看，收益率為負(fù)的天數(shù)大于收益率為正的天數(shù)；從最小值(Min)、 最大值(Max)和方差(Var)

圖3 CARA效用函數(shù)下的期望效用

表2 滬深300股指及其期貨收益率的描述性統(tǒng)計(jì)

表3 基于滬深300股票指數(shù)與股指期貨的實(shí)證結(jié)果

來看，期貨收益率的波動(dòng)要大于現(xiàn)貨；從偏度系數(shù)(Skewness)、峰度系數(shù)(Kurtosis)、JB統(tǒng)計(jì)量和P值來看，不能拒絕現(xiàn)貨收益率和期貨收益率服從正態(tài)分布的假設(shè)。故可以運(yùn)用本文在正態(tài)假設(shè)下的理論進(jìn)行分析，將相關(guān)數(shù)據(jù)代入公式可得如下的實(shí)證結(jié)果(見表3)。表3的分析結(jié)果與表1相同，在此不再贅述。同時(shí)，期望效用下的表現(xiàn)也與算例1類似，限于篇幅，相關(guān)圖形不再列出。

5 結(jié)語

與傳統(tǒng)的對(duì)沖效率僅比較風(fēng)險(xiǎn)下降比率不同，本文從期望效用視角對(duì)對(duì)沖效率進(jìn)行了比較和分析。我們借助金融經(jīng)濟(jì)學(xué)上常用的風(fēng)險(xiǎn)中性效用函數(shù)、二次效用函數(shù)和CARA效用函數(shù)比較最小方差、最小VaR和最小CVaR對(duì)沖策略的期望效用，從而把人們的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度同對(duì)沖策略選擇聯(lián)系起來。本文得到的基本結(jié)論是：三種對(duì)沖策略中，最小VaR對(duì)沖策略最為激進(jìn)，具有最大均值和方差；最小方差對(duì)沖策略最為保守，具有最小的均值和方差；最小CVaR對(duì)沖策略介于二者之間。風(fēng)險(xiǎn)中性投資者和風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度低的投資者更偏好最小VaR對(duì)沖策略；風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度高的投資者更偏好最小方差對(duì)沖策略；風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度介于中間的投資者更偏好最小CVaR對(duì)沖策略，從而實(shí)現(xiàn)了不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的投資者選擇不同的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖策略的目的。

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Risk Hedging Efficiency in the Perspective of Expected Utility

HUANG Jin-bo1, LI Zhong-fei2, ZHOU Hong-tao1

(1.School of Finance, Guangdong University of Finance & Economics, Guangzhou 510320, China;2.Sun Yat-Sen Business School, Sun Yat-Sen Universtiy, Guangzhou 510275, China)

There are two distinct research frameworks for hedging issues all the time: risk-minimizing models and utility-maximizing models. Risk-minimizing models implicitly assume that people are fully risk averters who only are concerned about the risk and do not care about returns, while utility-maximizing models are constructed to maximize utility functions which include return-risk tradeoff and have to give a weighing parameter for the return and risk usually. There exist certain disadvantages in the two kinds of models above. The former models' shortage is that they doesn't consider the people's subjective risk attitudes (or implying complete risk aversion). The latter models' shortage is that there is not scientific standard to determine the weighing parameter and the utility function setting is very subjective. In addition, the traditional literatures only define risk reducing ratio as the risk hedging efficiency index, but different risk measure indices often induce inconsistent or even contradictory results. Therefore a hedging efficiency index which is independent of risk measure indices is needed.Method: To repair the shortcomings above and absorb the advantages of the two kind of models respectively, firstly hedging strategies based on risk-minimizing models are gotten, then the expected utility theory is applied to compare the hedging efficiency of hedging strategies, so that individual's risk attitude can be linked to hedging strategy choice. The difference with the traditional risk-minimizing model is that we the risk reducing ratio isn't used as hedging efficiency index, while compared with the traditional utility-maximizing model, our method doesn't need to accurately set the weighing parameter.Data:Two cases are designed to test the theorem above. The data of case 1 is generated by simulation method. In case 2, the historical data of CSI 300 stock index and its futures is applied. The data window ranges from May 2010 to September 2014, a total of 53 monthly historical data. The CSI 300 index futures officially are listed on April 16, 2010, because of the very bigger noise at the listed beginning and less than a month trading time in the first month, so the data in April 2010 is removed.Results: Using the risk neutral, quadratic and CARA utility functions, it's strictly proved that the minimum variance hedging strategy is too conservative, and minimum VaR hedging strategy is the most radical. The investors with bigger degree of risk aversion prefer minimum variance hedging strategy, while the investors with risk neutrality or smaller degree of risk aversion prefer minimum VaR strategy. The minimum CVaR hedging strategy is not conservative or radical but moderate.Future research: This paper aims to provide a research framework which studies hedging efficiency under expected utility theory, the research framework has good applicability, openness and can be easily applied to hedging efficiency problem of other derivatives or other risk measure indices. So a new research perspective for other scholar's related research is provided in this paper.

risk hedging; expected utility; risk attitude; value-at-risk; conditional value-at-risk

1003-207(2016)03-0009-09

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.03.002

2015-06-10；

2015-10-14

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71231008, 71371199, 71502041)；中國博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014M562246)；廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015A030313629)；廣州市哲學(xué)社會(huì)科學(xué)“十二五”規(guī)劃項(xiàng)目(15Q20)

簡介：李仲飛(1963-)，男(漢族)，內(nèi)蒙古鄂爾多斯人，中山大學(xué)管理學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，長江學(xué)者，博士，研究方向：金融工程與風(fēng)險(xiǎn)管理，E-mail: lnslzf@mail.sysu.edu.cn.

F830.9

A